Урок 'Решение рациональных уравнений' 9 класс

Урок обобщения и систематизации знаний.

Тема: Решение рациональных уравнений (80 мин.)

Цель урока: Обобщение и углубление знаний учащихся по изученной теме.

Задачи: - систематизировать и расширить знания, умения и навыки

учащихся по решению рациональных уравнений;

- формировать умения работать с дополнительными источниками

информации, применять приемы сравнения, обобщения,

выделения главного; умения классифицировать материал,

устанавливать причинно-следственные связи; пользоваться

исследовательскими умениями при переносе знаний в новую

нестандартную ситуацию;

- развивать логическое мышление и творческие способности

путем решения заданий, содержащих модули, параметры,

уравнения 3-ей, 4-ой, 5-ой степени;

- воспитывать организованность, стремление преодолевать

трудности, самоконтроль и взаимоконтроль.

Оборудование: мультимедийный проектор

интерактивная доска

Структура урока: 1. Организационный этап

2. Постановка цели и мотивация учебной деятельности

учащихся

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний

4. повторение, обобщение и анализ основных фактов

5. Систематизация знаний, применение их в

стандартной ситуации. Первичный контроль

6. Перенос знаний в новую ситуацию

7. защита проекта по теме

8. Подведение итогов. Рефлексия.

9. Постановка домашнего задания.

Тезис урока:

«Три пути ведут к знанию: путь

размышлений - это путь самый

благородный, путь подражания -

это путь самый легкий и путь

опыта - это путь самый горький»

Конфуций

Ход урока

1. Организационный этап (2 мин)

Цель: Приветствие учащихся, организация внимания, фиксация отсутствующих.

2. Постановка цели и мотивация знаний учащихся (3 мин)

Цель: Донести до учащихся практическую значимость материала, раскрыть

Общую идею и цель урока

Вводная беседа: один девятиклассник, решая уравнение, рассуждал так:

На экран выводится слайд:

Пример 1. х (х +8) = 3х Разделим обе части уравнения на х

х + 8 = 3

х = - 5 ответ: - 5

Пример 2: х² = х - 1 _ 4х - 3 Т. к. знаменатели дробей равны,

х - 1 х - 1 то равны и их числители:

х² + х - 1 = 4х - 3

х² - 3х + 2 = 0

х₁ = 1; х₂ = - 2 ответ: - 2 ; 1.

Какие ошибки допустил ученик? Почему при решении уравнений нельзя

Избавиться от всего «лишнего»?

Вывод: В результате преобразования в примере 1 мы потеряли корень х = 0,

а в примере 2 не определили ОДЗ уравнения и появился посторонний корень

х = 1. Как не допускать подобных ошибок? Прежде всего нужно четко понимать,

какие действия надо выполнить в ходе решения уравнения.

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим и систематизируем изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

3. Воспроизведение и коррекция опорных знаний (10 мин)

Цель: Воспроизведение ранее изученного материала для установления преемственности прежних и новых знаний, применения их в нестандартной ситуации.

1. Проверка домашнего задания (приложение 1)

На доску проецируется текст домашнего задания. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Критерии оценки: «5» - нет ошибок

«4» - 2-3 ошибки

«3» - более 3-х ошибок

«2» - 5 и более ошибок

Из задания №2 разбирается наиболее интересный пример.

В результате проверки домашнего задания и обсуждения выясняется важность умения решать уравнения:

Вывод: 1. Уравнения являются математическими моделями очень многих

физических и других явлений. Поэтому решение различных

практических задач сводится к решению уравнений.

2. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида:

А(х) = В(х), где А(х) и В(х) - выражения от неизвестной х.

3.Областью определения уравнения называется множество всех

значений х, при которых определены обе части уравнения.

4. Корнем или решением уравнения называется значение

неизвестного, которое обращает уравнение в верное числовое

равенство. Решить уравнение - значит найти все его корни или

доказать, что их нет.

