Презентация к программе Динамическая модель образования рулет к Защите на сессии МАН Искатель

Я, Роман Яценко, ученик 9 класса Новопокровской ош, Красногвардейского района , представляю свой проект « Динамическая модель рулетт» 

В конкурсе «Шаг в науку» я презентовал свой проект «Велосипедное колесо и циклоида» . Первоначально я предполагал что велосипедное колесо при движении вычерчивает синусоиду .

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Но самое главное - я узнал о существовании циклоиды, богатой истории её исследования и влияние на развитие современной математики . Узнал, что кроме циклоиды существует ряд её «сестёр» - эпициклоид , гипоциклоид, трохоид и обнаружил , что в конце XX века свойства этих замечательных линий вновь находят своё применение в жизни человека. Так и возникла у меня идея исследовать свойство этих графиков с помощью своей программы «Динамическая модель рулетт» Итак, краткий экскурс в историю исследования и основные открытия математики, на которые подвигла учёных её величество «Циклоида» 

Циклоидой именуют кривую, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Первыми из ученых обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьезное исследование этой кривой началось только в XVII веке. крупнейшие ученые и Италии, и Франции (Торричелли, Вивиани , Ферма , Декарт , Роберваль ) решали разнообразные задачи о циклоиде, а в 1673 году Гюйгенс констатировал, что «циклоида исследована точнее и основательнее всех других кривых». 1. Касательная к кривой. Первыми касательную к циклоиде, определяемой кинематически , построили Роберваль и ученик Галилея - Торричелли.

2. Спутница циклоиды - синусоида, лепестки Роберваля и площадь под циклоидой.

«Спутница циклоиды» разбивает ее на три части : фигуру под синусоидой и две симметричные фигуры, названные «лепестками Роберваля» Площадь под аркой «спутницы циклоиды» (синусоиды) равна 2πr2, значить площадь всей фигуры под аркой циклоиды равна 3πr2. Метод, которым Торричелли, и Вивиани при вычислениях площадей, ограниченных кривыми линиями, назывался «способом неделимых». Этот метод явился предвестником возникновения интегрального исчисления. Роберваль блестяще доказал, что площадь этих двух лепестков равна площади производящего круга πr2.

3. Брахистохрона - кривая спуска кратчайшего времени. В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска. И доказал, что этой кривой является перевёрнутая циклоида. Кроме того она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды , достигает горизонтали за одно и то же время. Этой же задачей занимались: Г. Лейбниц, И. Ньютон, Г. Лопиталь. Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.

4. Циклоида и изохорный маятник Голландский ученый Х. Гюйгенс задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Используя свойство таутохронности циклоиды , он изготовил для маятника специальные щёчки в форме циклоиды и добился, чтобы период колебаний маятника не зависел от амплитуды маятника. Опыты Гюйгенса показали, что когда нить маятника целиком наматывается на щеку, то конец его оказывается в вершине циклоиды, значит, длина нити маятника - 4r ,следовательно длина циклоиды - 8r . В 1658 году английский архитектор и математик Кристофер Рен, сформулировал и доказал теорему о длине арки циклоиды , Гюйгенс же, получил очень естественное доказательство этой теоремы.

Эпициклоида и гипоциклоида. Вывод формулы. Если один круг без скольжения катится извне по другому кругу, то кривая, описываемая произвольной точкой окружности подвижного круга, называется эпициклоидой. В случае качения изнутри, мы имеем дело с гипоциклоидой. К выводу формулы эпициклоиды, я отнёсся очень серьёзно и именно понимание этапов возникновения формулы очень помогло мне в написании программы построения эпициклоиды.

Возьмем начало координат в центре О неподвижного круга, а ось x проведем через то положение интересующей нас точки A, в котором она является точкой касания обоих кругов в начальный момент, когда угол поворота равен 0. Когда подвижный круг перейдет в новое положение, указанное на чертеже, точка А подвижного круга перейдет в точку В. Геометрическое место точек В и будет уравнением эпициклоиды. Пусть Выберем за параметр t = BO1D - угол между радиусом O1В , соединяющим центр O1 с исследуемой точкой В и отрезком ОO1, соединяющим центры окружностей и проходящей через D- точку касания окружностей. Имеем  АD =  DВ = R· АOD = mR· BO1D = mRt. и так как t = BO1D Отсюда АOD = mt. Теперь можно выражать координаты х и у точки В через параметр t . х = OW= OK+ KW = OK + EB у = BW = EK = O1К - O1E

Окончательно получили параметрическое уравнение эпициклоиды x = R[(1+m) cos mt – m cos (1+m)t] y = R[(1+m) sin mt – m sin (1+m)t].

