Презентация к интегрированному уроку по математике и физике на тему Квадратные уравления в задачах по физике

Применение алгоритма решения квадратного уравнения к решению физических задач многие задачи физики приводятся к решению квадратных уравнений. Квадратным уравнением описываются, например, равноускоренное движение, движение жидкости в ламинарном потоке, распространение тепла в стержне и многие другие процессы.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями. Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Общее правило решения квадратных уравнений, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г.

Благодаря этой рекламе сайт может продолжать свое существование, спасибо за просмотр.

Квадратное уравнение в стандартном виде aх² + bх+c =0 a- первый(старший )коэффициент b- второй коэффициент c – свободный член a ≠ 0 какой вид имеет квадратное уравнение? Как называются уравнения, в которых b или c равны нулю? В которых и b и c равны нулю? В котором a=1?

х² -25= 0 6х³- 3х=0 15х²- х³-5 =0 х+х²- 4 =0 3,6х² +4х – 6 =0 Какие уравнения из примера являются квадратными?

x1,2=(-b±√D)/2a , где D=b2 – 4 a c ≥0 В случае, если D<,0 , корней нет. Чему равны корни квадратного уравнения?

Теорема Виета. x1 + x2 = -b/a x1 x2 = c/a произвести самостоятельно доказательство для случая приведенного квадратного уравнения

х² + bх+c =0 x1 + x2 =(-b+√D)/2+(-b-√D)/2 =(-b+√D –b-√D)/2 =-2b/2=-b x1 + x2 = -b x1 x2 =(-b+√D)/2 * (-b-√D)/2 = ((-b)2- (√D)2)/4=( b2 - (b2 – 4c))/4=c x1 x2 = c Проверяем.

Ускорение: a = const (1) Скорость: v = v0 + a t (2) , где v0 – начальная скорость, t – время Перемещение: s = s0 + v0 t + a t2/2 (3) , где s0 – начальное перемещение. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки с постоянным ускорением

На ри­сун­ке 1 при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти дви­же­ния тела от вре­ме­ни. Ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий ему гра­фик за­ви­си­мо­сти пути от вре­ме­ни (рис. 2). Задачи для устной работы.

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти ко­ор­ди­на­ты x от вре­ме­ни t для четырёх тел, дви­жу­щих­ся вдоль оси Ox. Рав­но­мер­но­му дви­же­нию со­от­вет­ству­ет гра­фик __ Равноускоренному движению соответствует график __ Задачи для устной работы.

На ри­сун­ке пред­став­лен гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ускоре­ния тела ax от вре­ме­ни t. Какие участ­ки гра­фи­ка соответ­ству­ют рав­но­уско­рен­но­му дви­же­нию тела вдоль оси x?  1) AB и DE 2) ВС и CD 3) толь­ко ВС 4) толь­ко CD Задачи для устной работы.

За какое время долетит до корзины баскетбольный мяч, брошенный под углом 53 градуса горизонту, со скоростью 7 м/с, если точка вылета мяча находится на высоте 2,35 метра от пола? Высота кольца 3,05 м от пола. Считаем, что игрок произвел результативный бросок. Практическое применение алгоритма решения квадратных уравнений при решении задач по физике Имея математическое описание равноускоренного движения, можно решить, например, такую задачу

sy = 3,05 – 2,35 = 0,7 м s0y = 0 v0 y= 7 * sin53 = 5,59 м/с a = -g (9,81 м/с2) откуда 0,7 = 5,59 t – 9,81 t2/2 или 4.91 t2 - 5,59 t + 0,7 = 0 D = (5.59)2 – 4 *4.91 * 0.7 = 17.51 t1= (5,59 + √17,51)/2*4.91 = 0,99 t2 = (5,59 - √17,51)/2*4.91 = 0,14 Решение. Расположим прямоугольную систему координат в точке вылета мяча. Ось OX направим горизонтально, OY – вертикально. Тогда вдоль оси OY движение будет равноускоренным, а вдоль оси OX – равномерным. Формула (3) описывает движение вдоль оси OY, где полученные два значения означают, что на высоте 0,7 м от точки вылета мяч будет находится дважды: во время подъема и во время падения, по смыслу задачи нас интересует момент падения, таким образом ответ: 0,99 с. Анализ видеосъемки броска мяча в корзину показывает правильность расчетов: до верхней точки мяч движется 0,6 с. и до кольца еще 0,4 с. В данном примере видны основные отличия задач по физике от задач по математике: 1.вычисления производятся с некоторой погрешностью и часто с помощью технических средств. Точность расчетов является отдельной темой для изучения и сейчас не рассматривается. 2. Полученные результаты необходимо объяснить с физической точки зрения. Математическая неопределенность, например отрицательный дискриминант, означает невозможность описанного физического процесса. Отрицательное значение, например такого параметра как время, также не имеет физического смысла. При этом отрицательными могут быть значения ускорения, скорости и перемещения.

Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р1 =4 Вт, во втором – Р2=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику.

P = U*I = U*U/R = U2/R R1об = R1 + R2 P1 = U2/R1об = U2/( R1 + R2) (1) R1об = R1 * R2/ (R1 + R2) P2= U2/R2об = U2 * ( R1 + R2)/ R1 * R2 (2) P3 = U2/R1 , а P4 = U2/R2 P2=U2*( R1 + R2)/ R1 * R2=U2 R1 / R1 * R2+U2 R2 / R1* R2 =U2 / R2 + U2 / R1 = P4 +P3 P4 +P3 = P2 (3) ( R1 + R2)= U2/ P1 P2=U2 * ( R1 + R2)/ R1* R2=U2 * U2/ P1 * R1 * R2=U2 / R1* U2/ P2* 1/ P1 =P3*P4* 1/ P1 P3 *P4 = P2 * P1 (4) Решение.

x + y = 18 x y = 72 y = 18 — x x (18-x) = 72 x2-18x+72=0 D=92-72=81-72=9 x1=9+3= 12 , x2=9 - 3= 6 y1= 18 — 12 = 6 , y2 =18 — 6 = 12 Решение.

Домашнее задание. 1. Решите уравнение 5(х-2)=(3х+2)(х-2). 2. Один из корней данного квадратного уравнения равен –3. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 5х+kх-12=0 3. Вывести формулу траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту. Домашнее задание. Мы рассмотрели некоторые физические процессы, параметры которых описываются квадратными уравнениями. Мы применили алгоритм решения квадратных уравнений для решения физических задач и увидели отличия от задач по математике в том, что полученные решения необходимо объяснить с физической точки зрения и выбрать из них те, которые отвечают физическому смыслу.