Презентация по геометрии Фигуры постоянной ширины(9 класс)

Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рёло. Выполнил: Миколайчук Егор Руководитель: Назарова Г.А. ГБОУ Гимназия №1797 «Богородская»

Аннотация Крышки люков, спасающие пешеходов от падений в колодцы и мешающие автомобилистам, чаще всего имеют круглую форму. Выбор такой формы объясняется соображениями безопасности – квадратная крышка при сдвиге может провалиться, поскольку сторона квадрата меньше его диагонали. А у круга есть замечательное свойство – это фигура постоянной ширины. А есть ли на плоскости, помимо круга, другие фигуры постоянной ширины? Оказывается, есть, и их бесконечно много. Самая простая и самая знаменитая фигура – треугольник Рёло. Точнее говоря, эта фигура только напоминает треугольник. Данная работа посвящена изучению фигур постоянной ширины и в частности, треугольника Рёло, систематизации знаний о них. Она может быть полезна тем, кто увлекается геометрией.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Тема исследования Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рёло. Проблемный вопрос: Почему крышки люков, спасающие пешеходов от падений в колодцы, чаще всего имеют круглую форму?

Цель исследования 1.Выяснить, что представляют собой фигуры постоянной ширины. 2. Показать роль и значение этих фигур. 3. Построить фигуры постоянной ширины. Задачи исследования 1.Выяснить, как получаются фигуры постоянной ширины. 2. Показать роль и значение этих фигур. 3. Построить фигуры постоянной ширины.

Методы исследования Изучение литературы по теме. Ожидаемый результат Самостоятельное изготовление фигур постоянной ширины

Содержание проекта Цели, задачи, методы исследования. История вопроса. Определения и свойства фигур постоянной ширины. Треугольник Рёло. Практическое применение треугольника Рёло. Заключение. Литература.

Ширина фигуры – расстояние между двумя опорными параллельными прямыми этой фигуры. Фигура, ширина которой в любом направлении одна и та же, – фигура постоянной ширины.

Круг – самая известная фигура постоянной ширины. Эта фигура обладает многими полезными свойствами, которые человек широко использует: центр круга всегда находится на одном расстояние от окружности, ширина круга всегда постоянна и т.д.. Может показаться, что круг является единственной выпуклой фигурой, у которой ширина в любом направлении одна и та же. Однако существует множество других фигур постоянной ширины, симметричных и несимметричных, и способов их построения. Все эти фигуры имеют одинаковый периметр при одинаковом диаметре. Самую большую площадь ограничивает круг, а меньшую ­­­– треугольник Рело.

Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его сторон. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника, также он использовал его в своих механизмах 1829-1905

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке..

Подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. Если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

Свойства треугольника Рёло (среди фигур постоянной ширины) : наименьшая площадь наименьший возможный угол при вершине наименьшая симметричность относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия.

Благодаря своим геометрическим свойствам, фигуры постоянной ширины находят применение в различных областях. Пример: Вы опускаете монету в автомат и она отправляется в путь к монетоприёмнику. Чтобы монета не застряла, можно, конечно, расширить трубку. А можно изготавливать монеты в виде фигур постоянной ширины, тогда монета не застрянет, даже вращаясь.

Простейшая фигура постоянной ширины, как мы знаем, - круг, форму которого имеет большинство монет. Но есть и исключения. В Великобритании 20- и 50- пенсовые монеты имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на правильном семиугольнике. Такую же форму имеет монета достоинством в полдинара, имеющая хождение в Иордании. Изготовление монет в виде фигур постоянной ширины, отличных от круга, позволяет экономить металл: ведь как мы знаем при фиксированной ширине круглая монета – самая металлоёмкая. 20 пенсов 50 пенсов

Полдинара ( Иордания)

немецкий инженер Ф. Ванкель Двигатель Ванкеля(1957) Ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. плоская кривая, образуемая точкой, жёстко связанной с окружностью, катящейся по внешней стороне другой окружности.

Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный  термодинамический цикл без применения механизма газораспределения Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания.

В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий. С 1916 года одна из фирм приступила к производству свёрл Уаттса. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки.

Сверло с сечением в виде треугольника Рёло и режущими кромками, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата состоит лишь в немного скруглённых углах. Для сверления он использовал направляющий шаблон с квадратной прорезью, в котором двигалось сверло, вставленное в «плавающий патрон».

Грейферный механизм в кинопроекторах. Он основан на треугольнике Рёло, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны.

Форма треугольника Рёло используется и в архитектуре. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, в шотландской церкви в Аделаиде, на оконных решётках  аббатства в швейцарской коммуне  Отрив.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. 2006 г Кёльн  103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой треугольник Рёло

Заключение:   Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира. Систематизируя и углубляя теоретические знания, я в треугольнике Рело (самой известной после круга фигуры постоянной ширины) обозначил его сильные и слабые стороны. Изучил основные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретения, рассмотрел области применения фигур постоянной ширины и изучил их свойства. Рассмотрел применение треугольника Рело в некоторых механических устройствах, в автомобильных двигателях. Поиски альтернативных видов топлива для автомобилей заставил вновь обратить внимание на роторно-поршневой двигатель Ванкеля. Разработчики Mazda уверяют, что по природе своей роторно-поршневой агрегат гораздо лучше приспособлен для работы на водороде, нежели традиционные моторы. По прогнозам специалистов, уже к 2025 году более четверти мирового автопарка будет использовать в качестве топлива водород. Сколько из этого количества придется на традиционные ДВС и как будет меняться пропорция по мере удешевления себестоимости производства компонентов привода на топливных элементах? Увидим в ближайшие годы. Отличительные свойства треугольника Рело находят множество применений. Это доказывает, что мы должны более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить им ещё больше применений.

Литература Сайт в Интернете:ru.wikipedia.org Сайт в Интернете:etudes.ru «Этюды›Треугольник Рело Сайт в Интернете: nsportal.ru «Алые паруса»…/kruglyi-treugolnik-relo Дорофеев, Г.В., Шарыгин, И.Ф., Суворова, С.Б. Математика. – М.:Просвещение,1987. Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л., Новые встречи с геометрией. – М., Наука, 1978.-223с. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962. — 263 с. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006.