Презентация к уроку Методика имитационного моделирования по информатике углубленный курс (11 класс)

Пример математического моделирования для экологической системы

Постановка задачи Рассматривается простой пример математического моделирования процессов, происходящих в экологической системе, состоящей их двух популяций живых организмов, одна из которых существует исключительно за счет поедания представителей другой. Такую систему принято называть «хищник-жертва».

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Считается, что жизнь этих двух популяций происходит на изолированном острове, где кроме них никого больше нет, но имеется в достаточном количестве корм для «жертв». Имеется лишь один механизм взаимодействия между двумя видами животных – хищники поедают жертв, благодаря чему выживают и размножаются. В системе соблюдается определенное равновесие. Постановка задачи

Построение математической модели Строится дискретная модель динамики изменения численности популяций хищников и жертв. Пусть Ni – численность популяции жертв, а Сi – численность хищников в некоторый момент времени ti, Шаг по времени ∆t – конечная величина. Примем t0=0 – начальный момент времени наблюдения, ti=i* ∆t, где i=1,2,3…

Согласно подходу к дискретному моделированию динамических систем, модель динамики популяций жертв и хищников будет состоять из двух формул: Ni+1=Ni+DNi* ∆t Ci+1=Ci+DCi *∆t Здесь DNi – это скорость изменения численности жертв, а DCi - скорость изменения численности хищников на i-м шаге по времени. Построение математической модели

В рассматриваемой системе «хищник-жертва» происходят процессы, способствующие как росту численности популяции (скорость – положительная величина), так и убыванию численности (скорость – отрицательная величина). Построение математической модели

Допущения для построения математической модели При отсутствии хищников скорость роста численности популяции жертв пропорциональна их количеству. Вклад наличия хищников в скорость убывания популяции жертв пропорционален произведению численности обоих популяций. При отсутствии пищи (жертв) скорость убывания популяции хищников пропорциональна их численности. Скорость роста популяции хищников благодаря поеданию жертв пропорциональна произведению численности обеих популяций – с поправкой на эффективность рождения потомства у хищников в результате поедания жертв.

Вводя соответствующие параметры (коэффициенты пропорциональности) и изменяя величины DNi и DCi на выражения, следующие из сформулированных выше допущений, получаем систему уравнений: Ni+1=Ni+(r*Ni- a*Ci*Ni)*∆t Ci+1=Ci+(f*a*Ci*Ni- q*Ci)*∆t Построение математической модели

Коэффициенты, которые входят в формулу, можно, сообразно их смыслу, назвать так: r – параметр скорости роста популяции жертв при отсутствии хищников (отражает допущение 1), а – параметр эффективности поиска хищниками жертв (отражает допущение 2), q – параметр скорости снижения популяции хищников при отсутствии пищи (отражает допущение 3), f – параметр эффективности рождения потомства у хищников в результате поедания жертв (отражает допущение 4). Построение математической модели

Определение значений параметров Значения параметров r, a,q,f могут быть определены только эмпирически, т.е. из экспериментальных наблюдений, на основании обработки полученных статистических данных. Параметры r, a,q имеют размерность, обратную размерности времени. Например, если с учетом медленности происходящих процессов (изменения численности популяций) за единицу времени принять 1 год, то размерность параметров r, a,q будет год-1

Пусть, например, r=1 (год-1). Что отсюда следует? Это означает, что численность жертв при отсутствии хищников за 1 год возрастет в 2 раза: Ni+1=2Ni Параметр f – безразмерная величина. Пусть, например, f=0,1. Это означает, что в результате съедания 10 жертв поголовье хищников увеличится на 1 особь. Определение значений параметров

Величину ∆t можно интерпретировать двояко: либо как промежуток времени, через которое ведется наблюдение за численностями популяции, либо как некий условный шаг по времени, который связан с дискретным приближением к описанию реально происходящего непрерывного процесса. Действительно процесс изменения численностей популяций непрерывен, а дискретизация связана с принятым нами способом приближенного описания непрерывных процессов. Чем меньше ∆t тем система уравнений адекватно описывает непрерывный динамический процесс. Определение значений параметров