Конспект урока по математике на тему ' Табличное умножение' (3 класс)

Табличное умножение и деление

В методической литературе известны три системы изучения табличного умножения и деления: параллельное, совместное и раздельное.

В массовой школе применяется параллельное изучение таблицы умножения и деления, которое состоит в следующем. После усвоения каждого табличного ряда, материал которого располагается по постоянному множимому, даются соответствующие случаи деления по содержанию. Затем табличный ряд перестраивается по постоянному множителю и на его основе рассматриваются соответствующие случаи Деления на равные части.

При таком расположении материала облегчается выполнение обратного действия через его связь с прямым и обеспечивается более прочное запоминание состава табличных чисел из множителей в процессе их перестановки.

Недостаток этой системы в том, что на каждом этапе изучения табличных действий рассматриваются четыре таблицы, относящиеся к этим действиям, хотя обе таблицы деления - по содержанию и на равные части - ничем одна от другой не отличаются.

При совместном изучении таблицы умножения и деления, выдвинутом А. Я- Котовым, ученикам приходится усваивать три таблицы, но одна из них составляется по постоянному результату, и поэтому работа над нею выполняется механически.

Главный недостаток раздельного изучения табличных действий состоит в том, что к умножению на первом этапе работы не используется прием перестановки сомножителей и, кроме того, ученикам приходится иметь дело с пятью таблицами.

Таким образом, ни одна из рассмотренных систем изучения табличных действий II ступени не является безупречной. Какой же должна быть эта система?

Порядок изучения таблицы умножения и табличного деления

При изучении таблицы умножения во II классе, как показывает опыт, целесообразно пользоваться следующими основными положениями. Таблица умножения изучается в порядке натурального ряда чисел: умножение числа 2, числа 3, числа 4 и т.д. Таблица умножения каждого числа располагается по постоянному множимому, это обеспечивает понимание умножения как сложения одинаковых слагаемых.

Наизусть и твердо усваивается только таблица умножения. Таблица деления специально не изучается и не заучивается. Результаты табличного деления ученик находит по таблице умножения. Например, 36 разделить на 4, будет 9, потому что, если9умножить на четыре, то получится 36.

С самого начала изучения таблицы умножения широко и последовательно используется переместительный закон умножения. Каждый пример из таблицы, допустим 3 x 8 = 24, может быть прочитан двояко: 3 умножить на 8, получится 24 и 8 умножить на 3, получится 24. Так ученики читают один и тот же пример на основании переместительного закона умножения. В каждом табличном примере первое число можно рассматривать как множимое и как множитель.

Таблица умножения каждого числа начинается с умножения этого числа на число, равное ему. Так, таблица умножения числа 4 начинается с умножения 4 х 4, потому что предыдущие случаи 4 х 2 и 4 х 3 уже усвоены, когда изучались таблицы умножения чисел 2 и 3

Табличное умножение и деление изучаются совместно: из каждого случая умножения вытекают два случая деления. Например:

а) 3 x 9 = 27. Отсюда 27 : 3 = 9; 27 : 9 = 3.

б) 4 x 8 = 32. Отсюда 32 : 4 = 8; 32 : 8 = 4.

Читая эти примеры, ученик рассуждает так: 3 раза взять по, 9, будет 27. Следовательно, если 27 разделить на 3, получится 9. Тот же пример можно прочитать так: 9 раз взять по 3, будет 27, Следовательно, 27 разделить на 9, получится 3.

Таким образом, результаты табличного деления всегда берутся из таблицы умножения.

Изучение таблицы умножения и табличного деления все время сопровождается решением задач, в которых эти действия находят практическое применение, что способствует твердому усвоению таблицы умножения и быстрому нахождению по этой таблице результатов, деления.

В примерах с отвлеченными числами виды деления не различают. Любой пример на деление вроде 56 : 7 = 8 читают так: 56 разделить на 7, получим 8.

Но при решении задач в зависимости от их смысла, ученики должны различать виды деления, что находит свое выражение в рассуждениях, которыми сопровождается решение задачи.

Покажем практическое применение этих положений на примере, изучения таблицы умножения числа 4, которое может занять, примерно, 3-4 урока.

На первом уроке таблица умножения составляется, и проводятся первоначальные упражнения в ее усвоении. Примерный план этого урока.

1. Счет четверками в пределах 40. Этот счет идет сначала на наглядном пособии, например на классных счетах, а потом отвлеченно. Очень важно, чтобы ученики запомнили результаты этого счета, составляющие числовой ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 - и могли бы по памяти быстро и правильно воспроизвести числа этого ряда в прямом и обратном порядке.

Полезно поработать над этим числовым рядом, ставя перед учениками следующие вопросы:

Какое число составят 6 четверок? 7 четверок? 8 четверок? 9 четверок?

Сколько четверок надо взять, чтобы получить 20? 24? 28? 32? 36? 40?

Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 28? 36? 24? 32?

2. Запись счета четверками в виде таблицы умножения:

4 x 1=4 4 x 5 = 20 4 x 8 = 32

4 x 2 = 8 4 x 6 = 24 4 x 9 = 36

4 x 3 = 12 4 x 7 = 28 4 x 10 = 40

4 x 4= 16

Первая половина этой таблицы ученикам уже известна, и они записывают ее совершенно самостоятельно. К составлению и записи второй части таблицы можно подвести, учеников через сложение четверок:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24, или 4 х 6 = 24 и т. д.

3. Чтение таблицы, упражнения в ее запоминании. Составленная таблица читается хором и отдельными учениками, подряд и вразбивку, с открытыми результатами и закрытыми. Детям сразу дается установка на запоминание таблицы: «Таблицу нужно знать наизусть, твердо. Читая, старайтесь ее запомнить». При этом обращается внимание детей на способ набора четверок: четверки можно набирать по одной и группами. Например, чтобы набрать 6 четверок, можно взять 3 четверки и еще 3, или 5 четверок и еще одну четверку.

Ученики скорее и лучше запомнят таблицу, если усвоение ее будет опираться на различные восприятия и анализаторы: зрительные, слуховые, кинестезические (проговаривание), моторные.

4. Применение знания таблицы умножения при решении задач. Детям предлагают преимущественно простые задачи на умножение: 1. В одном литре 4 стакана молока. Сколько стаканов молока в 6, 7, 8, 9, 10 литрах? 2. Для одной автомашины требуется 4 колеса. Сколько колес требуется для 5, 6, 7, 8, 9, 10 автомашин?

5. Задание на дом:

Усвоить таблицу умножения числа 4 наизусть.

Решить несколько примеров и задач, в которых применяется знание таблицы умножения 4 и ранее изученных таблиц.

На втором уроке продолжаются упражнения в закреплении знания таблицы умножения числа 4 путем решения примеров и.задач на умножение. Кроме того, на этом уроке учитель знакомит детей с табличным делением, показывая им, как можно получить результат деления на 4, зная таблицу умножения четырех.

Для этого рассматривают каждый случай таблицы умножения и вытекающие из него два случая деления, например:

4 х 6 = 24 24 : 4 = 6 24 : 6 = 4

4 х 7 = 28 28 : 4 = 7 28 : 7 = 4

Каждый случай деления обосновывается следующим образом. Возьмем пример: 4 х 7 = 28. Читаем этот пример так: по 7 взять 4 раза, получится 28. Значит, если 28 разделить на 4, получится 7.

Читаем этот же пример так, как он записан: по 4 взять 7 раз, получится 28. Значит, если 28 разделить на 7, получится 4.

Таким образом, из таблицы умножения числа 4 получаются две таблицы деления. Ни, одна из них не заучивается. Читая каждый пример этих таблиц, ученик поясняет, почему получается тот или иной результат. Например, 32 разделить на 4, будет 8, потому что 8 раз по 4 будет 32

Полезны такие вопросы:

На какое число нужно умножить 4, чтобы получить 36, 28, 20, 24?

Сколько раз надо взять по 4, чтобы получить 36, 24, 16, 28, 40?

Какое число надо разделить на 4, чтобы получить 6, 8, 5, 7?

Какие числа надо перемножить, чтобы получить 24, 28, 32, 36?

На третьем уроке решаются задачи на умножение и обратные им задачи на деление. К каждой простой задаче на умножение составляются две обратные, задачи на деление:

1) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множителю находится множимое (деление на равные части): 2) задача, в которой по данному произведению двух чисел и множимому находится множитель (деление по содержанию).

Приведем примеры таких задач:

1. На одно платье идет 4 м материи. Сколько метров материи пойдет на 6 таких платьев?

Решение: 4 м х 6 = 24 м.

2. Первая обратная задача: На 6 платьев пошло 24 м материи. Сколько метров материи пошло на одно платье?

Решение: 24 м : 6 = 4 м.

3. Вторая обратная задача: Из 24 м материи сшили несколько платьев, причем на каждое израсходовали по 4 м. Сколько сшили платьев?

Решение: 24 м : 4 м = 6. Ответ: 6 платьев.

На таких задачах углубляется понимание взаимосвязи умножения и деления, а также закрепляется знание табличного умножения и деления на 4.

Наряду с этим необходимо решать и составные задачи, требующие использования двух видов деления. Например:

1. Доярка подоила трех коров и от каждой надоила по 8 литров молока. Все это молоко она разлила в 4 одинаковых кувшина. Сколько литров молока вошло в каждый кувшин?

2. Ученик записал примеры в 2 столбика, по 6 примеров в каждый. Сколько получилось бы столбиков, если бы он записал по 4 примера в столбик?

В первой задаче применяется деление на равные части, во второй - деление по содержанию.

Когда все случаи табличного умножения и деления будут пройдены, полезно в целях повторения выписать все табличные результаты, большие 20, и поупражнять детей в подборе к каждому из них сомножителей и делителей:

21; 24; 25; 27; 28; 30;

32; 35; 36; 40; 42; 45; 48; 49; 50;

54; 56; 60; 64; 70; 72; 80; 81; 90.

