Презентация по математике на тему Метод объемов

Решение задач С-2 МЕТОДОМ ОБЪЕМОВ Составила : учитель математики Воробьева Г.В. МБОУСОШ № 150 г. Красноярск.

Данный метод применим для задач : -нахождение расстояния между двумя скрещивающими прямыми. -нахождение расстояния от точки до плоскости. Алгоритм метода объемов. построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми, доказать, что эта высота и есть искомое расстояние, найти объём этой пирамиды двумя способами, и выразить эту высоту,

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

При решении задач данного типа используется следующие утверждение: 1.Если объем пирамиды АВСD равен V, то расстояние от точки D до плоскости α, содержащей треугольник АВС, вычисляется по формуле d=

2.Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле Где угол м/у прямыми АВ и С D, V- объем тетраэдра АВСD

Пусть АС и DC1 – скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным граням АВСD и DD1C1C соответственно. Найдём расстояние между ними.

A1 B1 C1 D1 A C D B Дополнительное построение: АВ1 , СВ1 и DВ1. Но (DD1С1)║(АА1В1),т.к. дан куб DС1 ∈ (DD1С1) DС1║АВ1 АВ1∈ (АА1В1), В результате дополнительных построений мы получили пирамиду DAB1C. В пирамиде DAB1C, высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB1C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC1. Теперь докажем почему. A1 B1 C1 D1 A C D B

Высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB1C, перпендикулярна плоскости этого основания. Значит, она перпендикулярна любой прямой принадлежащей этой плоскости (по определению). Но АС ∈ (AB1C ) AB1 ∈ (AB1C ) h | AB1 h | (AB1C ) h | АС Но, с другой стороны АВ1 ║ DС1 AB1 | h Значит, h | DС1. Имеем: h | DС1 h | АС Следовательно, h – общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых АС и DС1. Что и требовалось доказать. Найдём эту высоту. A1 D1 B B1 C1 A C D

Рассмотрим пирамиду B1АCD: V1 = ⅓ ·h · SАСD. h = B1В = а SАСD=½·СD·АD= ½·а2 Вывод: V1 = ⅓·½·а3 а а а A B C D A1 B1 C1 D1

Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D: Учитывая, что V1 = V2 , получим d= - искомое расстояние. А1 А В D C B1 C1 D1

2.Расстояние м/у скрещивающими прямыми , содержащими отрезки АВ и С D соответственно , можно вычислить по формуле Где угол м/у прямыми АВ и С D, V- объем тетраэдра АВСD

Задача № 1 Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими диагоналями двух соседних граней куба РЕШЕНИЕ: Рассмотрим как соседние диагонали куба Скрещивающие прямые А 1В и В 1С. Найдем расстояние между ними по формуле , где объем тетраэдра a – угол м/у прямыми А 1В и В 1С. Для вычисления угла заменим прямую В 1С прямой А 1D и найдем его из треугольника А 1DВ, т.к. треугольник равноcторонний угол 60 0. Тогда d=

d= d =

способ 2( метод координат) искомое расстояние –это расстояние от точки C до плоскости ( A1DB) вычисляется d = пусть уравнение плоскости ( A1DB) : Ax + By + Cz+ D =0 введем систему координат с центром в точке D(0,0,0) тогда А1(1,0,1), В(1,1,0) D(0,0.0) т.к. точка D принадлежит плоскости ( A1DB), то D = 0 А1 принадлежит плоскости ( A1DB), то А+С =0, С= - А В принадлежит плоскости ( A1DB), то А+В =0, В= -А Значит Ах -Ау –Аz =0 , х-у –z =0 C(0,1,0) тогда Ответ : d=

Для решения задач методом объемов используют опорные задачи: 1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство VABCA1 = 1/6V ABCDA1B1C1D1 2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра, α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле

1.Если вершины АВDA1 параллелепипеда ABCDA 1B 1C 1D1 являются вершинами тетраэдра , то имеет место равенство VABCA1 = 2.Пусть p и g – площади двух граней тетраэдра, a – длина общего ребра, α- величина двугранного угла между этими гранями. Тогда объем тетраэдра может быть вычислен по формуле V= Опорные задачи

Задача № 2 Ребро куба ABCDA 1B 1C 1D1 равно 1 .Найти расстояние между скрещивающими прямыми ВA 1 и B 1D. (2 способа) Способ №1: метод объемов Найдем расстояние м/у прямыми ВA1 и B1D. По формуле Объем пирамиды 1/6 , угол м/у прямыми 90. Тогда ВA1 = , B1D= d=

Задача №3 (ЕГЭ-2012 г.) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2,боковые ребра 3,точка D- середина ребра СС1 .Найти расстояние от вершины С до плоскости (ADB1). (два способа решения) Пусть Вычислим площади треугольников по 1,5. Угол 60 градусов т.к. в основании правильный треугольник. Тогда объем равен Расстоянием от точки С до плоскости будет высота пирамиды т.е. перпендикуляр на плоскость (ADB1). Найдем V пирамиды. С другой стороны

Найдем площадь основания – площадь треугольника АDB1 Треугольник ADB1 равнобедренный. Сторона AD=DB 1

Задача №4 (ЕГЭ-2012 г.) В правильной четырехугольной призме ABCDA 1B 1C 1D1 стороны основания равны 1, а боковое ребро равно 2. Точка М- середина ребра AA1 . Найти расстояние от точка А до плоскости (ВМ D1).

Задача №5 В правильной шестиугольной призме А – F1 все ребра которой равны 1. Найти расстояние между прямыми AB1 и BC1

2014г. В-9 Лысенко с-2 в прямоугольном параллелепипеде точка F- середина DD1 , точка К- лежит на ребре ad так, что АК:КD=1:3. НАЙТИ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ BF и А1K, если АВ= 3,АD = 4, АА1 =2 РЕШЕНИЕ: найдем расстояние м/у прямыми ВF и A1 K по формуле Найдем объем пирамиды построенной на прямых ВF и A 1K .

Найдем площадь треугольника KА1F . 8-1-1,5 -2=3,5 тогда объем V=1/3·3,5·3=3,5 Найдем угол м/у прямыми: для этого прямую KА1 заменим параллельной прямой FE.рассмотрим треугольник BEF KА1 = BF = BE = FE = , найдем косинус угла BFE Тогда расстояние А1 К F E A

2014 В-10 Лысенко С-2 В прямоугольном параллелепипеде точка Е – середина ребра СС1. найти расстояние между АЕ и ВС1, если АВ=3, АD=2, СС1= 4. РЕШЕНИЕ: Найдем расстояние м/у данными прямыми по формуле Найдем объем пирамиды построенной на данных прямых Найдем длины прямых АЕ и ВС1,

Для нахождения синуса угла перенесем AE на параллельную ей прямую A2C1. Рассмотрим треугольник А2С1В:

Прямоугольный  параллелепипед  —  параллелепипед,  все  грани  которого  являются  прямоугольниками.  AB=CD=2,  BC=AD=4,  AA1=6. Искомым  расстоянием  будет  высота  h  пирамиды  ACD1D,  опущенной  из  вершины  D  на  основание  ACD1  (см. Рис.3). Вычислим  объем  пирамиды  ACD1D  двумя  способами. Вычисляя,  первым  способом  за  основание  примем  ∆  ACD1,  тогда Вычисляя,  вторым  способом  за  основание  примем  ∆  ACD,  тогда Приравняем  правые  части  последних  двух  равенств,  получим