Презентация по геометрии на тему Многогранники,вписанные в тела вращения (11 класс)

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 11 классов Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

Многогранники, вписанные в сферу. Тема, аналогична теме курса планиметрии, где говорилось, что окружности можно описать вокруг треугольников и правильных n-угольников. Аналогом окружности в пространстве является сфера, многоугольника – многогранник. При этом аналогом треугольника является треугольная призма, а аналогом правильных многоугольников – правильные многогранники. Определение. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера называется описанной около многогранника.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

«Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность». Доказательство Если около прямой призмы описана сфера, то все вершины основания призмы принадлежат сфере и, следовательно, окружности, являющейся линией пересечения сферы и плоскости основания. Обратно, пусть около основания прямой призмы описана окружность с центром в точке О1 и радиуса r. Тогда и около второго основания призмы можно описать окружность с центром в точке О2 и тем же радиусом. Пусть О1О2=d, О – середина O1O2. Тогда сфера с центром О и радиуса R= будет искомой описанной сферой. Теорема 1.

«Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу, причём только одну». Доказательство. Обратимся к доказательству, аналогичному из курса планиметрии. Прежде всего надо найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух вершин треугольника. Например, А и В. Таким геометрическим местом является серединный перпендикуляр, проведённый к отрезку АВ. Затем находим геометрическое место точек, равноудалённых от А и С. Это серединный перпендикуляр к отрезку АС. Точка пересечения этих серединных перпендикуляров и будет искомым центром О описанной около треугольника АВС окружности. Теорема 2.

Теперь рассмотрим пространственную ситуацию и сделаем аналогичные построения. Пусть дана треугольная пирамида DABC, причём точки А, В и С определяют плоскость α. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А, В и С является прямая а, перпендикулярная плоскости α и проходящая через центр О1 описанной около треугольника АВС окружности. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и D, является плоскость β, перпендикулярная отрезку АD и проходящая через его вершину – точку Е. Плоскость β и прямая а пересекаются в точке О, которая и будет искомым центром описанной около треугольной пирамиды DABC сферы. Действительно, в силу построения точка О одинаково удалена от всех вершин пирамиды DABC. Причём такая точка будет единственной, так как пересекающиеся прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

Шар, описанный около правильной пирамиды. Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности. Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: R2=(H-R)2+r2 Это соотношение справедливо и в том случае, когда H <, R.

Задача про шар, описанный около правильной пирамиды. «Около правильной пирамиды РABC описан шар с центром в точке О и радиусом 9√3м. Прямая РО, содержащая в себе высоту пирамиды, пересекает основание пирамиды в точке Н так, что РН:ОН=2:1. Найти объём пирамиды, если каждое её боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45 градусов».

Дано: РABC – правильная пирамида, шар(O,R=9√3 м) описан около пирамиды, РО∩(АВС)=Н, РН:ОН=2:1, ∟РАН=∟ РВН=∟ РСН=45о. Найти: Vпир. Решение: Так как РН:ОН=2:1 (по условию), то РН:ОР=2:3 РН:9√3 =2:3 РН=6√3 (м) 2. РН _ (АВС) (как высота пирамиды) =>, =>, РН _ АН (по определению) =>, РАН – прямоугольный. 3. В РАН:

4. Так как по условию РАВС – правильная пирамида и РН – её высота, то по определению АВС – правильный, Н – центр описанной около АВС окружности, значит, 5. Ответ: 486 м3.

Шар, описанный около призмы. Шар можно описать около призмы, если она прямая, и ее основания являются многоугольниками, вписанными в окружность. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, описанных около основания призмы, связаны соотношением:

Задача про шар, описанный около призмы. «Правильная призма АВСDA1B1C1D1 с высотой равной 6 см вписана в шар (т.О,R=5см). Найти площадь сечения призмы плоскостью, параллельной плоскостям основания и проходящей через точку О – центр шара».

Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призма, шар(O,R=5 см) описан около призмы, высота призмы h равна 6 см, α║(АВС), О с α. Найти: Sсеч α, Решение: Так как по условию призма вписана в шар, то (r-радиус окружности, описанной около основания призмы) Но по условию дана правильная призма, значит,

а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойству прямой призмы) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН =>, KM ║ HP (по свойству параллельных плоскостей) Ho (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) =>, КМ=НР (по свойству параллельных плоскостей). Значит, КМНР – параллелограмм (по признаку)=>, МН=КР и МН ║ КР б) α ║ (АВС) (по построению) α ∩ (АВВ1)=КМ (АВС) ∩ (АВВ1)=АВ =>, KM ║ АВ (по свойству параллельных плоскостей) 2. 3. Так как по условию АВСDA1B1C1D1 – правильная призма, и сечение плоскостью α параллельно основаниям, то образованная сечением фигура – квадрат. Докажем это: =>, =>, =>,

KMH= ABC=90o (как углы с соответственно сонаправленными сторонами) Значит, ромб КМНР – квадрат (по определению), что и требовалось доказать. Причём, квадраты КМНР и АВСD равны. Следовательно, по свойству их площади равны, а, значит, Sсеч α.=SABCD=32 (см2) Ответ: 32 см2. в) KM ║ АВ (доказали) (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) =>, КМ=АВ=4√2 см (по свойству параллельных плоскостей). г) Аналогично доказывается, что МН ║ ВС и МН=ВС=4√2 см. Значит, МН=КМ =>, параллелограмм МНРК – ромб (по определению). д) МН ║ ВС (доказали) КМ ║ АВ (доказали) =>, =>,

Цилиндр, описанный около призмы. Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность. Радиус цилиндра R равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. В случае с четырёхугольной призмой (если в основании прямоугольник), ось цилиндра проходит через точку пересечения диагоналей оснований призмы.

Задача про цилиндр, описанный около призмы. Прямая призма АВСDA1B1C1D1 , основание которой – прямоугольник, вписана в цилиндр, образующая которого равна 7 см, а радиус – 3 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если угол между диагоналями АВСD равен 60 градусов. ОО1 – ось цилиндра.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, цилиндр описан около призмы, образующая цилиндра АА1=7 см, радиус основания цилиндра равен 3 см, угол между диагоналями АВCD равен 60о, ОО1 – ось цилиндра. Найти: Sбок.призм. Решение: Так как по условию четырёхугольная призма, в основании которой прямоугольник, вписана в шар, то по свойству АС∩ВD=О. Значит, АОВ=60о и АО=ОВ=3см. 2. В АОВ по теореме косинусов:

5. Ответ:≈114,7 см2. АС=АО+СО АС=2R AC=2∙3=6(см) 4. В АВС (прямоугольный) по теореме Пифагора:

Конус, описанный около пирамиды. Конус можно описать около пирамиды, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности. Радиус конуса R равен радиусу этой окружности, а высота H конуса и пирамиды совпадают.

Задача про конус, описанный около пирамиды. «Пирамида РАВС вписана в конус, высота РО которого равна 4, а радиус 5. Прямая СО пересекает АВ в точке М, причём АМ=ВМ=3. Найти угол между боковой гранью пирамиды (РАВ) и плоскостью основания».

Дано: пирамида РABC вписана в конус, РО=4, ОА=ОВ=ОС=5, СО∩АВ=М, АМ=МВ=3. Найти: РАВС. Решение: 1. В ОВА: ВМ=АМ (по условию) =>, ОМ – медиана ОВА( по определению) Но ВО=ОА (как радиусы) =>, (по определению) ОВА – равнобедренный =>, =>, (по свойству) ОМ – высота, т.е. ОМ _ АВ Но ОМ с СО, значит, СМ _ АВ. 2. В ОМА (прямоугольный) по теореме Пифагора:

Но ОМ _ РМ (доказали) и РМ с (АВР), и ОМ с (АВС) Значит, РМО – линейный для РАВС (по определению). 6. В РМО (прямоугольный): Ответ: 45О. РО _ (АВС) (как высота)=>,по определению РО _ ОМ. В РОМ (прямоугольный) по теореме Пифагора: РО _ (АВС) (как высота) РМ – наклонная к (АВС) МО – её проекция на (АВС) ОМ _ АВ (доказали) =>,по теореме о трёх перпендикулярах РМ _ АВ =>,

Это лишь некоторые примеры вписанных друг в друга тел. Последнее время они получили большое распространение, особенно в дизайне. Это касается различных домашних аксессуаров, таких как светильники, подсвечники, вазы и даже кофейные столики и тумбочки.