Презентация исследовательской работыПрактическое применение арифметической и геометрической прогрессии

Подготовили ученицы 9 класса: Цибина Карина и Чепурина Анна Руководитель: Кирикова М.А. 2013 год

Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг «Прогрессия — движение вперед».

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Задачи исследования 1. Выяснить: - когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии, - какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме. 2. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях. 3. Найти применение прогрессий в различных сферах жизни. Установить факты широкого применения интенсивного размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском и коммунальном хозяйствах.

Арифметическая прогрессия . Геометрическая прогрессия .

Прогрессии как частные виды после- довательностей встречаются в древ- них египетских папи- русах и в клинопис- ных табличках вавилонян.

Задачи на прогрес – сии,дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов,деление наследства,строи- тельство,размежевание земельных наделов.

Задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна одной восьмой меры.

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. Архимед(ок. 287-212 гг. до н.э.) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ¼. Это был первый пример бесконечного ряда. Термин « прогрессия» был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия «арифметическая», « геометрическая» были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки . Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии лана в книге Евклида «Начала» (3 век до н.э.) Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречаются в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Карл Гаусс(1777-1855). Нашёл моментально сумму всех натураль ных чисел от 1 до 100 будучи ещё учеником начальной школы. Решение: 1+2+3+4+….+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…..=101*50=5050

В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий:

Царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 8 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу. Однако, как выяснилось, казна царя оказалось слишком “ничтожной” для выполнения этой просьбы.

S64=264-1= =18.446.744.073.704.551.615

S 64 = 264 - 1 = 1,84 · 1019 - стандартный вид данного числа

Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течении 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?

Считают “мужик” и “купец” “Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей). “Купец” заплатил: 1, 2, 4,… q=2/1=2. S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) т.е. 10 738 418 руб.23коп

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Решение: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 возрастающая ар. пр. убывающая ар.пр. а1= 5 d=5 а1=5 d = - 5 а1 = а1+d(n-1) 40=5+5(n-1) n = 8 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и  геометрической прогрессий.

а1=5м аn=а1+10 Всего а5 Найти: S5 Решение: а1=5м а2=15 а3=25 а4=35 а5=45 5+15+25+35+45=125 м Ответ: 125 м.

Задача. При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен? Решение. 1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, а1=1, d=1,аn=12. Надо найти n. аn=a1+d(n-1), 12=1+1(n-1), n=12. Sn=(a1+an)∙n:2, Sn=(1+12)·12:2, Sn=78. В одной кладке находится 78 бревен. Ответ: 78 бревен.

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рождённых одной бактерией за 7 минут. Решение: Геометрическая прогрессия b1=1, q=2, n=7. S7=127.

В классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока.

в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском хозяйстве (для приготов ления силоса, корма для животных и др.) в фармацевти ческой промышленнос ти (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)

Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Количество учащихся нашей школы 809 человек. Через сколько дней могут заболеть все учащиеся школы? Ответ: на 5 день.

Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”. К. А. Тимирязев Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, дна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

Вкладчик положил в банк 5000 рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 8 %. Какая сумма у него будет на счету через 6 лет? 1) Мы имеем дело с геометрической прогрессией 5000, 5000*1,08, 5000*1,08

2, 5000*1,08

3,… 2) Выполнив вычисления найдем: 5000* =7934(р)

А.С Пушкин «Евгений Онегин». ….Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить….. Ямб-это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,4,6,8 Номер ударных слогов образуют арифметическую прогрессию. Хорей-это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номер ударных слогов образуют арифметическую прогрессию:1,3,5,7

Деление ядер урана происходит с помощью нейронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия. При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии. Возведение многоэтажного здания — пример арифметической прогрессии. Каждый раз высота здания увеличивается на 3 метра.