Презентация к исследовательской работе Магические квадраты

Магические квадраты Исследовательская работа (проект) Выполнил: Зубаков Юрий, обучающийся 5 класса, Руководитель: Тляубаева З.И.,учитель математики

«Далёкое время  Застыло на камне,  А мы прикоснулись к нему.  Попала к нам в руки  Великая тайна,  Мы сбросим веков пелену».

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некото­рыми планетными, а другими - магическими»” Пьер де Ферма

Гипотеза: Изучение свойств магических квадратов даст возможность любому построить этот квадрат.

Цели и задачи моей работы:  изучить историю возникновения магических квадратов, выяснить способы их построения,  научиться строить магические квадраты разного порядка разными способами, опробовать найденные способы заполнения магических квадратов, выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в науке.

Из истории развития магических квадратов Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3x3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9.

Из истории развития магических квадратов

Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Магический квадрат 2х2 Магических квадратов 2х2 не существует. Квадрат размером 2x2: две строки, два столбца и две диагонали, он должен был бы состоять из чисел 1, 2, 3,4 (1+2+3+4):2=5 Число 5 нужно представить в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать невозможно: 5=1+4=2+3

Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно 1 4 2 3 1 2 4 3 1 2 3 4

Магический квадрат 3х3 только один Найдем сумму чисел от 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45:3=15 15=9+1+5=9+2+4=8+1+6=8+2+5=8+3+4=7+2+6=7+3+5=6+5+4 5 повторяется четыре раза, на пересечении столбцов и строк, по два раза в сумме с четными и столько с нечетными числами, поэтому эти числа будут находиться противоположно друг другу 8 1 6 3 5 7 4 9 2

1.Из магического квадрата можно получить новый, с увеличением всех чисел квадрата на одно и то же число.(например на +2) 8 1 6 3 5 7 4 9 2 10 3 9 5 7 9 6 11 4

2. Все остальные магические квадраты 3 х3 получаются из него либо поворотом вокруг центра исходного квадрата на 90º или на 180°, либо отражением относительно одной из его осей симметрии, таких квадратов 8. 6 1 8 7 5 3 2 9 4 8 1 6 3 5 7 4 9 2

В магическом квадрате 4х4 сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34, сумма угловых чисел(1,4,16,13), сумма чисел центрального квадрата тоже равна 34, 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 8 12 4 14 15 1 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 8 12 4 14 15 1

Сумма цифр в каждом квадрате 2х2 равна 34, в каждом столбце имеется два рядом стоящих числа, сумма которых 13 и 21 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 8 12 4 14 15 1 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 8 12 4 14 15 1

Это знаменитый магический квадрат Дюрера. Он изображен на гравюре великого немецкого художника А.Дюрера «Меланхолия». Средние числа в нижней его строке изображают год создания гравюры -1514. Возможно, Дюрер знал этот квадрат. А может быть, начав именно с этих чисел, смог найти остальные методом подбора.

Магический квадрат 5х5 Суммы пятерок чисел на разломанных диагоналях равны постоянному числу магического квадрата-65= (1+2+3+4+…22+23+24+25):5.Такие квадраты называются совершенными. Мы уже знаем, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. 1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14

Квадрат останется совершенным, после того как его верхнюю строку заменят нижней или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот) 1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14 23 7 16 5 14 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 1 15 24 8 17

Если расположить рядом два одинаковых квадрата, так чтобы у них была общая сторона, получится паркет, где числа в любой группе клеток образуют совершенный квадрат. 1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14 1 15 24 8 17 9 18 2 11 25 12 21 10 19 3 20 4 13 22 6 23 7 16 5 14

Рассмотрим свойства магического квадрата 5х5, имеющий в центре число 13: 1.Четные и нечетные числа расположены симметрично относительно центра и относительно осей симметрии 2.13-непарное число и совпадает с номером своей клетки. 3.Суммы пар чисел, занимающих центрально-симметричные клетки, одинаковы и два раза больше числа в центре-13. . 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

Симметричность квадратов- что это такое? Квадрат, в котором любые два числа, расположенные симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и то же число, называется симметричным.( Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного)

Как построить магический квадрат нечетного порядка ( метод французского геометра 17 в. А.де ла Лубера) В первой клетке среднего столбца пишем число 1. Ниже нижней клетки тоже пишем 1 и от него идя вверх и вправо числа 2 и3. Когда дойдем до самого правого столбца это число 3 записываем слева от квадрат и пишем вправо вверх числа в порядке возрастания. Доходим до 1 и опускаемся ниже на одну клетку вниз, записываем в ней следующее число и снова пишем числа в порядке возрастания по диагонали. После чего процесс заполнения продолжается.. 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

Несложно составить магический квадрат 4х4: запишем все числа от 1 до 16 в квадрат по порядку и поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1

Метод террас (метод Баше) С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем: магический квадрат 3х3. 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Магический квадрат Пифагора. С помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Великий ученый Пифагор считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения 24.04.2004г.- дата моего рождения. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей): 2+4+4+2+4=16. Складываем цифры результата: 1+6=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 16-4=12. И вновь складываем цифры последнего числа: 1+2=3. Получили числа 24.04.2004,16,7,12,3 составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим образом. 11 222 3 444 - 6 7 - -

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм. 1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду. 11 – характер, близкий к эгоистическому. 111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный. 1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат семью в кулаке. 11111 – диктатор, самодур. 111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное, нередко попадает под влияние какой-то идеи.

Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики. Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы. 2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере. 22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы. 222 – знак экстрасенса.

Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к  постоянному «восстановлению справедливости».       Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.       Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека. 4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег. 44 – здоровье крепкое. 444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающее проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок. Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются. 5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, извлечь из нее максимальную пользу. 55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь. 555 – почти ясновидящие. 5555 – ясновидящие. . Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта. 7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии. 77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству. 777 – эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность. 7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка. Шестерок нет – этим людям необходим физический  труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок. 6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования. 66 – люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен, желательна умственная деятельность, либо занятия искусством. 666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания. 6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга. 8 – натуры ответственные, добросовестные, точные. 88 – у этих людей развито чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким. 888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов. 8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам.       Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток – свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены. 9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума. 99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые. 999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники. 9999 – этим людям  открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.

«В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял…магические квадраты» Б.Франклин. В 16-17 вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня составляют кроссворды, даже такие математики, как Клод Гаспар Баше, Паскаль Блез, Михаэль Штифель Паскаль Ферма, Гаусс Карл Фридрих. Именно в одной из книг Баше магические квадраты предстали, как математическая забава.

Так же очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много  газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами.

Выводы: В проекте рассмотрена история возникновения одного из интересных вопросов математики - магических квадратов. Рассмотрены некоторые способы их построения, описаны некоторые их свойства и опробованы найденные способы заполнения магических квадратов. Сегодня таинственностью незатейливых суммирующих закономерностей уже никого не удивишь. Человек научился строить магические квадраты самого разного порядка. Магические квадраты могут рассматриваться не только в качестве задач из математических курьезов, сегодня уже известно об их применение в новейших цифровых технологиях, в программировании. .

Заключение Математики всегда опережали время, в котором живут. Они смотрели дальше, в будущее. Многие открытия в прошлом веке не были признаны. Изучение магических квадратов всегда будет занятием интересным и актуальным. Поэтому считать, что данный проект совершенный было бы преждевременным