Презентация по геометрии на тему Параллелепипед в прикладных задачах (10 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 10 классов Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, дорожные развязки и городские парки, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация - это Цивилизация Геометрии.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Параллелепипед - поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед у которого основания прямоугольники, а рёбра перпендикулярны основанию.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань ( основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник (ABCDE), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. B C D A F E S O

У моих знакомых появился хомячок. Но обычные клетки, которые мы можем видеть в большом количестве на рынке, их не устраивают. Они бы хотели какую-нибудь оригинальную клетку. Поэтому я решила помочь им: построить двухэтажную клетку с домиком в виде четырёхугольной пирамиды, какой точно ни у кого не будет. Что же делать???

Выяснить, сколько потребуется материалов, чтобы построить такую клетку, используя знания из курса геометрии.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с сечением KLMN, параллельным основанию, вырезом в сечении EFQT и вписанной в параллелепипед пирамидой LSPBC. A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N P S E F T Q

Нам необходимо: выяснить, сколько проволоки понадобится, если на 1 м2 приходится 101 м проволоки,* найти количество пластмассы, необходимое для изготовления домика для хомячка, найти Sполной поверхности параллелепипеда. 1см 100 см 100 см * Расстояние между прутиками примем за 1 см, тогда на 1 м2 потребуется 101 прутик, т.е. 10100 см проволоки.

А В С D A1 B1 D1 C1 K M L N Пусть точки K, L, M, лежат на параллельных ребрах параллелепипеда, причем А1К=КА, В1L=LB, С1M=MC. Чтобы построить плоскость KLM, необходимо: соединить отрезками точки, принадлежащие одной грани, т.е. соединим точку K с точкой L, а точку L с точкой M. затем провести параллельные отрезки на противоположных гранях, т.е. проведём MN II KL и KN II LM. получим прямоугольное сечение KLMN. При построении сечения параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

Дано: АВCDA1B1C1D1-прямоугольный параллелепипед, KLMN-сечение, (КLM) ll (ABC), EFQT-параллелограмм, LSPBC-вписанная пирамида, Окр.(О,r), r=5 см, А1К=КА, В1L=LB, С1M=MC, D1N=ND, AB=40 см, BC=20 см, BB1=50 см, AP=BP, DS=SC, EF=8 см, ET=5 cм, =300 Найти: Sполн.параллелепипеда , Sполн. LSPBC SKLMN - SEFQT A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S 

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  Решение: S ABCDA1B1C1D1= 2SABCD + Sбок Но Sбок. = Pосн. × ВВ1 (т.к. АВCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, по условию, т.е. ВВ1- высота параллелепипеда), и Pосн. = (AB+BC) ×2 =>, Pосн. = (40+20) × 2= 120 (см), значит, Sбок. = 120 × 50= 6000 (см2). Но SABCD= AB × BC (т.к. ABCD - прямоугольник), SABCD=40 × 20=800 (см2) Значит, Sполн.=2 × 800 + 6000 = =7600(см2)

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  2) AP=PB (по условию) =>,PB=1/2 × AB= =20 (см). DS=SC (по условию) =>, SC=1/2 × DC= 20 (см). PB=SC=20 (см). Но AB II DC (т.к. ABCD-параллелограмм), т.е. SC II PB. Получили: PB II SC PBCS – параллелограмм. PB = SC =>, =>, =>,

3) PBCS – параллелограмм (доказали) Но AB BC (по условию) и PS=PB=SC=BC=20 (см) PBCS-квадрат Значит, Sполн. LSCBP.= Sбок. + Sосн. = = SLBP + SLBC +SLCS + SLSP + SPBCS. а)SLBP=1/2 × LB ×PB, но LB= 1/2 × BB1=25 cм, PB= 1/2 × AB=20 cм, т.е. SLBP=1/2 × 25 × 20 = 250 (см2) б) SLBC= 1/2 × LB × BC, т.е. SLBC= 1/2 × 25 × 20 = 250 (см2) A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S 

4) В квадрате PBCS проведем диагональ BS. LB (ABC) (т.к. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед) BS (ABC) LB BS (по определению) в прямоугольном LBS по теореме Пифагора LS2 = LB2 + BS2, но в прямоугольном PBS (где SPB= =900 т.к. PBCS-квадрат, из доказанного) по теореме Пифагора BS2=SP2+PB2, т.е. BS2=202+202= =800 (cм2), значит, LS2=252+800=1425, т.е. LS 37,75(см) A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S 

6)а)В прямоугольном LBC (где LBС=900,т.к. LB (ABC) из доказанного ) по теореме Пифагора LC2 = LB2+BC2, т.е. LC2= 252+202= =1025 LC 32,02 (см) б)В прямоугольном LBP (где LBP=900, т.к. LB (ABC) из доказанного), по теореме Пифагора LP2= LB2+BP2, т.е. LP2=252+202=1025 LP 32,02 (см) LC=LP A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S 

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  7) В LSP и LSC : LS – общая SP=SC (т.к. PBCS-квадрат из доказанного) LP=LC (из доказанного) LSP = LSC (по трем сторонам), значит SLSP=SLSC 8) SLSP = где p-полупериметр,p = , p= 44,89 см, значит, SLSP= = 315 см2, значит SLSP=SLSC 315(cм2)

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  9) Sполн. LSCBP.= Sбок. + Sосн. = = SLBP + SLBC +SLCS + SLSP + SPBCS. Т.к. SPBCS = PB2, т.к. PBCS – квадрат (из доказанного), т.е. SPBCS = 400 (cм2) Т.к. Sбок. =250+250+315+315=1130 (см2) Sполн. LSCBP= 400+1130 = 1530 (см2) 10) Найдём площадь круга, ограниченного окружностью (О,r): Sкр. = r2, т.е. S = 3,14 × 52 = 78,5 (см2) 11)Найдём площадь полной поверхности пирамиды без отверстия в ней : S = SLSCBP – Sкр = 1530 – 78,5 = = 1451,5 (см2)

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  12) SKLMN = KL × LM (т.к. KLMN – прямоугольник). Но KL = AB и LM = BC как расстояния между параллельными прямыми AA1II BB1 и BB1IICC1 соответственно, т.е. KL = 40 см, LM = 20 см. Значит, SKLMN = 40 × 20 = 800 (см2) 13) Найдём площадь выреза EFQT в сечении : SEFQT = EF × ET × sin , т.е. SEFQT = 8 × 5 × sin300 = 40 × ½ = =20(см2)

A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T P S  14) Найдём площадь сечения без выреза : S = SKLMN – SEFQT = 800 – 20 = 780 (см2)

сколько понадобится проволоки и пластмассы, чтобы сделать такую клетку. 1) 7600+780+26=8406 (см2) - на такую площадь необходимо рассчитать количество проволоки. 2) Т.к. на 1 м2 или на 10000 см2 необходимо 101 м или 10100 см проволоки, то на всю клетку, т.е. 8406 см2 потребуется: 10000см2 – 10100 см 8406 см2 - x см. Значит, x = = 8490,06 (см) или x 85 м. 3)Т.к. SLPBCS = 1451,5 (см2), то на домик потребуется 1452 см2 пластмассы.

Т.к. прутики будут располагаться по поверхности параллелепипеда, площади сечения без выреза и по периметру выреза, то нам нужно рассчитать, сколько проволоки потребуется на такую площадь: 7600+780+26=8406 (см2), где 7600 см2 – площадь полной поверхности параллелепипеда, 780 см2 – площадь сечения без выреза, 26 см2 – периметр выреза в сечении. A B C D A1 B1 C1 D1 K L M N E F Q T S P