Презентация по математике на тему Аликвотные дроби

Аликвотные дроби Работу выполнил ученик 6 класса МОУ «Яльгелевская школа» Сапронов Дмитрий Учитель: Дектярева Вера Васильевна 2016 год

Необходимость в дробных числах

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Первой дробью была половина

Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида 1/n

Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби

Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n.

Объект исследования: аликвотные дроби Цель исследования: Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни. Задачи исследования: Узнать происхождение аликвотных дробей. Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями. Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей. Составлять и решать задачи практического содержания.

Происхождение аликвотных дробей Египтяне записывали все дроби в виде суммы дробей. Например, 8/15 = 1/3+1/5 Аликвотная дробь – это дробь вида 1/n (числитель – 1, а n – любое натуральное число).

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора» - единица для измерения ёмкостей и объемов, представляла собой дробь 63/64

Хекат в Древнем Египте

Задача 1 Разделить 7 хлебов между 8 людьми.  Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Математик VIII века Фибоначчи

Аликвотные струны

Представить число 2/43 в виде суммы аликвотных дробей 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301

Формула разложения дробей 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) Примеры разложения дробей: 1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12, 1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30, 1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Преобразование дроби 1/(n*(n+1)) =1/n -1/(n+1) 1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3 ½=1/(1*2) =1/1 -1/2

Доказательство равенства 1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)), приведя дроби к общему знаменателю, получаем: (n+1)/((n+1)*n) после сокращения получаем: 1/n. Вывод: 1/n=1/n.

Задача 2 Найди сумму 1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =???? Решение ½=1/(1*2) =1/1 -1/2 1/6=1/(2*3)=1/2-1/3 1/12=1/(3*4)=1/3-1/4 1/20=1/(4*5) =1/4-1/5 и т.д. Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем: 1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Разложение 1 на слагаемые На 2 слагаемых 1=1/2+1/2 На 3 слагаемых ½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 =>, 1=1/2+1/3+1/6 На 4 слагаемых 1/3=1/4+1/12 =>, 1=1/2+1/4+1/12+1/6 На 5 слагаемых 1/6=1/7+1/42 =>, 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42

Открытые проблемы Для всякого целого числа  n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z такие, что 4/n=1/x+ 1/y+ 1/z Гипотеза Эрдёша-Страуса

Задача 3 Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей А) трех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6 Б) четырех слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42 B) 5-и слагаемых 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42= 1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

Задача 4 Найди сумму 1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=? Решение Найти сумму 1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100 И вычесть из нее сумму 1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10 99/100-9/10 = (99-90)/100=9/100=0.09

Задача 5 Чтобы узнать год празднования 100летия Российского государственного академического Большого драматического театра имени Г. А. Товстоногова (Санкт-Петербург) нужно год проведения в Санкт-Петербурге Чемпионата мира по футболу разделить на сумму аликвотных дробей 1/(1*2) +1/(2*3) +1/(3*4) +…+1/(2018*2019) . Решение 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2018*2019)=2018/2019 2018 : 2018/2019 = 2019

Заключение Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д. Разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Заключение Аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно». В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

«Попал в дроби»

Спасибо за внимание!