При такой системе изучения табличного умножения и деления сокращаются сроки изучения этого раздела и устраняются многие трудности.

Усвоение основных понятий при изучении таблицы умножения и табличного деления

При изучении табличного умножения в пределах ста используются переместительный и распределительный законы умножения. Применение переместительного закона проиллюстрировано выше. Использование же распределительного закона поясним на примере умножения числа 6 (рис, 45).

рис. 40

Из рассмотрения этого рисунка видно, как происходит набор шестерок:

Затем включается 5-й ряд:

6 х 2 + 6 х 2 + 6 = 6 х 5 = 30

Полученное произведение (6 х 5 = 30) является опорным для последующих случаев таблицы:

6 х 5 + 6 = 6 х 6 = 36; 6 х 5 + 6 х 2 = 6 х 7 = 42

6 х 5 + 6 х 3 = 6 х 8 = 48; 6 х 5 + 6 х 4 = 6 х 9 = 54

6 х 5 + 6 х 5 = 6 х 10 = 60

При нахождении произведений 3 х 8, 7 х 8 и 9 х 8 множитель 8 можно разложить на 4 + 4; тогда 7 х 8 = 7 х 4 + 7 х 4 = 28 + 28 = 56,

Умножение любого однозначного числа на 9 можно свести к умножению на разность чисел 10 - 1. Равным образом умножение числа 9 на любое однозначное число сводится к умножению разности чисел 10 - 1 на данное число. Этот прием легко показать на классных счетах.

Табличное деление в пределах ста опирается, как было выше показано, на соответствующие случаи умножения.

При изучении табличного деления нет необходимости раскрывать свойства этого действия. Дело ограничивается установлением взаимосвязи между делением и умножением, различением двух видов деления и обобщением их в одно действие деления.

Внетабличное умножение и деление в пределах ста

К табличному умножению относятся все произведения двух однозначных сомножителей. Все остальные случаи умножения в пределах ста и все соответствующие случаи деления называются внетабличными.

Изучение внетабличного умножения делят на три этапа:

умножение на однозначное число;

умножение на круглые десятки

умножение на двузначное число

Такое расчленение учебного материала обусловлено применяемыми на каждом этапе вычислительными приемами.

Порядок расположения различных случаев умножения на однозначное число, а также умножения на круглые десятки не имеет существенного значения.

То же можно сказать и относительно умножения однозначного числа на двузначное, поскольку дело сводится в этом случае к умению умножать однозначное число на круглые числа и однозначное на однозначное, то есть к тому, что уже пройдено.

Внетабличное деление на однозначное число целесообразно изучать совместно с внетабличным умножением. Например:

1) 23 х 3 = 69; 69 : 3 = 23;

2) 19 х 4 = 76; 76 : 4 = 19;

3) 16 х 5 = 80; 80 : 5 = 16.

Первые примеры на каждый случай умножения и соответствующий случай делен ия полезно пояснить подробной записью вычислений, имеющих симметричный характер:

16 х 5 = ? 80 : 5 = ?

10 х 5 = 50 50 : 5 = 10

6 х 5 = 30 30 : 5 = 6

50 + 30 = 80 10 + 6= 16

16 х 5 = 80 80 : 5 = 16

Особо рассматриваются случаи умножения на круглые десятки (2 -40) и на двузначное число.

При умножении на круглые десятки можно использовать либо распределительный, либо сочетательный закон умножения.

Например:

1) 4 х 20 = 4 х (10 + 10) = 4 х 10 + 4 х 10 = 40 + 40 = 80.

2) 4 х 20 = 4 х (2 х 10) = (4 х 2) х 10 = 8 х 10 = 80.

Второй прием, как показывают наблюдения, труден для учеников второго класса. Поэтому, применив вначале распределительный закон, в. дальнейшем лучше пользоваться перестановкой сомножителей (4 х 20 = 20 х 4), поскольку с умножением круглых десятков на однозначное число дети давно знакомы.

При умножении на двузначное число сначала используется распределительный закон умножения, а в дальнейшем опять переместительный:

1) 3 х 26 = 3 х (20 + 6) = 3 х 20 + 3 х 6 = 60 + 18 = 78;

2) 3 х 26 = 26 х 3 = 20 х 3 + 6 х 3 = 60 + 18 = 78.

В особую группу выносится деление на двузначное число. В этих случаях деление выгодно рассматривать как деление по содержанию. Например, при решении примера 81 : 27 ставится вопрос: сколько раз нужно взять по 27, чтобы получить 81?

Рассматривать случаи деления на двузначное число в сопоставлении с умножением нецелесообразно, во избежание незакономерного переноса распределительного закона на этот случай деления.

При внетабличном делении на однозначное число следует давать задачи, к которым применимо деление не только на равные части, но и деление по содержанию. Например:

1. Сколько двухрублевых тетрадей можно купить на 50 оуб.?

2. Сколько парт должно стоять в классе, если в нем всего 38 учеников, а за каждой партой сидят по 2 ученика?

Устно ради удобства вычислений числа 50 и 38 можно делить не по 2, а на 2 равные части. Однако решение задачи записывается по общему правилу - с наименованиями у делимого и делителя: 50 руб. : 2 руб. = 25.

В другом случае, чтобы узнать, сколько стоит 1 м материи, если за 24 м заплатили 72 руб., удобнее мысленно делить не на равные части, а по содержанию, то есть делить 72 по 24, хотя запись решения отразит деление на равные части: 72 руб. : 24 = 3 руб.

В обоих случаях надо напомнить детям то обобщение, к которому они пришли при изучении табличных действий: При одинаковых числах, будем ли мы делить на равные части или по содержанию, в ответе получится одно и то же число.

Изучая второй десяток и сотню, дети постепенно, в связи с решением задач и усвоением вычислительных приемов, накапливают тот материал, который необходим для правильного понимания роли скобок, И знания, в каком порядке принято выполнять арифметические действия в сложном примере или числовой формуле. Обобщения по этим вопросам целесообразно сделать при изучении последующих концентров.

Первая тысяча

После первой сотни возможен переход к изучению нумерации и действий над числами любой величины. Однако непосредственный переход от сотни к многозначным числам связан для детей с значительными трудностями: изучение сотни не дает детям необходимой подготовки для изучения нумерации многозначных чисел и для успешного усвоения алгоритмов письменных вычислений. Чтобы сделать этот переход более плавным, а весь процесс обучения арифметике более доступным для детей, в конце прошлого века был введен концентр тысяча.

Опыт российской школы подтвердил целесообразность этой промежуточной ступени. Основная задача ее состоит в том, чтобы постепенно подготовить детей к изучению нумерации чисел любой величины и создать условия для плавного перехода от устных вычислений к письменным. Главное содержание этой ступени составляет:

основательное изучение нумерации трехзначных чисел, составляющих класс единиц, по образцу- которого строятся все другие классы многозначных чисел;

твердое усвоение приемов устных вычислений с круглыми числами в пределах тысячи;

первоначальное знакомство со способами письменных вычислений.

Таким образом, концентр «Тысяча» как промежуточная и вспомогательная ступень должен быть небольшим по объему с тем, чтобы не задерживать поступательное движение учеников в усвоении курса математики и иметь своим основным назначением подготовку их к успешному изучению концентра многозначных чисел.

По вопросу о том, когда вводить письменные приемы вычислений, существуют различные точки зрения. В некоторых исследованиях письменные вычисления вводятся рано - при выполнении действий уже в пределах 100: при сложении и вычитании двузначных чисел, а также при умножении двузначных чисел на однозначное данные числа подписываются столбиком, и действия производятся, начиная с единиц.

В других исследованиях проводится противоположная линия: первоначальное знакомство с письменными приемами вычислений относится к концентру многозначных чисел.

Какую точку зрения следует считать более рациональной? При раннем введении письменных приемов есть опасность нанести ущерб формированию навыков устного счета. Если же первоначальное знакомство с письменными вычислениями откладывать до изучения концентра многозначных чисел, завершающего собой начальное обучение, то создаются условия, при которых может не хватить времени для формирования прочных, устойчивых и достаточно автоматизированных навыков письменных вычислений.

Очевидно, при решении данного вопроса следует избегать крайностей: с введением письменных вычислений не нужно торопиться, но не следует и откладывать знакомство с такими вычислениями надолго.

Концентр «Тысяча», по-видимому, и есть та ступень, на которой целесообразно положить начало формированию умения производить вычисления с трехзначными числами письменно, сосредоточив эту работу во II классе.

Для вполне обоснованного ответа на вопрос о начале введения в школьную практику письменных вычислений требуется дальнейшее научное его исследование и проверка.

Первая тысяча. Устная нумерация.

Изучение устной нумерации чисел в пределах 1000 начинается со счета сотнями. Вводя счет сотнями, учитель предлагает детям сосчитать данные им палочки, связанные пучками в десятки. Сначала счет ведется десятками, а потом выясняется, что легче сосчитать палочки, если каждые 10 десятков объединить в сотни. Счет сотнями ведется так: одна сотня, две сотни, три сотни и т. д., а затем присчитывание по сотне: сто, двести, триста, четыреста и т. д.

При счете сотнями внимание детей обращается на то, что сотня - составная счетная единица; сотни считают так же, как простые единицы. Дети записывают и усваивают соотношение между счетными единицами:

10 единиц составляют 1 десяток.

10 десятков составляют 1 сотню.

10 сотен составляют 1 тысячу.

Далее следуют упражнения в непрерывном счете в пределах тысячи. Сначала счет ведется по одному: сто, сто один, сто два, сто три и т. д. Затем переходят к счету группами: по десяти, по двадцати, по пятидесяти.

Такие упражнения дополняются счетом по единице в местах перехода через сотню. Например:

считать по одному от 396 до 402, от 798 до 804;

назвать 5 чисел, следующих одно за другим за числом 698;

назвать числа в обратном порядке от 703 до 696.