Аналогично рассуждая по гипоциклоиде - фигуре, получаемой при перекатывании окружности внутри неподвижной окружности , можно получить уравнение : x = R[m cos (1- m)t +(1-m) cos mt ] y = R[m sin (1- m)t - (1- m) sin mt ] Легко заметить, что эти уравнения получаются из уравнений эпициклоиды заменой m на –m. О Трохоиде, гипотрохоиде и эпитрохоиде Рассматривая вопрос практического применения рулетт, я обратил внимание, что на рисунках валов насосов, на сепараторах редукторов проглядывается искажённая эпициклоида или гипоциклоида. Поэтому считаю ещё необходимым рассмотреть вопрос об укороченных и удлинённых рулеттах. Трохоиды— плоская трансцендентная кривая, представляет собой траекторию точки, жёстко связанной с окружностью радиуса, катящейся без скольжения по прямой. Описывается эта кривая параметрическим уравнением x = rt − h sin t , y = r − h cos t. где h — расстояние точки от центра окружности, r — радиус окружности,

Если h = r трохоида переходит в циклоиду. При h>, r — удлинённая циклоида. При h <, r — укороченная циклоида .

Циклоидное зацепление, практика применения Циклоидное зацепление, образуется зубчатыми колёсами, профили зубьев которых очерчены по эпициклоиде и гипоциклоиде. Начальная окружность делит профиль зуба колеса на головку и ножку, причём головка очерчена по эпициклоиде, а ножка — по гипоциклоиде. Геометрическим местом контакта профилей — линией зацепления LPL— являются дуги вспомогательных окружностей, ограниченные окружностями вершин зубьев зубчатых колёс. При правильном зацеплении выпуклый эпициклоидный профиль головки зуба одного колеса на линии зацепления контактирует с вогнутым гипоциклоидным профилем ножки зуба другого колеса, в отличие от эвольвентного зацепления, при котором и головка, и ножка выпуклые.

Такая особенность циклоидное зацепление создаёт более благоприятное распределение давления в месте контакта зубьев и обеспечивает меньший по сравнению с эвольвентным зацеплением износ . Я решил смоделировать циклоидное зацепление, создав мнимую передачу эпициклоида-гипоциклоида, которая не может работать в реальности, но демонстрирует процесс скольжения пары -эпициклоида-гипоциклоида. Передача с циклоидным зацеплением имеет ряд преимуществ- мягкость хода, более высокое передаточное число , меньшая шумность и нагрев, но кроме трудности изготовления этой передачи технологически, циклоидное зацепление чувствительно к изменению межосевого расстояния O1O2. При его изменении могут вступить в зацепление только эпициклоидные или только гипоциклоидные участки профилей зубьев колёс и все достоинства этой передачи пропадают.

Современное развитие интереса к применению циклоидного зацепления. Винтовые насосы с циклоидальным зацеплением находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности - в системах управления, регулирования и смазки машин в гидравлических прессах, для подачи жидкого топлива, для перекачивания вязких жидкостей . Использовали и циклоидальное зацепление в цевочных зацеплениях, когда зуб шестерни зацеплялся с цилиндрической цевкой. Наличие цилиндрической цевки во многом обусловлено технологией изготовления рейки – сваркой. В настоящее время в горной промышленности Донецка используются литые рейки, что позволяет применять и другие формы зуба рейки, в частности – циклоидальное зацепление.

В последние годы широкое распространение получают так называемые планетарно-цевочные передачи как альтернативные традиционным зубчатым передачам . Эти передачи с циклоидальным зацеплением обладают при сравнении с зубчатыми передачами уменьшенными объёмами и габаритами, меньшей массой, повышенной несущей способностью и долговечностью вследствие многоконтактности зацепления. Идея конструкции этих передач заключается в обкатывании телами качения-роликами специально профилированных эпи и гипоциклоидных поверхностей двух тел. Передачи позволяют получить максимальное передаточное отношение в одной ступени до 500. Коэффициент полезного действия таких редукторов составляет 85-97% и они выдерживают пятикратные перегрузки. По информации основного японского производителя-корпорации SUMITOMO-CYCLO применимость таких редукторов достигла 30% в США и 60% в Японии и Южной Корее. Они используются в робототехнике, станкостроении, химическом машиностроении, грузоподъёмных машинах. Важной эксплуатационной характеристикой передачи является пониженный уровень шума и вибраций.

Меня вдохновили эти интересные факты истории исследования циклоиды, вдохновили и вести, что гипоциклоида и эпициклоида вновь, после незаслуженного забвения, начинает играть существенную роль в экономии энергетических ресурсов человечества. Я решил создать исследовательскую учебную программу , которая расскажет пользователю о свойствах рулетт, поможет построить график рулет. Если пользователь выберет правильные режимы построения, то он увидит и динамическую модель построения выбранной рулетты. Эту программу и презентую вам.