Презентация по математике Теорема о неявной функции в решении задач с параметрами

Теорема о неявной функции Мельник П.И ФМиКН, 5 курс

Теорема о неявной функции Целеполагание Задача Параметр

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Выразить одну переменную через другую: Вхождение в тему Математическая разминка 2)Вычислить производную Теорема о неявной функции

Организация учащихся Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты  и жара сконцентрированной в них мысли. А.Д. Александров Теорема о неявной функции

Теорема о неявной функции Определим функцию у = f(x) следующим образом: пусть каждому значению переменной х из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число у, такое что F(x, y) = 0. Такой способ задания называется неявным способом задания функции у = f(x), а сама эта функция – неявной функцией. Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем: Если функция F: R×R→R непрерывна в некоторой окрестности точки (x0,y0) F(x0,y0)=0  и при фиксированном x, функция F(x,y) строго монотонна по y в данной окрестности, тогда найдётся такой двумерный промежуток I=Ix×Iy  , являющийся окрестностью точки (x0,y0 )и такая непрерывная функцияf: Ix→Iy  , что для любой точки (x,y)∈I,F(x,y)=0 ↔y=f(x). Теорема о неявной функции Освоение новых знаний

Пусть f(a,x)=ax2+(a+1)x+1, тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю. Пример 1. Решить уравнение ax2+(a+1)x+1=0 Практикум ax2+(a+1)x+1=0 D=a2+2a+1-4a=a2-2a+1=(a-1)2 Ответ: x1=-1,x2=-1/a Теорема о неявной функции f (a,x)=2ax+a+1, то есть в окрестности точки (0,0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a). Т.е. в окрестности точки(0,0) исходное уравнение имеет корни: x1=-1,x2=-1/a. Т.к функция f(a,x) непрерывна на всей вещественной оси, то решения x1=-1,x2=-1/a будут решениями уравнения в любой точке.

Практикум Пример2. Решить уравнение 22x-(2a+1) 2x+a2+a=0. Решение. Пусть f(a,x)=22x-(2a+1)2x+a2+a тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по не равнялась нулю. то есть в окрестности точки (0,0) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a). 22x-(2a+1) 2x+a2+a=0, Пусть 2x=t, t>,0, тогда Теорема о неявной функции

Практикум Пример2. Решить уравнение 22x-(2a+1) 2x+a2+a=0. Решение. Ответ: Теорема о неявной функции , .

Задание для самостоятельного решения Решение. Пусть f(a,x)=a sinx-1, тогда f(a,x) – непрерывна как многочлен. Чтобы функция была монотонна достаточно, чтобы ее производная по x не равнялась нулю. f (a,x)=a cosx, x≠π/2+πn, n∈Z, a∈R, то есть в окрестности точки (0,1) функция f(a,x) – непрерывна и монотонна, тогда по теореме о неявной функции, в окрестности взятой точки найдется такая непрерывная функция f(a,x)=0 ↔ x=f(a). Ответ: Проверка полученных результатов Решить уравнение a sin x=1 Теорема о неявной функции

Домашнее задание Найти хотя бы одно решение   Подведение игогов, рефлексия Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса. Аристотель Получили ли вы наслаждение на уроке? Теорема о неявной функции