Большую роль в усвоении нумерации играют упражнения:

а) в образовании чисел из сотен, десятков и единиц, например, назвать число, состоящее из 4 сотен 2 десятков и 6 единиц; из 8 сотен, 6 десятков; из 5 сотен и четырех единиц;

б) в разложении трехзначных чисел на сотни, десятки и единицы; например: из скольких сотен, десятков и единиц состоят числа: 736, 915, 608, 490 и др.

Эти упражнения полезно выполнять с помощью палочек, причем единицы кладутся на первом месте справа, десятки на втором и сотни на третьем месте.

Первая тысяча. Письменная нумерация.

Вначале рассматриваются трехзначные числа только со значащими цифрами; например: 638, 826, 762. Числа иллюстрируются на абаке и счётах. Под палочками абака цифрами обозначают, сколько сотен, десятков и единиц в данном числе. Далее числа иллюстрируют на абаке с помощью кружочков, постепенно переходя от реальной к условной наглядности. Потом числа, иллюстрируемые на абаке, откладывают на счетах, записывают цифрами сначала в нумерационной таблице, а потом вне ее.

Постепенно ученики переходят к чтению и записи чисел без наглядных пособий, при этом выясняют десятичный состав данных чисел (из скольких сотен, десятков и единиц состоит каждое из них).

Когда усвоена нумерация трехзначных чисел без нулей, переходят к записи чисел, в которых имеются нули. Здесь надо дать больше упражнений в записи таких чисел, при обозначении которых дети допускают ошибки; например: 305 и 350; 42 и 402; 506, 56 и 560.

Сравнить числа: 185 и 815, 218 и 128.

Поставить знак > или < вместо звездочки в записи:

305 * 35

804 * 840

96 * 960

Расположить в порядке возрастания числа: 444, 308, 603, 360, 111. Написать наименьшее трехзначное число; наибольшее.

Очень важно провести ряд таких упражнений, при помощи которых дети учатся различать число и цифру. Например: придумать и записать три трехзначных числа, при записи которых используется одна какая-нибудь цифра.

Сколько различных цифр использовано при записи каждого из чисел: 278, 504, 330, 900, 77, 111?

Прочитать числа: 192, 39, 900, 209. Какая цифра встречается в каждом из этих чисел?

Написать шесть чисел, используя при этом лишь цифры: 2, 7,1. Чтение и запись чисел сопровождаются упражнениями:

а) в раздроблении и превращении разрядных чисел; например:

8 сот. = 800 900 = 9 сот.

46 дес. = 460 650 = 65 дес.

6 руб. = 600 коп. 800 коп. = 8 руб.

8 м = 800 см 300 см = 3 м

4 руб. 20 коп. = 420 коп. 630 коп. = 6 руб. 30 коп.

7 м 58 см = 758 см 138 см = 1 м 38 см

б) в образовании чисел из сотен, десятков и единиц и в разложении данных чисел на разряды.. Например: 4 сот. 1 дес. 7 ед. = 417; 367 = 3 сот. 6 дес. 7 ед.

Полезно решать следующие примеры на сложение и вычитание: 600 -+- 28, 789 - 700 и т. д. Выполнение арифметических действий в дан'ном случае является применением знания нумерации в новых условиях.

Нумерацию трехзначных чисел следует рассматривать в тесной связи с изучением величин. С этой целью надо проводить упражнения в измерении, упражнения в раздроблении, превращении и выполнении арифметических действий с именованными числами. Целесообразно сопоставить систему счётных единиц (единица, десяток, сотня) с метрической системой мер (сантиметр, дециметр, метр). Целесообразно обозначать множества предметов и данные отрезки различными числами (3 сотни, 30 десятков, 300 единиц; 3 м, 30 дм, 300 см). При этом надо подчеркнуть, что одно и то же значение величины может быть выражено разными числами в зависимости от выбранной меры.

Устное сложение и вычитание в пределах тысячи

Работа над общими приемами устного сложения и вычитания в пределах тысячи должна дать ученикам такие умения, которые могут быть самостоятельно использованы детьми в новых условиях на последующих ступенях обучения. Так, если ученики научились производить сложение и вычитание над круглыми десятками и сотнями, то они без помощи учителя решают примеры вида: 8000 + 6000; 40000 + 50000. В пределах этого же концентра начинается изучение частных приемов устных вычислений

На таком уровне ученики усваивают следующие приемы устного сложения и вычитания:

Приемы, основанные на знании десятичного состава числа: 600 + 4; 230 + 5; 300 + 40; 608 + 20; 403 - 3; 238 - 8; 230 - 30; 637 - 30; 906 - 900; 432 - 400; 320 - 300.

Приемы сложения и вычитания круглых сотен: 600 + 200; 800 - 200; 800 - 600.

Приемы, основанные на прибавлении числа к сумме или на вычитании числа из суммы: 720 + 60 = (700 + 20) + 60 = 700 + 20 + 60 = 700 + (20 + 60); 150 - 30 = (100 + 50).- 30 = 100 + 50 - 30 = 100 + (50 - 30).

Приемы, основанные на прибавлении суммы к числу или на вычитании суммы из. числа: 80 + 60 = 80 + (20 + 40) = 80 + 20 + 40 = (80 + 20) + 40; 150 - 70 = 150 - (50 + 20) = 150 - 50 - 20 = (150 - 50) - 20.

Усвоение перечисленных приемов начинается с первого класса и продолжается в новых условиях на втором году обучения.

Взаимно обратные случаи сложения и вычитания полезно рассматривать одновременно, сопоставляя их. Например:

1) 675 + 200 = ? 875 - 200 = ?

600 + 200 = 800 800 -200 = 600

800 + 75 = 875 600 + 75 = 675

675 + 200 = 875 875 - 200 = 675

2) 180 + 60 = ? 240 - 60 = ?

180 + 20 = 200 240 - 40 = 200

200 + 40 = 240 200 - 20 = 180

180 + 60 = 240 240 - 60= 180

Методика работы над этими навыками должна строиться так, чтобы дети по возможности сами находили рациональные вычислительные приемы. К этому времени дети уже накопили материал, который можно использовать для развития их самостоятельности и который можно начать приводить в систему.

В целях систематизации и обобщения знаний полезно не только сопоставлять сходные примеры (13 + 2; 24 + 3; 35 + 20) и примеры, к которым применяются знакомые приемы в новых условиях (374 + 2; 374 + 20; 374 + 200), но и проводить специальные упражнения, направленные на систематизацию и дальнейшее развитие соответствующих понятий. С этой точки зрения целесообразно применять запись вычислительных приемов в виде числовой формулы (160 + 80 = 160 + 40 + 40), обратные упражнения (230 - 30 - 40 = 230 - 70) и др.

В пределах тысячи начинается изучение частных приемов устного сложения и вычитания: приемов округления слагаемых и вычитаемого 99 - 64 = (100 - 1) + 64 = 100 + 64-1; 73 + 99 = 73 + (100- 1) = 73 + 100 - 1; 145 - 99 = 145 - (100- 1) = 145- 100 + 1. Иначе говоря, здесь продолжается усвоение следующих свойств разности: прибавление числа к разности, прибавление разности к числу и вычитание разности из числа.

Устное умножение и деление в пределах тысячи

В конце изучения тысячи устно выполняется умножение на однозначное число круглых сотен, круглых десятков (70 х 6), а также чисел, состоящих из сотен и десятков (260 х 3); устно решаются соответствующие примеры на деление (420 : 6); (780 : 3), а также на деление с остатком в пределах ста.

При устном умножении и делении круглых сотен на однозначное число применяется уже знакомая ученикам замена простых счетных единиц сложными, и наоборот. Таким образом, в данном случае дело сводится к умножению и делению в пределах 10. Аналогичным приемом ученики пользуются при устном умножении круглых десятков на однозначное число и при устном делении на однозначное число, когда в частном получаются круглые десятки (40 х 3 = 4дес. х 3 = 12дес. = 120; 240 : 4 = 24дес. : 4 = 6 дес. = 60). Указанный прием на данном этапе усваивается школьниками в такой мере, что в дальнейшем они самостоятельно применяют его в новых условиях.

С умножением чисел, состоящих из сотен и десятков (230 х 4), и с обратными примерами на деление (920 : 4) учащиеся встречаются впервые. В каждом случае возможны два способа: способ разложения множимого или делимого на слагаемые (230 х 4 = = 200 х 4 + 30 х 4; 920 : 4 = 800 : 4 + 120 : 4) и способ применения внетабличного умножения или деления (230 х 4 = 23дес. X 4 = 92 дес. = 920; 920 : 4 = 92 дес. : 4 = 23 дес. = 230). Но так как ученики не знают наизусть внетабличных результатов умножения и деления, то они предпочитают пользоваться первым из указанных способов.

Умножение и деление, как и действия первой ступени, полезно рассматривать одновременно в сопоставлении, используя обратные связи. Например:

1) 90 х 4 = 360 1) 360 : 4 = ?

2) 150 х 4 = ? 2) 600 : 4 = ?

100 х 4 = 400 400 : 4 = 100

50 х 4 = 200 200 : 4 = 50

400 + 200 = 600 100 + 50 = 150

150 х 4 = 60 600 : 4 = 150

Для усвоения вычислительных приемов, кроме решения примеров, следует проводить и специальные упражнения, направленные на усвоение вычислительных приемов и формирование соответствующих понятий. Например, упражнения на замену умножения сложением, сложения умножением: 120 х 3 = 120 + 120 + 120; 140 + 140 + 140 = 140 х 3; 100 + 100 + 100 + 40 + 40 + 40 = (100 х 3) + (40 х З); (160 х 3) + (120 х 4) = 160 + 160 + 160 + 120 + 120 + 120 + 120.

