Лекции - техническая механика

Раздел 4. Динамика

1. Аксиомы динамики

В динамике рассматривается движение материальных точек или тел под действием приложенных сил; устанавливается связь между приложенными силами и вызываемым ими движением. Динамика основывается на ряде вытекающих из опыта аксиом; некоторые из них были рассмотрены в статике.

Если на точку действует неуравновешенная система сил, точка имеет некоторое ускорение. Связь между действующей на точку силой и ускорением, вызываемым этой силой, устанавливается основной аксиомой динамики, которая заключается в следующем.

Ускорение а, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорционально ей (рис. а)

m = , (1)

или в скалярной форме

та = F.

Коэффициент т, входящий в основное уравнение динамики, имеет очень важное физическое значение. Он представляет собой массу материальной точки.

Если решить уравнение (1) относительно ускорения, получим

а = F/m, (2)

т. е. чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности». Из уравнения (1) находим массу

т = F/a. (3)

Если это уравнение применить к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, получим

т = G/g,

где g - ускорение свободного падения.

Масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой постоянную скалярную величину, которая всегда положительна и не зависит от характера движения.

В динамике используют также аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. б), т. е.

m =₁ + ₂ +₃+ …_n= F_Σ, (4)

где F_Σ =₁ + ₂ +₃ +…_n - равнодействующая системы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины - метр (м), единицу времени - секунду (с) и единицу массы - килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = та принять т = 1 кг, а = 1 м/с², то получим единицу силы - ньютон (Н), который способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с²,

[F] = [m](a)= кг _* м / с² = H.

Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной системы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно составит

G = mg = 1 кг _* 9,81 м/с² = 9,81 кг _* м / с² = 9,81 Н,

но в то же время сна составляет одну килограмм-силу.

Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н = 0,1 кгс.

На основе аксиом динамики можно решить следующие две основные задачи.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

2. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил F₁, F₂, F₃, ..., F_n ( рис. 2). Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

Рис. 2 m =₁ + ₂ +₃+ …_n= F_Σ,

где а - ускорение точки М; т - масса точки М; F_s - равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

-m +₁ + ₂ +₃+ …_n= 0.

Введем обозначение - та = F_ин, тогда приведенное уравнение можно представить в виде

_ин+₁ + ₂ +₃+ …_n= 0. (5)

Таким образом, все силы, включая силу F_ин, должны уравновешиваться, так как силы F_ин и F_Σ равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила F_ин равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел,, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой т движется прямолинейно с ускорением (рис. 3, а, б). При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле

Fин = та.

Рис. 3

При ускоренном движении (рис. 3, а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. 3, б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. 3, в). При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную а_n и касательную а_t

составляющие. Аналогично сила инерции точки F_ин также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

Fⁿ_ин= та_п. (6)

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

F^t_ин = ma_t. (7)

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

F_ин =Fⁿ_ин + F^t_ин (8)

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаим? но перпендикулярны, полная сила инерции

(9)

3. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F (рис. 4, а). За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С₁ по прямолинейной траектории на расстояние s.

Рис 4

Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

W = Fs cos (F, s) == Fs cos a. (10)

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° - отрицательна, при α = 90° W = 0 (работа равна нулю).

Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда Положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когда α = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, W = Fs, так как cos α = 1. Произведение F cos a есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр (м): 1 Дж = 1 Н _* м = 1 кг _* м² /с². Применяется также

более крупная единица работы - килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 10³ Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс-м).

4. Работа силы на криволинейном перемещении

При криволинейном движении формулой (10) пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке пути ds (рис. 4, б), который можно считать прямолинейным,

dW=Fds cos (F, v)

где v - скорость точки, совпадающая по направлению с элементарным перемещением.

Cуммируя элементарные работы на конечном отрезке пути, получаем полную работу

W= ΣF ds cos{F, v). (11) ,

Используем эту формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая точка, сила тяжести которой G, переместилась по криволинейной траектории из точки С₁ в точку С₂, опустившись на высоту Н (рис. 5). Из рисунка следует, что ds cos (G, v) представляет собой проекцию элементарного направление силы G, т. е.

ds cos (G, v) = dy.

Формула для работы принимает вид

W = ΣGdy.

Вынося из-под знака суммы постоянную величину - силу тяжести

Рис. 5

тела G - и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела Σ dy = Н, получаем

W = G Σ dy = GH, (12)

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается центр тяжести тела.

5. Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Р_ср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

P_ср = ΔW/Δt = FΔs cosα/Δt

Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность

Как было указано, F cos a является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через F_v, получим

P = F_v ds/dt = F_vv

так как

ds/dt = v

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) - мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с