Презентация по алгебре и началам анализа для 10-11 классов.

Периодические функции в технике

Математика – одна из древнейших наук. За долгую историю своего существования она знала периоды расцвета и длительного застоя. В наши дни эта наука развивается исключительно быстро. Чрезвычайно расширились связи математики с другими науками. Теперь она с успехом используется и в таких областях научного знания, о которых ещё недавно думали, что они не допускают внедрения математических методов. Такое мнение существовало о биологии, медицине, языкознании и некоторых отраслях общественных наук. Возможности использовать математику для решения практических задач промышленности, сельского хозяйства и транспорта ныне представляются неограниченными.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Они внесли особый вклад в развитие математики! Л.В. Канторович Выдающийся советский математик, ныне академик, разработал метод линейного программирования в 30-х годах. А.Н. Колмогоров Герой Социалистического Труда, академик. Создал новую область математики -теорию информации. А.Н. Крылов Российский математик, академик Герой Социалистического Труда. Впервые в истории науки сформулировал один из принципов вычислительной культуры.

Периодические процессы В природе и технике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются по истечении некоторого промежутка времени. Например, если маятник делает одно полное колебание за Т секунд, то его отклонение от положения равновесия в моменты времени t, t+T, t+2T и т.д. будет одним и тем же. Периодически с периодом в 1 год меняется расстояние Земли от Солнца. С периодом в 1 лунный месяц меняются фазы Луны. Периодически изменяющиеся величины описывают с помощью периодических функций.

Определение 1: Число T называют периодом функции f, если для любого t, при котором эта функция определена, выполняются равенства Заметим, что число 0 является периодом любой функции. Периодическими являются, например, тригонометрические функции y= sin x, y=cos x и др.

Теорема 1. Если T- период функции f, то –T тоже является периодом этой функции. Если Т1 и Т2 – периоды f, то и Т1 + Т2 – период той же функции. Доказательство. Первое утверждение вытекает из того, что равенство числа T и –Т входят равноправно. Второе же утверждение следует из того, что и аналогично

Следствие. Если Т-период функции f, то при любом целом значении n число nT также является периодом этой функции. Доказательство. Пусть n –натуральное число. При n=1 истинность следствия вытекает из того, что T – период функции f. Если kT –период этой функции, то по второму утверждению той же теоремы и kT+T=(k+1)T является ее периодом. С помощью математической индукции убеждаемся в справедливости следствия для всех натуральных, а следовательно, и для всех целых значений n.

Определение 2: Функцию f называют периодической, если она имеет хотя бы один отличный от нуля период. Если Т – положительный период функции f и известен график этой функции на каком-либо промежутке [a,a+T), то можно получить ее график на всей числовой оси с помощью параллельных переносов вдоль оси абсцисс на kT, где k Z. Обычно выбирают a=0 или Если функция f постоянна, то любое число является ее периодом. Можно доказать, что если функция f отлична от постоянной, непрерывна и периодична, то среди ее положительных периодов есть наименьший.

Определение 3: Наименьший положительный период функции называется основным периодом этой функции. Пример 1. Докажем, что функция {x} (дробная часть x) периодична, и найдем ее основной период. Решение. От прибавления к x целого числа дробная часть x не меняется. Поэтому любое отличное от нуля целое число является периодом функции y={x}. Наименьшим из положительных целых чисел является 1. Докажем, что число 1 – основной период функции {x}. Для этого достаточно показать, что ни одно положительное число T меньшее, чем 1, не может быть периодом функции y={x}. Но при x=0 имеем {x}=0, а {x+T} = {T} = T 0 (поскольку 0<,T<,1). Значит, равенство {x}={x+T} не выполняется при x=0, и поэтому T не является периодом функции {x}. Это и означает, что основной период функции y={x} равен 1.

Теорема 2: Если Т- основной период функции f, то все остальные периоды той же функции кратны Т. Доказательство. В силу теоремы 1 достаточно провести доказательство для положительных периодов функции f. Если Т1 – такой период, то он не может быть меньше Т, так как Т-наименьший из положительных периодов функции f. Но если Т1 Т, то найдется такое натуральное число n, что nT T1<,(n+1)T. Из теоремы 1 и ее следствия вытекает, что –nT, а потому и Т1-nT – период функции f. Но 0 Т1 – nT<,Т, а из сказанного выше следует, что период Т1-nT не может быть положительным и меньшим, чем Т. Значит, Т1 – nT = 0, т.е. Т1=nT.

Примеры периодических функций Функция y= [x]=x- {x}, где каждому числу x ставится в соответствие целая часть.

Функция y = {x}, периодическая функция, основной период которой равен 1.

Функции cos t и sin t – периодические функции Основной период данных функций равен В самом деле, точки М(t), N(t+ ) и P(t- ) совпадают, а потому имеют одни и те же координаты. Так как декартовы координаты точки M(t) равны cos x и sin x и аналогично для двух других точек, то имеем: (1) (2)

Равенства (1), (2) доказывают, что - один из положительных периодов функций cos t и sin t. Докажем, что у этих функций нет положительных периодов, меньших, чем . В самом деле, если бы Т, где 0<,T<, , было бы периодом для функции cos t, то при t=0 должно было выполняться равенство cos T=cos 0=1. Но на координатной окружности есть лишь одна точка с абсциссой 1, а именно начало отсчета А(0)=А(1,0). Она соответствует числам вида n, n Z. Поскольку 0<,T<, , то Т не имеет такого вида и потому равенство cos T=1 ложно. Этим доказано, что функция cos t не имеет положительных периодов, меньших, чем , а потому является основным периодом этой функции.