На основе понимания связи между умножением и сложением ученики легко справляются и с таким заданием: до решения пары примеров с одинаковыми множимыми или множителями (11 х2 и 11х 3 или 12 х 3 и 16 х 3) установить, в каком примере ответ больше и на сколько.

Усвоение вычислительных приемов обеспечивается своевременным введением числовых формул. Например, 130 х 4 = (100 х 4) + (30 х 4) или 920 : 4 = (800 : 4) + (120 : 4).

Польза упражнений этого рода состоит в следующем. Числовая формула представляет собой более обобщенную и короткую по сравнению с предыдущей запись приемов. Числовая формула, освобождая учеников от необходимости находить результаты, дает возможность сосредоточиться на самом приеме как таковом.

Более глубокое понимание приемов обеспечивается и при выполнении обратных упражнений. В школьной практике имеют место прямые упражнения. Спрашивается, например, как умножить 3 на 16. На такой вопрос следует ответ: надо 3 умножить на 1О, 3 умножить на 6 и полученные числа сложить. Обратным упражнением по отношению к данному будет такое задание: 3 умножим на 10, 3 умножим на 6, полученные числа сложим. На какое число умножим число 3? (3 х 10 + 3 х 6 = 3 х ?)

Обратные упражнения дают возможность сделать для учеников объектом активной мыслительной деятельности один из существенных элементов вычислительного приема.

На данной ступени полезно предлагать задачи, формула решения которых представляет сумму двух произведений с одинаковыми множителями или множимыми или представляет сумму двух частных с одинаковыми делителями. Образец задачи: Школьники посадили на одном участке 3 ряда кустов малины, а на другом - 4 ряда. В каждом ряду посажено по 20 кустов. Сколько всего кустов малины посадили школьники?

Полезно предлагать детям не только задачи, но и такие примеры на вычисление суммы двух произведений и суммы двух частных, рациональное решение которых основано на, применении распределительного закона умножения и на свойстве частного (деления суммы на число). Ученику предлагается решить следующий пример: (180 х 3) + (120 х 3). Сначала он решает его тремя действиями. Далее формулируется вывод: если умножить 180 на 3, 120 на 3 и полученные произведения сложить, то тем самым на 3 умножили 300. Это число получили при сложении чисел 180 и 120. Значит, пример 180 х 3 + 120 х 3 можно решить короче: 180 + 120 = 300; 300 х 3 = 900.

Умение решать примеры и задачи на нахождение суммы двух произведений или суммы двух частных ученики переносят на решение аналогичных задач и примеров на нахождение разности двух произведений или разности двух частных.

Устное деление с остатком

При делении ученики встречаются не только с. делением нацело, но и с делением с остатком. При делении с остатком они убеждаются, что все числа делятся на две группы по отношению к делителю: одни из них делятся на него без остатка, другие - с остатком.

Сравнивая остаток с делителем, дети узнают, что остаток не может быть больше делителя или равен ему. Это имеет значение при изучении деления многозначных чисел.

Деление с остатком бывает двух видов: табличное деление и внетабличное деление на однозначное и двузначное число.

Объяснение деления с остатком можно провести на наглядных пособиях, пользуясь решением тех или иных практических задач. Пусть например, требуется оклеить карточку квадратной формы со стороной 8 см, а у нас имеется 35 см бумажной ленты. Спрашивается, сколько раз по 8 см содержится в 35 см и сколько еще сантиметров ленты останется. Отрезая по 8 см, ученики убеждаются в том, что 8 см в 35 см содержится 4 раза и останется еще 3 см. Это записывается так: 35 см : 8 см = 4 (ост. 3 см).

Решение таких задач показывает детям практическое применение деления с остатком.

Проверкой решения устанавливается соотношение между делимым, делителем, частным и остатком. Так, в приведенном выше примере мы имеем 35 : 8 = 4 (3); 35 = 8 х 4 + 3. Эта зависимость между компонентами используется для объяснения деления с остатком на отвлеченных числах. Предварительно решаются примеры вида: 6 х 5 + 1 = 31.

Затем ставится вопрос: как 31 разделить на 6? Из решения примера видно, что число 31 разлагается на 2 числа: 30, которое делится на 6, и 1 (остаток). Сопоставляя строчки, будем иметь: 6 х 5 + 1 = 31; 31 : 6 = 5 (1).

Отсюда делается вывод, что из числа 31, которое нужно разделить, берется наибольшее число единиц, которое делится на 6 без остатка, а единица остается в остатке.

В дальнейшем при делении с остатком частное находится путем умножения. Так, если дано 58 разделить на 8, нужно поставить вопрос: какое ближайшее число делится на 8 нацело? Если учащиеся затрудняются ответить на этот вопрос, учитель предлагает им найти частное методом проб. Найдя 7, ученик отвечает - 56. После этого делается запись: 58 : 8 == 7 (остаток 2).

Аналогичные приемы применяются и при ознакомлении детей с внетабличным делением с остатком в пределах ста: 75 : 6 = 12 (остаток 3).

Умение делить с остатком облегчает письменное деление многозначных чисел на однозначное число.

Письменное сложение и вычитание

Письменное сложение и вычитание можно изучать либо совместно, либо раздельно. В последнем случае сопоставление целесообразно провести при изучении вычитания. Вначале, при объяснении каждого действия, очень важно показать детям выгоды и целесообразность использования приемов письменного сложения и вычитания, когда числа, над которыми производятся действия, подписываются столбиком, и при вычислении соблюдается строгая поразрядность. Для этого достаточно один и тот же пример (допустим, 287 + 468 на сложение и 732 - 358 на вычитание) решить, пользуясь сначала устным приемом, а потом письменным (с записью столбиком).

При объяснении сложения наглядность не обязательна; при хорошей подготовке класса здесь достаточно опереться на знания учащимися разрядного состава трехзначного числа. Но при объяснении вычитания, особенно в тех случаях, когда в уменьшаемом встречаются нули (800 - 64), арифметическое действие (занимание, раздробление) нужно показать на наглядных пособиях, использовав при этом пучки палочек, классные счеты, размен денег и др. Ученики должны увидеть, что 100 - это 9 дес. и 10 единиц, 1000 - это 9 сот. 9 дес. и 10 единиц.

Предметом специального объяснения должны быть и действия с нулем: 5 + 0 = 5, 0 + 6 = 6, 0 + 0 = 0, 9 - 0 = 9, 8 - 8 = 0, 0 - 0 = 0.

Полезно разъяснить детям, почему начинают вычисления с единиц, а не с высшего разряда, как это делается в устных вычислениях. С этой целью один и тот же пример решают по-разному и выясняют, что начинать вычисление с высшего разряда неудобно, так как приходится исправлять уже записанные цифры в полученном результате.

В процессе упражнений используются не только обычные примеры, расположенные в системе, обеспечивающей постепенное нарастание трудности, но и простейшие уравнения типа:

X + 368 = 900 726 + X = 1000

X - 136 = 475 508 - X = 229

Путем решения таких примеров усваивается зависимость между компонентами и результатами действий.

Полезно предлагать детям задания - сравнить те или иные арифметические выражения, проверить данные равенства или неравенства. Например:

Проверить, верно ли следующее равенство: 235 + 380 = 1000 - 385.

Проверить, верно ли следующее неравенство: 826 - 348 < 208 + 396.

Сравнить выражения 224 + 185 и 724 - 347, поставив между ними соответствующий знак (=, > или <).

Решить пример 518 + 164 с проверкой результата двумя способами (сложением и вычитанием). С проверкой решаются и примеры на вычитание.

Навыки письменного сложения и вычитания находят свое применение при решении арифметических задач.

Письменное умножение и деление

Многое из того, что сказано о методике письменного сложения и вычитания, относится и к методике ознакомления учащихся с письменным умножением и делением. И эти действия можно изучать как совместно, так и раздельно. В обоих случаях следует использовать прием сопоставления.

Различные случаи этих действий располагаются в порядке постепенно возрастающей трудности (такой порядок обстоятельно разработан в существующих методических руководствах и получил свое отражение в учебниках).

При объяснении письменного приема выполнения каждого из этих действий нужно опираться на прием устного умножения и устного деления, подчеркивая то общее, что имеется в устных и письменных приемах выполнения действий, и их различие.

Нужно также объяснить детям случаи умножения нуля на число и числа на нуль (0 x 4 = 0; 9 x 0 = 0), а также деление нуля на число (0 : 6 = 0).

Результаты деления следует чаще проверять умножением, что способствует более глубокому пониманию взаимообратности этих действий.

Объяснение письменного умножения на однозначное число, как и сложения, не нуждается в опоре на предметные наглядные пособия; здесь достаточно только подчеркнуть строгую поразрядность выполнения этого действия, отразив это в первой записи умножения следующим образом. Допустим, что нужно 324 умножить на 2. После разбора состава числа 324 учитель записывает этот пример

так:

Из этой записи видно, что умножение трехзначного числа сводится к умножению каждого разряда этого числа начиная с единиц.

Но в объяснение способа письменного деления нужно привнести возможно больше наглядности, используя в" этих целях и предметные наглядные пособия (палочки и пучки палочек), и подробные развернутые записи действия.

Уже при объяснении такого случая деления, как 324 : 2, когда приходится делимое разбивать на 3 числа (200, 120 и 4), из которых каждое без остатка делится на 2, нужно показать процесс деления на наглядном пособии, взяв 3 сотни палочек (в пучках), 2 пучка-десятка и 4 палочки. Деля 3 сотни на 2, получим по одной сотне, и одна сотня будет в остатке. Развязываем ее, она распадается на 10 пучков-десятков, да у нас еще есть 2 десятка, всего получаем 12 десятков. Делим их пополам, получаем по 6 десятков. Остается разделить пополам 4 палочки; получится 2 палочки. А всего получится 1 сотня, 6 дес. и 2 ед., или 162.

Письменное деление - сложное действие. Оно состоит из ряда вычислительных операций, и каждую из них надо объяснить тщательно.

