Представление чисел в формате с плавающей запятой

Представление чисел в формате с плавающей запятой

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Пример: 555,55 = 55555•10‾² = 0,55555•10³

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число A=m×qn

Любое число А может быть представлено в экспоненциальной форме: А = m • qn, где m – мантисса числа q – основание системы счисления n – порядок числа Пример: 0,55555•103

Чтобы привести к какому-то стандарту в представлении чисел с плавающей запятой условились представлять числа в нормализованной форме При этом мантисса должна отвечать условию: быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля 1/n  | m |  1

Пример: Преобразовать число с плавающей запятой к нормализованной форме Преобразовать десятичное число 888,88, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой 888,88 – естественная форма 0,88888•10³ - нормализованная форма Нормализованная мантисса m = 0,88888 Порядок n = 3 0,88888 >, 1/3  0,3333… 0,88888 <, 1 Это касается и отрицательных чисел, т.к. мантисса в условии взята по модулю

Числа в формате с плавающей запятой занимают в памяти компьютера 4 байта (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность) Для записи таких чисел выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка числа мантиссы.

Определение максимального числа обычной точности Число обычной точности занимает в памяти компьютера 4 байта. Для хранения порядка мантиссы отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и её знака – 24 разряда. В старшем бите 1-го байта хранится знак порядка числа:0 – «+», 1 – «-», 7 бит содержат порядок, в следующих трех байтах, хранятся значащие цифры мантиссы и её знака (24 разряда) 1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт Знак и порядок Знак и мантисса 01111111 01111111 11111111 11111111

Максимальное значение порядка числа составляет 11111112 =27=12710 Следовательно, максимальное число: 2127 = 1,701411836046923173168730371588 •1038 Точность вычислений определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы чисел Максимальное значение положительной мантиссы равно: 223 -1  223 = 2(10*2,3)  10002,3 = 10(2,3*3)  107 Таким образом, максимальное значение чисел обычной точности вычислений составляет : 1,701411 *1038

Сложение и вычитание чисел в формате с плавающей запятой Сначала проводится подготовительная операция выравнивание порядков. Меньший по модулю порядок увеличивается до величины большего по модулю порядка числа. Для того чтобы величина числа не изменилась, мантисса уменьшается в такое же количество раз (сдвигается в ячейке памяти вправо на количество разрядов, равное разрядности порядков чисел). После выполнения операции выравнивания одинаковые разряды чисел оказываются расположенными в одних и тех же разрядах ячеек памяти. Теперь операции сложения и вычитания чисел сводятся к сложению или вычитанию мантисс. 0,1 × 25+ 0,1 × 23= ? 0,1 × 25- 0,1 × 23= ? 0,100 × 25 + 0,001 × 25 0,101 × 25 0,100 × 25 - 0,001 × 25 0,010 × 25= 0,10 × 24

Умножение и деление чисел в формате с плавающей запятой При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем число обязательно нормализуется, т. е. после запятой должна стоять цифра, отличная от нуля. Умножение Деление