На доску проецируется схема (приложение 2) - классификация уравнений по видам. Ученики обсуждают, делают выводы по классификации.

2. Работа в группах.

Цель: проверка навыков решения простейших уравнений, обеспечение первичного усвоения материла.

На доску проецируется 3 варианта заданий (приложение 3). Учащиеся совещаются в группах, обсуждая вид и способы решения уравнений. Затем по команде учителя обсуждения прекращаются и каждый учащийся записывает на отдельный лист № варианта и номера уравнений, напротив каждого номера записываются только ответы (после решения). Напротив задания, вызвавшего затруднения, ставится прочерк. По команде учителя листы подписываются и сдаются, после чего на доске открываются номера уравнений и список правильных ответов. Работы проверяются, учащиеся выставляют оценки в оценочную таблицу.

Критерии оценки: «5» - за 12 верно выполненных

«4» - за 10 верно выполненных

«3»- за 6-9 верно выполненных

«2» - менее 6 правильных ответов

4.Обобщение и анализ основных фактов (12 мин)

Цель: Установить связи между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами, повторить и систематизировать методы решения рациональных уравнений.

1. На доске демонстрируется слайд (приложение №4). Учащиеся обсуждают и делают выводы.

2. Фронтальная работа с классом. Задание: решить уравнение х² - 4х +3 = 0

пятью различными способами (пять учащихся решают на доске).

Способы решения: а) с помощью дискриминанта;

б) по теореме Виета;

в) графически;

г) разложением на множители левой части;

д) выделением квадрата двучлена.

Сформулируйте идею графического метода. В каких случаях его удобно использовать? ( Когда необходимо определить число корней уравнения, указать знаки корней, найти их приближенные значения). Этот метод красив, прост, но не дает 100% гарантии точного решения.

3. Сформулируйте известные вам аналитические способы решения

а) способ группировки;

б) вынесение общего множителя за скобки;

в) использование формул сокращенного умножения;

г) выделение полного квадрата;

д) разложение на множители.

Все эти приемы объединяет метод разложения на множители

5. Первичный контроль знаний, умений, навыков.

Работа в парах. На доске задания для 1-го и 2-го варианта - решить уравнение

несколькими способами.

Вариант 1. Вариант 2.

х² - 6х + 8 = 0 х² + 2х - 8 =0

Ученики обмениваются тетрадями, комментируют, выставляют оценки.

Критерии оценивания: »5» - за 5 верно выполненных способов

«4» - за 4 верно выполненных способов

«3» - за 1-3 верно выполненных

6. Практическое применение знаний в новой ситуации (13 мин).

Цель: Разобрать на примерах использование методов разложения на множители

к уравнениям 3-ей и более степеней, уравнениям с модулями и параметрами.

1. Решение уравнений, содержащих параметр.

На доске демонстрируется слайд (приложение 5). Решить уравнение с параметром - значит для каждого значения параметра найти значение

переменной, обращающее это уравнение в верное равенство.

а) Решим уравнение: ах² - 2х + 4 = 0

1) при а= 0 уравнение превращается в линейное: - 2х + 4=0

х = 2

2. При а ≠ 0 оно квадратное, D = 4 - 16 а

а) если D > 0, то 4 - 16 а >0, а < 0,25 2 решения

х_1,2 = =

б) если D= 0, то а = 0,25 и х = 4

в) если D< 0, то а >0,25 и решений нет.

Ответ: при а = 0 х = 2

при а > 0,25 решений нет

при а = 0,25 х = 4

при а < 0,25, а ≠ 0 два решения : х_1,2 = =

Двое учащихся решают у доски (1) и (3), комментируя решения.