Допустим, что решается пример:

Решение его сопровождается следующим объяснением: 4 сотни делим на 6; сотен в частном не получится. Раздробим 4 сотни в десятки, получим 40 десятков. 40 десятков да еще 5 десятков составляют 45 десятков. Разделим их на 6, получим 7 десятков. Узнаем, сколько всего десятков мы разделили; для этого умножим 6 на 7, получим 42 десятка.

Узнаем, сколько десятков осталось разделить; для этого от 45 десятков отнимем 42 десятка, получим 3 десятка. 3 меньше 6 (остаток меньше делителя), значит, цифра в частном взята правильно. Раздробим 3 десятка в единицы, получим 30, да еще 6, всего 36 единиц. Делим их на 6, получится 6 единиц. Итак, всего получилось 7 дес. и 6 ед., или 76. Проверим: 76 X 6 = 456. По мере усвоения навыка деления объяснения становятся более краткими.

В процессе упражнений в умножении и делении, как при сложении и вычитании, дети решают не только обычные примеры, но и простейшие уравнения типа 8 х X = 432; X : 3 = 128; 96 : X = 16; выполняют задания: проверить данное равенство или неравенство; сравнить данные арифметические выражения; решить пример с проверкой результата.

В процессе формирования навыков письменных вычислений все время проводятся тренировочные упражнения в устных вычислениях с круглыми числами в пределах 1000.

Надо отметить, что в школьной практике ученики часто пользуются вместо устных письменными приемами. Чтобы предупредить этот недочет, полезно чаще сравнивать устные и письменные приемы. Например, ученику предлагается решить два примера: 460 + 320 и 347 + 486. Эти примеры записываются на доске в строчку. Ученик должен сам выбрать способ решения каждого примера, устный или письменный, подчеркивая их сходство и различие.

Многозначные числа. Нумерация многозначных чисел

Изучение нумерации многозначных чисел связано с необходимостью усвоить разряды и классы, а также ряд понятий, связанных с ними. Различение таких понятий, как число и цифра, единица разряда и единица класса, наименьшее и наибольшее число данного разряда или класса, входит в содержание данной темы. Умение записать данное число в виде суммы слагаемых, в каждом из которых только один разряд имеет единицы, и по данным слагаемым образовать число, умение назвать общее количество единиц данного разряда, класса и пр. вырабатываются после длительных и повторных упражнений. Чтобы безошибочно читать и записывать многозначное число, ученик должен практически овладеть структурой таких чисел и принципом, поместного значения цифр.

Конкретизацию больших чисел приходится заменить условной наглядностью, когда, например, две косточки на счетах или два кружка на счетной таблице могут обозначать и 2, и 20, и 200 и т. д. в зависимости от расположения предметов на пособии. Иначе говоря, конкретизировать приходится не числа, а десятичную систему счисления.

На практике учителя массовой школы в течение многих лет успешно применяют при изучении нумерации следующие наглядные пособия: классные счеты, горизонтальные и вертикальные, счетную таблицу, нумерационную таблицу, ленту тысячи.

Все перечисленные пособия являются классными: они применяются в условиях фронтальной работы. Кроме того, каждый ученик должен иметь у себя следующий дидактический материал: маленькие счеты, небольшую «счетную таблицу» того же типа, что и классная; нумерационную таблицу, которая чертится в тетради.

Оживить работу над нумерацией можно, во-первых, проведением простой, но интересной и полезной для школьников игры под названием «Живая нумерация».

Во-вторых, изучение многозначных чисел следует связать с именованными числами, с краеведческим материалом, с конкретными примерами из жизни, с личным опытом учащихся, с практикой коммунистического строительства.

В целях создания наилучших условий для усвоения нумерации многозначных чисел полезно рассредоточить работу над этим учебным материалом во времени, не посвящая вопросам нумерации подряд все запланированные на данную тему уроки.

Нумерация многозначных чисел изучается в III классе.

Следуя порядку, указанному в учебнике для третьегокласса, ученики овладевают нумерацией многозначных чисел постепенно: сначала изучают четырехзначные числа, затем пятизначные, наконец, шестизначные числа; после этого им дается понятие о разряде и классе.

При таком порядке работа над классом тысяч не опирается на знакомый детям класс единиц; понятия разряда и класса не связываются с двойной группировкой единиц и даются слишком поздно. Эти недостатки могут быть устранены, если в III классе сначала изучить нумерацию чисел второго класса и только после этого заняться любыми шестизначными числами1, а в дальнейшем сначала остановиться на классе миллионов и после этого переходить к любым девятизначным числам и т. д.

В этом случае понятия разряд и класс вводятся при повторении нумерации чисел в пределах 1000. Затем рассматриваются счетные единицы второго класса; проводятся упражнения в счете единиц, десятков и сотен тысяч и в образовании разрядных и алгоритмических чисел, содержащих только единицы второго класса (50 тыс., 800 тыс., 340 тыс., 875 тыс.), наконец, изучаются четырех-, пяти-, шестизначные числа как результат счета разрядных единиц первого и второго классов.

Идея самой системы счисления - счет единиц второго класса (тысяч) ведется точно так же, как и счет единиц первого класса - находит здесь свое отражение. Изучение нумерации многозначных чисел по этой системе опирается на знания учеников о нумерации чисел в пределах 1000.

Опыт показал, что полезно дать следующую схему разбора многозначного числа:

Прочитать число.

Назвать число единиц каждого разряда и класса в отдельности.

Назвать высший разряд числа.

Назвать общее количество единиц каждого разряда.

Назвать предшествующее и последующее числа по отношению к данному.

Назвать наименьшее и наибольшее числа, составленные из такого же количества разрядов.

Назвать наименьшее и наибольшее числа, записанные всеми цифрами данного числа.

Записать данные числа, как сумму разрядных слагаемых.

Работа по такой схеме способствует формированию понятий о десятичной нумерации.

Далее следует сформулировать правила чтения и записи многозначного числа при любом количестве цифр; «доказать» бесконечность натурального ряда; показать возможность обозначения с помощью десяти знаков любых натуральных чисел. Полезно сравнить десятичную систему счисления и метрическую систему мер длины и веса, обратить внимание на аналогичное их построение. Нужно сравнить также индусскую и римскую нумерации и показать преимущества записи чисел с использованием принципа поместного значения цифр.

Все перечисленные обобщения способствуют формированию понятий числа и величины.

Сложение многозначных чисел

После того как усвоено письменное сложение трехзначных чисел, сложение многозначных чисел не представляет для детей большой трудности. Однако необходимо проделать значительное количество упражнений, чтобы добиться безошибочного выполнения их.

Организуя упражнения, нужно предусмотреть различные варианты примеров на сложение: примеры без перехода и с переходом через разряд, примеры с одинаковым и разным количеством цифр в слагаемых, примеры, в которых первое слагаемое больше второго и наоборот, примеры без нулей и с нулями в слагаемых. Разнообразие примеров нужно не только для предупреждения ошибок, но и для формирования понятия сложения: применяя в разнообразных случаях сложения один и тот же способ решения, ученик начинает глубже понимать основной принцип сложения - его поразрядность.

Среди различных вариантов примеров большое место должно занимать сложение нескольких слагаемых. Подписывая слагаемые одно под другим, ученик вынужден анализировать структуру чисел, определять разрядное значение каждой цифры, приводить в соответствие одноименные разряды. Все это обогащает навык сложения. При суммировании разрядных чисел получаются суммы, выходящие за пределы таблицы сложения. Благодаря этому при сложении нескольких слагаемых закрепляются навыки устного сложения.

Приступая к объяснению сложения многозначных чисел, нужно прежде всего распространить имеющийся у детей навык сложения трехзначных чисел на любые числа, показав учащимся, что если 8 единиц да 5 единиц составляют 13 единиц, то 8 тысяч да 5 тысяч составляют 13 тысяч, 8 миллионов да 5 миллионов составляют 13 миллионов и т.д.

Письменное сложение, как известно, выполняется по определенному правилу, которое должно быть сообщено детям для того, чтобы они строго соблюдали его. Когда дается объяснение и проводятся первые упражнения, учитель, а вслед за ним и ученики называют разряды чисел и подробно поясняют каждую операцию, а в дальнейшем, когда переходят к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, от учеников требуют только краткие пояснения.

Чтобы сделать упражнения разнообразными и тем самым повысить у детей интерес к ним, полезно разнообразить не только материал, но и задания, предлагая ученикам «Сложить числа», «Выполнить действие», «Сравнить суммы», «Проверить равенство» и др. Например:

Сравнить следующие суммы: 5489 + 13873 и 4378 + 10874.

Проверить равенство: 6758 + 9870 = 10680 + 5498.

Проверить, верно ли следующее неравенство: 28756 + 295064 > 36094 + 258506.

Выполнение таких заданий полезно для математического развития детей. При формировании навыков письменного сложения многозначных чисел применяют переместительный и сочетательный законы сложения. Переместительный закон сложения уже известен детям; теперь ученики должны усвоить его точную формулировку, используя для проверки сложения, для 'рациональной записи сложения нескольких слагаемых (столбиком), для облегчения и ускорения устных вычислений.

Сочетательный закон сложения полезно рассмотреть в плане его практического применения. Учащимся дается для сложения несколько слагаемых и предлагается отыскать наиболее рациональный способ решения. В своих поисках ученики приходят к выводу о возможности группировки слагаемых, заменяя сложение нескольких слагаемых их суммой.

Даются задания: сравнить следующие суммы: 120 + 50 + 30 и 120 + 80; 380 + 50 + 70 и 380. + (50 + 70).

Почему между этими суммами можно поставить знак равенства?

Однако, используя эти законы главным образом для практических целей, не следует упускать возможности использования их для обобщений и для математического развития учащихся. В этих целях полезны упражнения, раскрывающие глубину и большую общность их применения.

