Презентация к уроку алгебры в 11 классе на тему Применение производной

Алгебра и начала анализа, 11 класс Вычисление площадей фигур с помощью интеграла Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

x y 0 a b Рассмотрим фигуру, образованную графиками двух функций y=g(x) и y=h(x). Обозначим абсциссы точек пересечения графиков a и b (a<,b). Обратим внимание, что на промежутке [a, b] график функции y=g(x) «выше» графика функции y=h(x), т.е. g(x)>,h(x), при х[а, b]. Для нахождения площади полученной фигуры можно пользоваться следующим алгоритмом:

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Найти пределы интегрирования (решить уравнение h(x)=g(x)), x 0 a b y 2) Составить подынтегральную положительную на промежутке [a, b] функцию f(x)= g(x)−h(x), 3) Вычислить площадь фигуры по формуле: , где Разберем несколько примеров применения данного алгоритма.

x y 0 1 1 3 11 4 Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2 – 2x+2 и y=2+6x – x2. Решение. 1) Выполняем чертеж, 2) Найдем пределы интегрирования: x2–2x+2=2+6x–x2, откуда х=0 – нижний предел интегрирования (НПИ) и х=4 – верхний предел интегрирования (ВПИ), 3) Составим подынтегральную функцию: f(x)=2+6x–x2 – (x2–2x+2)=8x–2x2,

2) Найдем пределы интегрирования: а) x+3= –2x+9  x=2, б) x+3= x–  x=−5, в) −2x+9= x−  x=4. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x+3, y= x– и y= –2x+9. x y 0 1 1 2 4 −5 Решение. 1) Выполняем чертеж, А В С D Для ABD: x=−5 – НПИ , х=2 – ВПИ. Для BDС: x=2 – НПИ , х=4 – ВПИ. Для дальнейшего решения необходимо разбить полученную фигуру на две части: ABD и BCD. 3) f(x)=x+3−( x− )= x+ , p(x)=−2x+9−( x− )= x+ , Значит, Sфигуры=SABD+SBCD=21 (кв.ед.)

x y 0 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функции y=2x2–8х и двумя касательными к данному графику, проходящими через точку (2, –10). 1 1 Решение. 1) Выполняем чертеж, −8 2 −10 Найдем абсциссы точек касания, используя формулу касательной к графику функции y=f(x) в точке х0: y=f(x0)(x−x0)+f(x0). y=4x−8, −10=(4x0−8)(2−x0)+2x0−8x0 ,откуда х0=1 или 3. Построим касательные. 3 Для дальнейшего рационального решения достаточно вывести уравнение только одной касательной, например, АВ: y=−4(х −1)−6, т.е. y=−4х−2. Тогда, при пределах интегрирования х=1 и х=2, площадь половины фигуры равна: А В С Значит, площадь всей фигуры равна:

С помощью данного алгоритма можно также находить площадь любой криволинейной трапеции. Её левая (х=а) и правая (х=b) вертикальные границы являются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. А подынтегральной функцией является данная функция y=f(x) (в случае f(x)>,0, при х[a, b]) или y=−f(x) (в случае f(x)<,0, при х[a, b]). y=f(x) x y x y 0 0 y=f(x) a b a b