2)Решить уравнение: (х² + х + 4)² +8х( х² + х + 4) + 15х² = 0

(решает на доске учитель)

1-ый способ: выполним разложение на множители способом группировки

(представим 8х( х² + х + 4) как 5х( х² + х + 4) + 3х( х² + х + 4)

(х² + х + 4)² + 5х( х² + х + 4) + 3х( х² + х + 4) + 15х² = 0

(х² + х + 4)(х² + х +4 + 3х) + 5х(х² + х +4 + 3х) = 0

(х² + х + 4)( х² + 4х +4) + 5х(х² + 4х +4 ) = 0

(х² + х + 4)( х² + 6х +4) = 0

х₁ = - 2 , х_2,3 = - 3 ±

2 способ: обозначим (х² + х + 4) = у, тогда у² + 8ху + 15х² = 0

Решим как квадратное относительно у по теореме Виета:

У₁ + у₂ = -8х

У₁ ∙ у₂ = 15х², откуда у₁ = -3х, у₂ = - 5х

Уравнение примет вид: (у + 3х)(у + 5х) = 0

При у = -3х: х² + х +4 = -3х При у = -5х: х² + х +4 = -5х

х₁ = -2 х_2,3 = -3 ±

3. На доску проецируются следующие уравнения:

х⁴ - 2х² - 3 = 0 (1) ! Каждое из этих уравнений можно

х² - 2 |х| = 0 (2) несколькими способами, но к каждому

(х + 2)² - 2 |х + 2 - 3 = 0 (3) удобно применить свой способ

х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24 (4) решения.

1. Биквадратное, решается введением новой переменной

2. Раскрытие модуля по определению

3. , (4) замена переменных

Решим (2) : х² - 2 |х| = 0

При х< 0: х² + 2х = 0; х = 0; - 2 0 не подходит

При х ≥0: х² - 2х = 0 х = 0; 2

Ответ: 0; - 2 ; 2

Решим (4): х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24

Сгруппируем 1-ый и 4-ый множитель, 2-й и 3-й:

(х² - 3х)( х² - 3х + 2) = 24 х² - 3х = у

у(у +2) = 24

у₁ = 4; у₂ = - 6

х² - 3х = 4 х² - 3х = - 6

х = - 1 ; 4 Ø

Ответ: - 1 ; 4

4. Дифференцированная самостоятельная работа по теме.

Группа А

Группа В

Группа С

1

х³ - 5х² - 6х = 0

х⁶ - 5х⁵ + 6х⁴ - х² +5х -6 =0

(х² -5х - 6)(1 - |2х -1|)=0

2

х⁴ - 6х² +5 =0

(х² +1)² - 6(х² +1) + 5 = 0

х² - 6 |х| + 5 =0

Работа выполняется под копирку. После сдачи работы записи сравнивают с правильными ответами. Учитель выполняет проверку по шаблону и объявляет результаты. Ученики выставляют оценку в оценочный лист.

7) Защита группового проекта и презентация пособия по решению

рациональных уравнений.

8) Подведение итогов. Рефлексия.

Цель: обеспечить закрепление в памяти учащихся знаний, необходимых для успешного решения уравнений. Дать качественную оценку работы класса и каждого учащегося. (средний балл по оценочному листу)

9) Постановка домашнего задания.

Цель: Обеспечить понимание учащимися содержания и способов выполнения домашнего задания.

Домашнее задание: если вы получили оценку «5» или «4» :

1. При каком значении параметра p уравнение х² + 6х + 8 = p

Имеет один корень; два корня, не имеет корней?

2. Решите уравнения: а) (х² + 3х - 10 )( 1 + ) = 0

б) - + 5 = 0

в) - =

Если вы получили оценку «3» или «2» :

1. Решите графически: х² + 2х - 3 = 0

2. Решите методом разложения на множители: х³ - 4х² + 3х = 0

3. Решите способом подстановки: (2х + 1)² - 4 (2х + 1) + 3 = 0

Приложение 1

Предварительное домашнее задание

Задание 1.

Решите уравнения 1-12 и проведите классификацию уравнений по виду.