Этому способствует работа над такими примерно вопросами:

Почему 9 + 6 = 6 + 9?

Какое свойство сложения выражают следующие равенства:

а) 64 + 28 = 28 + 64

б) а + Ь = Ь + а

Какие числа надо подставить вместо X, чтобы были верны следующие равенства:

а) X + 72 = 72 + 32

б) 26 + X = X + 26

Чему равна сумма 2489 + априа = 13076?

Покажите сначала на числах, а потом и на буквах переместительное свойство сложения.

Аналогичные вопросы решаются и по отношению к сочетательному закону сложения:

Почему 16 + 12 + 8 = 16 + (12 + 8)?

Что означает запись: 94 + 6 + 12 + 88 = (94 + 6) + (12 + 88)?

Как удобнее и легче вычислить сумму: 75 + 84 + 16?

Напишите пример, из которого видно, что при сложении полезно группировать слагаемые.

Такой разносторонний подход к данным законам обеспечит достаточно глубокое понимание их общности и условий их практического применения.

Вычитание многозначных чисел

В основу формирования навыков письменного вычитания многозначных чисел можно положить следующую систему упражнений:

Решение примеров, в которых цифры уменьшаемого больше соответствующих цифр вычитаемого.

Решение примеров, в которых вычитаемое наряду со значащими цифрами содержит и нули.

Решение примеров, в которых некоторые цифры уменьшаемого меньше соответствующих цифр вычитаемого.

Решение примеров с одним и несколькими нулями в уменьшаемом.

В каждой из ступеней различают примеры по числу цифр в уменьшаемом и вычитаемом, по числу переходов через разряд, по числу нулей в уменьшаемом и их расположению среди значащих цифр; так, могут быть примеры с двумя, тремя, четырьмя и более нулями подряд; нули могут перемежаться со значащими цифрами; между нулями может встречаться единица (400100 - 66724).

Разнообразие случаев вычитания при единстве принципа их решения сильнее подчеркивает этот принцип - строгую поразрядность вычитания.

В начале изучения этой темы нужно распространить знакомый детям прием вычитания единиц, десятков и сотен на высшие разрядные единицы, показав, что если 8 единиц без 2 единиц составляют 6 единиц, то и 8 тысяч без 2 тысяч составляют 6 тысяч, 8 миллионов без 2 миллионов - 6 миллионов, 8 сотен тысяч без 2 сотен тысяч - 6 сотен тысяч и т. д. К этому сводится в конце концов процесс письменного вычитания многозначных чисел.

В процессе объяснения вычитания полезно сформулировать правило письменного выполнения этого действия.

Это правило играет роль средства в борьбе за четкие, правильные и упорядоченные записи, за безошибочное вычисление.

При решении первых примеров ученики подробно объясняют каждую операцию, но при переходе к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, объяснения даются в краткой форме.

При объяснении нужно подробно и обстоятельно раскрыть процесс занимания единицы высшего разряда и раздробления ее в единицы низшего разряда, при этом особое внимание нужно уделить примерам, в которых встречаются нули. Операции с нулем нужно повторить на отдельных примерах: 5 - 0 = 5, потому что если от числа ничего не отнять, то и останется то же число. Вычитать из нуля нельзя, потому что нуль меньше всякого числа (разумеется, натурального).

Когда уменьшаемое выражено единицей с несколькими нулями (1000, 10000, 1 000000) и т. д., то на классных счетах нужно показать, что тысяча - это 9 сотен 9 десятков и 10 единиц, 10000 - это 9 тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц.

Хорошим наглядным пособием в таких случаях может служить пучок из тысячи палочек, состоящий из 10 сотенных пучков, каждый из которых в свою очередь состоит из 10 десятков, а в каждом десятке по 10 палочек-единиц. Чтобы вычесть из 1000 палочек, например, 32 палочки, «тысячный» пучок развязывается, причем он распадается на 10 сотен; 9 сотен оставляют, а одна сотня развязывается и распадается на 10 десятков и т. д. Ученики видят, как из тысячи без изменения ее величины получили 9 сотен 9 десятков и 10. единиц. После этого отнимают 32 палочки. Затем проводится параллель между вычитанием на палочках и письменным вычитанием на классной доске.

Упражнения в вычитании многозначных чисел следует разнообразить, как это делалось и в упражнениях на сложение, например:

Сравнить следующие разности: 100 000 - 96 786 и 10000 - 6786.

Проверить следующее равенство: 20486 - 3856 = 6758 + 9870.

Проверить, верно ли поставлен знак неравенства в следующем выражении: 100 000 - 92 487 < 60 100 - 9203. На сколько левая часть неравенства меньше правой?

Найти разность: 18206 - X при X = 5978.

Такие задания ввиду своей целенаправленности поддерживают у учеников интерес к работе и повышают эффективность упражнений.

Формируя вычислительные навыки, нужно вместе с тем закрепить понятие о вычитании как действии, обратном сложению, продолжая начатую в предыдущих классах работу по изучению зависимости между компонентами и результатами этих действий. Для этого решаются простейшие уравнения вида: X + 120 = = 380; 460 + х = 600; X - 784 = 1265; 1000 - X = 693.

На основе знания зависимости между компонентами сложения и вычитания вводится проверка сложения вычитанием и проверка вычитания двумя способами - сложением и вычитанием.

Заметим, что нужно обучать и другому более простому способу проверки - способу повторного выполнения вычитания по уже сделанному вычислению.

Вместе с тем нужно продолжать работу по совершенствованию навыков устных вычислений, используя при этом как общие, так и частные приемы вычислений, среди последних - прием округления уменьшаемого и вычитаемого.

Умножение. Общие замечания

Рассмотрим основные случаи умножения и деления многозначных чисел в такой последовательности: письменное умножение на однозначное число, умножение на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и трехзначное число; письменное деление на однозначное число, деление на десять и на сто, на круглые десятки и на круглые сотни, на двузначное и на трехзначное число. Частные случаи будем вводить по мере того, как они могут появляться.

К частным случаям умножения обычно относят умножение с нулем (с нулями) в середине множителя, с нулем (с нулями) на конце только множимого, или только множителя, или же на конце у обоих сомножителей. К аналогичным случаям деления относят случаи с нулями в частном. Уже само название «частные случаи» говорит о том, что в них есть нечто своеобразное, хотя в основном они сходны с общими случаями.

Вводя частный случай вслед за общим, мы тем самым создаем ученику лучшие возможности увидеть и общее, и особенное, ибо «отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее». Поэтому целесообразно вслед за общим случаем давать и соответствующие частные случаи, чем обеспечивается закрепление общих правил и создается возможность показать своеобразие частного случая в наиболее благоприятных условиях, когда применение общего приема еще не автоматизировалось.

Частные случаи умножения имеют еще и следующее значение: запись этих примеров отличается от записи аналогичных примеров на общие случаи умножения и от записи примеров на письменное сложение и вычитание, в которых единицы одного и того же разряда записываются друг под другом. В записи же примеров на частные случаи этот принцип нарушается: единицы, например, могут быть записаны либо под десятками, либо под сотнями, либо сотни под единицами и т. д., в зависимости от количества нулей на конце сомножителей:

Умножение на однозначное число

Письменное умножение начинается с повторения умножения трехзначных чисел на однозначное число.

Этот случай письменного умножения содержит в себе все типичное и характерное для алгоритма умножения любого многозначного числа на однозначное; значит, в процессе, работы над этим простейшим случаем и закладываются основы навыка письменного умножения многозначных чисел на однозначное.

Далее ученики самостоятельно применяют прием умножения разрядного числа на однозначное число и прием разложения множимого на разрядные слагаемые.

Остановимся на том частном случае, когда множимое оканчивается НУЛЯМИ. Примеры такого рода

решаются уже знакомым детям приемом умножения круглого числа на однозначное. Разница только в том, что до сих пор детям приходилось пользоваться этим приемом в устных вычислениях, а теперь и в письменных. На решении этих примеров можно, кроме того, показать особенность записи письменного умножения по сравнению с записью сложения и вычитания, когда каждый разряд второго компонента пишется под таким же разрядом первого компонента.

При умножении на однозначное число большое внимание уделяется переместительному закону умножения, что достаточно полно раскрыто в существующих методических руководствах

Умножение на 10 и на 100

Рассуждение, которым обычно пользуются при умножении на 10 и на 100, состоит в следующем. При умножении единицы на 10 (100) получается один десяток (одна сотня); если умножить каждую единицу числа на 10 (100), то в произведении получится столько десятков (сотен), сколько единиц во множимом. Рассуждая так, дети под руководством учителя решают ряд примеров, сравнивают множимое и произведение и выводят правило:

Чтобы умножить число на 10 (100), надо приписать к нему справа нуль (два нуля). В дальнейшем умножают на 10, пользуясь этим правилом.

В данном случае можно применить и другой способ умножения, основанный на имеющихся у детей знаниях:

7 х 10 = 70 (из таблицы умножения)

10 х 10 = 100 (на основе нумерации)

17 х 10 = 170 (10 х 10 + 7 х 10 - прием разложения множимого на разрядные слагаемые)

100 х 10 = 1000 (на основе нумерации)

117 х 10 = 1170 (100 х 10 + 10 х 10 + 7 х 10 - тот же прием разложения множимого на разрядные слагаемые)

Сопоставив в каждом примере произведение и множимое, ученики выводят соответствующее правило. Аналогичная работа проводится при умножении на 100.

Умножение на круглые числа

Под круглым числом в широком смысле слова понимают число, которое оканчивается одним или несколькими нулями. Таковы числа 30, 500, 420, 1700 и т. д. На первом этапе целесообразно рассмотреть умножение не на любое круглое число, а лишь на круглые числа, которые состоят не более, чем из девяти единиц того или иного разряда. Таковы числа 30, 40 и т. п. и числа 400, 700 и т. п., которые в методической литературе принято называть круглыми.

