Числовые неравенства и их свойства

Числовые неравенства и их свойства.

Для любых неравных действительных чисел a и b можно сказать, какое больше, а какое меньше. a>,b =>, a – b>,0, если a – b<,0, то a<,b a b a b a>,b a<,b

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Знаки неравенств Строгие неравенства: A>,B, 67>,35 d<,c, 1993<,2005 Нестрогие неравенства: Е ≥ Р, Е больше или равно Р (Е не меньше Р), К ≤ М, К меньше или равно М (К не больше М).

Двойные неравенства: Двойное неравенство a <, b <, c верно, если одновременно верны два неравенства a <, b и b <, c, и неверно в противном случае. Двойное неравенство d >, e >, f верно, если …

Пример: что больше

Докажите, что

Доказательство:

Свойство 1. Если a<,b, то b>,a, если а>,b, то b<,a. Доказательство: Если a<,b, то разность a – b - отрицательное число. Тогда b – a - положительное число, т.е. b>,a. Наоборот, если a>,b, то…

Свойство 2. Если a<,b и b<,c, то a<,c. Доказательство. К разности а – с приба- вим числа b и –b и сгруппируем слагаемые: a – c = a – c + b – b =(a – -b) + (b – c). Посмотрите на условие и сделайте вывод.

Свойство 3. Если a<,b и с – любое действительное число, то а + с<,b + c. Доказательство. Рассмотрим разность (а + с) – (b + c)=… Раскройте скобки, упростите и сделайте вывод. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то…

Следствие Любое число можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Свойство 4. Если a<,b и с – положительное число, то ас<,bc. Если a<,c и с – отрицательное число, то ac>,bc. Доказательство. Рассмотрите разность ас – bc = c(a – b) и сделайте выводы.

Выводы: Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число и сохранить знак исходного неравенства, то получится верное неравенство, Если обе части верного неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства нужно поменять на противоположный.

Следствие. Если а и b – положительные числа и а<,b, то Разделим обе части неравенства a<,b на положительное число ab и, сократив дроби, посмотрим на результат.

Свойство 5. Если a<,b и c<,d, то а + с<,b +d. Доказательство. Так как a<,b, то a + c<,b + c, c<,d следовательно b + c<,b + d, а теперь посмотрите свойство 2. Если сложить почленно два верных неравенства одного знака и знак неравенства сохранить, то получим…

Свойство 6. Если a<,b и c>,d, то a – c<,b – d. Доказательство. Так как с>,d, то – с<,- d. Но по свойству 5: a <, b + -c <, - d ---------------- a – c <, b – d ч.т.д.

Вывод: Два верных неравенства противоположного знака можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычитали другое неравенство.

Свойство 7 Если a,b,c,d – положительные числа, a<,b и c<,d, то ac<,bd. Доказательство. Так как a<,b и c>,0, то ac<,bc, c<,d, b>,0, следовательно bc<,bd. Смотрим второе свойство и делаем вывод!

Итак, Если перемножить почленно два верных неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство, имеющее тот же знак, что и данное неравенство.

Следсвия из седьмого свойства: Следствие 1. Если 0<,a<,b, то Cледствие 2. Если 0<,a<,b, то

Какие появились вопросы?

На этом мы и закончим наш сегодняшний урок