Ответы:

1. (х - 5)² + 9х = + 25 х = 3

2. 0,5х² + 0,7 = 0 нет действительных корней (Ø)

3. (х - 5)(х + 3) = 9 х = - 4 ; х = 6

4. - = 1 + х = -

5. (х - 5 )(х + 3 ) = 1 - 2х х = 4; 4

6. (х - 5)(х + 3) = 3(х - 5 ) х = 0; 5

7. 2(х + 1) - 1 = 3 - (1 - 2х ) нет действительных корней (Ø)

8. 1 - 2х + 4х² = х² - 2х + 1 х = 0

9. 3(1 - х) +2 = 5 - 3х бесконечно много корней (х Є R)

10. 2х² + 3х + 4 = 0 нет действительных корней (Ø)

11. х² + 6х + 4 = 0 х₁ = - 3 + ; х₂ = - 3 -

12. 25х² - 30х + 9 = 0 х₁ = х₂ = 0,6

Задание 2. Подготовьте одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.

Приложение 2

Виды уравнений

Дробно-рациональные

(приводимые к виду P(х) = 0

Q(х)

где P(х) , Q(х) - многочлены и Q(х)≠0

№1

Целые рациональные

Линейные (приводимые к виду

ах = в)

(№4,7,9)

Квадратные

9приводимые к виду

ах² + вх + с = 0

(а≠ 0)

Полные (а≠0, в≠0)

№3,10,11,12

Приведенные (а=1)

№3,11,12

Неприведенные

(а≠1)

№10

Неполные,

приводимые к виду

ах² = вх = 0

(с = 0) №6

ах² + с = 0

(в = 0) №2,5

ах² = 0

(в = 0, с = 0) №8

Приложение 3

вариант 1

Вариант 2

Вариант3

1. (х - 3)(х + 4) = 0

1. (х - 8)(х +6) = 0

1. (х - 1)(х - 99) = 0

2. х² - 14х + 49 = 0

2. х² +18х + 81 = 0

2. х² - 16х + 64 = 0

3. х² - 12 = 0

3. х² - 16 = 0

3. х² - 5 = 0

4. = 0

4. = 0

4. = 0

5. 0х = 24

5. 0х = 0

5. 5х = 5х

6. х = 4

6. х = 21

6. х = 4

7. = 0

7. = 0

= 0

8. 6х² = 0

8. 9х² = 81

8. 8х² = - 6

9. х² - 5х - 6 = 0

9. х² - 4х + 3 = 0

9. х² - 113х + 112 = 0

10. (81 - х²) (2х - 1) = 0

10. (х² - 16)(х - 5) = 0

10. (х - 1)(х² - 121) = 0

11. 5х² = х

11. х² = х

11. 3х² - х = 0

12. = 0

12. = 0

12. = 0

Приложение 5

х² + ах + 12 = 0 а - параметр

ах² - 2х + 4 = 0

2х² = 4х + а = 0

Если коэффициент при х² многочлена второй

степени содержит параметр, необходимо

разобрать случай, когда он обращается в 0!

Приложение 4

Квадратные уравнения, приводимые к виду

ах² + вх + с = 0 ( а≠ 0)

D < 0

D = 0

D > 0

Два корня

х₁ = х₂ = -

Корней нет

Два корня

х₁ = х₂ =

у

х₀ х

а < 0

у

х₁ х₀ х₂ х

а < 0

х₁ <������_��

������

��_{�����}���������

��������

���������������������

�������_{������}���������������_{�����}

�������_{�����}

������_{�����}�����_� х

у а > 0

х

0 х₀

а > 0

у

х₀ х

Приложение 6

Оценочный лист учащегося

Этапы урока

Задания

Баллы

1

Домашнее задание

2

Работа в группах

3

Работа в парах

4

Самостоятельная

работа

Итоговое кол-во

баллов

Оценка