Основной прием умножения на кпуглые числа вытекает из сочетательного закона. Этот закон усваивается учениками с большим трудом, чем переместительный и распределительный законы.

Поэтому в существующих методических руководствах этот случай умножения объясняется детям особенно тщательно и с применением наглядности. Удачную разработку данного вопроса мы находим в методическом пособии Г. Б. Поляка «Преподавание арифметики в начальной школе». Приведем это объяснение полностью.

При объяснении умножения на круглые десятки исходим из задачи, например: В коробке 6 мячей. Сколько мячей в 20 коробках? Выяснив, что для решения этой задачи надо 6 x 20, или повторить 20 раз, мы иллюстрируем ее графически примерно так:

Подсчитываем и находим, что в двух коробках каждого ряда 12 мячей, а всего таких рядов 10; чтобы узнать, сколько мячей в 20 коробках, надо 12 умножить на 10, получим 120. Итак,

6 x 20 = 6 x 2 x 10 = 12 x 10 = 120. 6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

6 6

При умножении 8 на 30 устанавливает, что 8 надо повторить слагаемым 30 раз, и начинаем записывать слагаемые так: 8 8 8

8 8 8

8 8 8

и т.д.

Числа каждого ряда дают в сумме 24, а таких рядов 10. Умножаем 24 на 10, получаем 240. Итак, 8 x 30 = 8 x 3 x 10 == 24 x 10 = 240.

Аналогично объясняется решение первых примеров на этот случай умножения.

Переходя после решения нескольких примеров с однозначным множимым к решению примеров с двузначным и многозначным множимым, начинают записывать действия столбиком, например:

Однако и после перехода к такой записи полезно, чтобы ученики на первых порах объясняли действие так же, как и при записи в строчку; например, чтобы умножить 38 на 60, надо 38 умножить на 6 и полученное число умножить на 10. Умножаем 38 на 6, получаем 228. Умножаем 228 на 10, получаем 2280.

После решения ряда примеров с таким объяснением ученики формулируют соответствующее правило».

Аналогично умножению на десятки проводится изучение умножения на круглые сотни, круглые тысячи и т. д. Во всех этих случаях множитель подписывают под множимым так, чтобы значащая цифра множителя стояла под единицами множимого, например:

Особого внимания заслуживают те случаи, когда оба сомножителя представляют собой ту или иную комбинацию десятков и круглых сотен, например: 300 x 50; 800 x 300; 400 • 700 и т. д. При решении таких примеров ученики рассуждают следующим образом: чтобы умножить 800 на 300, надо 8 сотен умножить на 3, получится 24 сотни, или 2400; к этому числу остается приписать два нуля, получится 240 000.

Такие примеры, как 800 x 300; 700 x 800; 4000 x 600 и т. д., записывают «в строчку» и решают устно.

Умножение на десятки и круглые сотни следует, сопоставить с умножением любого круглого числа на однозначное. Важно, чтобы ученики уяснили себе значение приписки нулей в том и другом случае: при умножении круглого числа приписка нулей означает раздробление единиц высшего разряда в простые единицы, а при умножении на круглое число приписка нулей означает умножение на соответствующую разрядную единицу.

В устных упражнениях полезно давать в сопоставлении умножение десятков и круглых сотен на число и числа на десятки и круглые сотни (30 x 6 и 13 x 30, 400 x 6 и 14 x 400).

Наряду с приведенными упражнениями следует давать задачи и составные примеры, которые решаются с использованием сочетательного закона умножения. Вот образец такой задачи: Товарный поезд прошел 675 км. Пассажирский поезд был в пути втрое больше и шел вдвое скорее. Сколько километров прошел пассажирский поезд?

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Первый способ: 1) 675 км x 2= 1350 км; 2) 1350 км x 3 = 4050 км.

Второй способ: 1) 2 x 3 = 6; 2) 675 км x 6 = 4050 км.

Пример 23 x 2 x 5 можно решить либо приемом последовательного умножения (23 x 2 = 46, 46 x 5 = 230), либо через замену сомножителей 2 и 5 их произведением (2 x 5 = 10; 23 x 10 = 230).

Умножение на двузначное и трехзначное число

При умножении на двузначное и трехзначное число все операции над множимым можно свести к умножению его на однозначное число и на разрядную единицу. Например, решая пример 56 x 37, ученик рассуждает так:

Чтобы умножить 56 на 37, достаточно сначала умножить 56 на 7, затем умножить 56 на 30 и полученные числа сложить. Умножаем 56 на 7 ...

Умножаем 56 на 30. Для этого достаточно умножить 56 на 3 и к полученному числу приписать нуль. Этого нуля мы писать не будем, оставим его место свободным, а произведение на 3 начнем записывать под десятками.

Умножим 56 на 3 ... Складываем ... Ответ: 2072

Приведенное объяснение начинается с указания всех стержневых операций в определенной последовательности, чем обеспечивается понимание места и значения каждой отдельной операции в системе этих операций. Но, что еще важнее, устраняется необходимость оперировать разрядными наименованиями и находить произведения чисел в тех случаях, когда оба сомножителя оканчиваются нулями.

В целях дифференциации приемов умножения на числа двузначные и круглые полезно давать следующие упражнения:

Учащимся предлагается рассказать способ решения парных примеров, составленных с таким расчетом, чтобы на фоне сходного резче выступало различие примеров: как умножить письменно, скажем, 246 на 13? (Ответ. Надо 246 умножить на 3 и 246 умножить на 10, полученные произведения сложить.) Как умножить 246 на 30? (Ответ: Надо 246 умножить на 3 и полученное произведение умножить на 10.)

Упражнения более обобщенного характера, когда множимое не дается в виде определенного числа. Например: как умножить письменно любое число на 13? (Ответ: Надо это число умножить на 3, это же число умножить на 10 и полученные числа сложить.) Как умножить любое число на 30? (Ответ. Надо это число умножить на 3 и полученное число умножить на 10.)

Обратные упражнения по отношению к приемам разложения множителя, в которых числа одинаковые, а приемы разные. Если 234 умножили на 3, 234 умножили на 10 и полученные числа сложили, то на какое число умножили 234? (Ответ: 234 x 13) Если 234 умножили на 3 и полученное число умножили на 10, то на какое число умножили 234? (Ответ: 234 x 30)

Устное решение парных примеров в одно действие (25 x 12 и 25 x 20; 12 x 15 и 12 x 50 и т.д.) и письменное решение парных примеров в несколько действий: что больше и на сколько: произведение 346 x 7 x 10 или сумма произведений 346 x 7 + 346 x 10?

При умножении на двузначное и трехзначное число надо применять либо прием разложения множителя на разрядные слагаемые (234 х 15 = 234 х 5 + 234 х 10), либо комбинацию этого приема с приемом разложения множителя на сомножители (436 х 248 = 436 х 8 + 436 х 4 х 10 + 436 х 2 х 100). На данной ступени изучения умножения в центре внимания находятся именно эти приемы разложения множителя.

При изучении остальных случаев умножения ученики имеют дело с уже знакомыми им приемами, только в новых условиях (340 х 23 = 34 дес. х 23 = 782 дес. = 7820; 421 х 305 = 421 х 5 + 421 х 300; 315 х 240 = 315 х 24 х 10 и др.). Поэтому целесообразно организовать дальнейшую работу над умножением так, чтобы ученики самостоятельно устанавливали вычислительный прием, относящийся к. новому случаю умножения.

Приведем часть протокола урока, на котором впервые решались примеры с нулями на конце у обоих сомножителей.

Учитель: Б., иди к доске. Запиши пример: 4300 х 16. Как умножить 4300 на 16?

Ученик: 43 сотни на 16.

Учитель: Как 43 сотни умножить на 16?

Ученик: 43 сотни x 6; 43 сотни x 10; полученные числа сложить.

Учитель: Что получишь?

Ученик: Сотни.

Учитель: Что дальше сделаешь?

Ученик: Раздроблю в единицы: припишу два нуля.

Учитель: Решайте пример. В., иди к доске. Запишите пример 43 x 160. В., как умножить 43 на 160?

Ученик: 43 умножить на 16 и полученное число умножить на 10.

Учитель: Решайте!

В. умножил 43 на 16.

Учитель: Прочитай, что ты получил.

Ученик: 688 единиц.

Учитель: Что дальше надо сделать?

Ученик: умножить на 10.

Учитель: Что показывает число 16?

Ученик: Сколько слагаемых в каждой группе.

Учитель: Число 10?

Ученик: Сколько таких групп.

Учитель: В., расскажи подробно, как умножить 43 на 160.

Ученик: 43 x 6; 43 x 10; сложу; полученное число умножу на 10.

После этого учитель переходит к новому материалу. Работа проводится следующим образом.

Учитель: Надо 4300 умножить на 160. Это для вас новое. Подумайте, как надо записать этот пример. Ш.!

Мальчик на доске правильно подписывает множитель под множимым.

Учитель: Как будешь умножать 4300 на 160? Н.!

Ученик: 43 сотни надо умножить на 16, полученное число умножить на 10.,

Учитель: Кто думает так же, как Н.?

(Много поднятых рук.) Молодцы, правильно! Иди, Н., к доске и реши этот пример.

Мальчик умножил 43 сотни на 16.

Учитель: Что получил?

Ученик: Сотни.

Учитель: Что дальше надо сделать?

Ученик: Сотни, раздробить в единицы; припишем два нуля.

Учитель: Теперь что надо сделать?

Ученик: Умножить на 10, припишем нуль.

Учитель: Повтори все от начала до конца, как мы умножили 4300 на 160.

Ученик: Умножили 43 на 16 и приписали три нуля.

Тот факт, что дети смогли самостоятельно применить приемы умножения круглого числа на круглое число в таких сравнительно сложных условиях и тем самым установить способ решения новых примеров с нулями на конце обоих сомножителей, говорит о довольно высоком уровне понимания детьми названных приемов.

Деление. Подготовительные упражнения

Для успешного изучения алгоритма деления очень важны следующие умения: назвать число отдельных единиц каждого разряда, высший разряд числа, общее число единиц каждого разряда; умение выполнять раздробление любого разряда в единицы и обратное преобразование - превращение единиц.

В процессе устных вычислений следует особое внимание уделить внетабличному умножению и делению двузначного числа на однозначное, а также чаще ставить ученика в такие условия, чтобы ему приходилось переключаться с одного действия на другое, переходить от устных .вычислений к письменным. Именно этого умения переключаться и не хватает детям при изучении деления.

В указанных целях на завершающих этапах работы в изучении действий полезно давать рядом примеры, решаемые устно, и примеры, решаемые письменно, а также полезно предлагать вперемежку примеры на разные действия. После изучения действий в пределах 1000 можно дать следующую самостоятельную работу: 84 : 6; 24 x 3; 834 - 265; 136 x 4; 99 : 33; 130 + 809; 280 x 3; 276 x 3; 300 - 64. Такое сочетание примеров настораживает учеников, заставляет думать, дает возможность провести сравнение, увидеть сходное и разное в тех примерах, которые решались в разное время.

До последнего времени при обучении вычислениям пользуются, как правило, решением многих однотипных примеров с целью «набить руку». Результатом такого обучения является быстрая потеря приобретенных навыков.

Деление с остатком в подготовительной работе должно занять большее место, чем в настоящее время. Позднее введение деления с остатком не дает возможности ученикам вовремя усвоить трудный случай деления до возникновения новой трудности - письменного деления.

При изучении умножения в пределах 1000 целесообразно обратить внимание на следующее упражнение. Даются три примера: 23 x 4; 23 x 5; 23 x 6. Сначала решается второй пример 23 x 5 = 115, затем предлагается решить третий пример (или первый) двумя способами: 1) 23 x б = 20 x 6 + 3 x 6 и 2) 23 x 5 + 23, то есть к известному числу 115 прибавить 23 (или 23 x 4 = 20 x 4 + 3 x 4 и 23 x 5 - 24, то есть от известного числа отнять 23). Эта работа готовит учеников к способам проверки цифры частного, когда ее приходится изменять: брать на единицу больше или меньше.

Понятно, что указанные упражнения должны быть целесообразно распределены во времени.

Письменное деление на однозначное число

Письменное деление на однозначное число целесообразно рассмотреть в следующем порядке:

Деление трехзначного числа на однозначное сначала при трехзначном частном, затем при двузначном.

Деление без остатка четырехзначных чисел на однозначное при четырехзначном и трехзначном частном; например: (5592 : 3; 3744 : 4).

Частный случай деления, когда при делении без остатка получаются нули на конце частного, например, 22 720 : 4 = 5680.

Общие случаи деления без остатка пяти-девятизначных чисел на однозначные, например, 99 192 : 6; 41 705 : 5.

Частный случай деления, когда получаются нули в середине частного, например, 65 325 : 5 = 13 065.

Письменное деление с остатком.

Общие случаи деления многозначных чисел на однозначное без остатка и с остатком.

Частный случай деления, когда при делении с остатком на конце частного получается нуль.

При изучении письменного деления на однозначное число ученики должны усвоить алгоритм деления - уметь образовывать неполные делимые, устанавливать число цифр частного, понимать смысл каждой вычислительной операции: неполное делимое делится на делитель для того, чтобы найти соответствующую цифру частного; найденную цифру частного умножают на делитель для того, чтобы узнать, сколько соответствующих единиц разделили; полученное число вычитают для того, чтобы узнать, сколько соответствующих единиц осталось разделить и правильно ли подобрана цифра частного.

Вначале письменное деление на однозначное число учащиеся выписывают подробно и объясняют следующим образом:

Делимое 2916. Делитель 6

Высший разряд делимого - тысячи; две тысячи нельзя разделить на 6 равных частей так, чтобы в каждой части получилось хотя бы по одной тысяче. Раздробим 2 тысячи в сотни и прибавим 9 сотен, получим 29 сотен. Это число делится на 6 равных частей так, что в.каждой части получаются сотни. Значит, высший разряд частного - сотни.

Сотни стоят на третьем месте справа, значит, в частном будут три цифры.

Вместо трех цифр пока ставим три точки.

29 сотен разделим на 6, получим 4 сотни.

Узнаем, сколько всего сотен мы разделили. Для этого умножим 4 сотни на 6, получим 24 сотни.

Узнаем, сколько сотен осталось разделить. Для этого отнимем 24 сотни от 29 сотен, получим 5 сотен.

Остаток 5 сотен не делится на 6, следовательно, цифра частного подобрана правильно.

Раздробим 5 сотен в десятки, получим 50 десятков.

Прибавим 1 десяток, получим 51 десяток.

51 десяток разделим на 6, получим 8. И т. д.

Частное - 486.

Важно, чтобы при делении ученики записывали каждую цифру в своей клетке. Аккуратные записи вообще, а при делении особенно сокращают число ошибок.

Облегчает длинное рассуждение следующая схема, которой ученики могут пользоваться на первой ступени усвоения письменного деления.

Схема 1

Прочитай делимое и делитель.

Запиши пример (действие).

Выдели первое неполное делимое.

Установи высший разряд частного.

Установи число цифр частного.

Вместо цифр частного поставь точки.

Найди старшую цифру частного.

Узнай, сколько единиц этого разряда разделили.

Узнай, сколько единиц этого разряда не разделили.

Проверь, правильно ли подобрана цифра частного.

Если получится остаток, раздроби его в единицы соседнего разряда.

Прибавь единицы такого же разряда делимого (если они имеются).

Продолжай выполнять действие в указанном порядке, пока не решишь весь пример.

Назови частное.

По мере усвоения учениками учебного материала следует сокращать схему и рассуждение, изменять их, вносить новое.

К концу изучения деления на однозначное число разобранный выше пример ученики могут объяснять короче:

Делимое 2916, делитель 6

Первое неполное делимое 29 сотен.

В частном получим трехзначное число.

29 разделим на 6, получится 4. Умножим 4 на 6, получим 24. Вычитаем, получим 5.

Второе неполное делимое 5.1 и т. д.

Частное 486.

Проверим: 486 х 6 = 2916

Соответственно меняется и схема рассуждения.

Схема 2

Прочитай и запиши делимое и делитель.

Назови первое неполное делимое.

Установи число цифр частного.

Найди цифры частного.

Назови частное.

Проверь решение.

Между схемами 1 и 2 возможны промежуточные, которые должны отражать процесс усвоения детьми учебного материала.

Деление на 10 и на 100

Деление на 10 можно рассматривать как деление на равные части и решать соответствующие примеры на основе следующего рассуждения: чтобы разделить число на 10, достаточно каждый десяток делимого разделить на 10; в частном получится столько единиц, сколько было в делимом десятков. Иначе говоря, основой деления является прием разложения делимого на десятки как слагаемые.

Но деление на 10 можно рассматривать и как деление по содержанию. В таком случае рассуждения принимают следующую форму: чтобы разделить число на 10, достаточно узнать, сколько раз 10 содержится в данном числе.

На основе таких рассуждений и сравнения делимого с частным дети выводят правило: чтобы разделить на 10 число, которое оканчивается нулем (или нулями), надо откинуть в нем справа один нуль.

Но данное правило можно вывести, пользуясь и другим способом деления, а именно:

40 : 10 = 4 (по таблице),

100 : 10 = 10 (на основе нумерации),

140 : 10 = 14 (100 : 10 + 40 : 10 - разложение делимого и деление каждого слагаемого);

1000 : 10 = 100 (на основе нумерации),

1170 : 10 = 117 (1000 : 10 + 100 : 10 + 70 : 10).

Затем следует рассмотреть деление на 10 с остатком. Сначала эти примеры решаются на основе рассуждения. Пусть надо 236 разделить на 10. По правилу делим 230 на 10, а 6 единиц - остаток. Полезно и в данном случае сформулировать правило.

Аналогичная работа проводится при делении на 100.

Целесообразно все частные правила объединить в общее.

Деление любых чисел на единицу с нулями всегда записывается в строчку: 176 : 10 = 17 (ост. 6).

Деление на десятки и на круглые сотни

При делении многозначных чисел на десятки в школьной практике обычно используют прием разложения делимого на слагаемые; для нахождения цифр частного опираются на деление по содержанию при условии, что каждый раз любые сложные единицы разрядов заменяют простыми.

Подробно этот способ описан в книге А. С. Пчелко. Из описания данного способа деления видно, что, пока дети имеют дело с делением трехзначных чисел на круглые десятки (368 : 40) и четырехзначных чисел на круглые сотни (1825 : 600), деление по содержанию их не затрудняет. Но уже при пятизначном делимом (26 880 : 40) детям трудно соотносить сотни делимого (268 сот.) с десятками делителя (4 дес.); им приходится отвлекаться от названия разрядов и принимать на веру правило: Чтобы найти цифру частного, делим 26 на 4.

Чтобы избежать этого недостатка, целесообразно рассматривать деление на круглые десятки и сотни не как деление по содержанию, а как деление на равные части. Тем самым, во-первых, обеспечивается вполне сознательное выполнение учениками действия деления и, во-вторых, достигается образовательная цель работы через усвоение приема последовательного деления, отражающего сущность данного действия.

Прием последовательного деления поясняется графически посредством деления отрезка. Учитель прикрепляет к доске метровую ленту, разделенную на дециметры, то есть на 10 равных частей. Если каждую такую часть разделить мелом (под лентой) пополам, то окажется, что метр разделен на 20 равных частей. Тем же способом учитель делит метр на 30, 40 и т. д. частей. А дальше, уже без пособия, дети устанавливают способ деления любого числа на круглые десятки.

Тот, же прием применяется к делению с остатком. Так, чтобы 327 разделить на 50, достаточно 327 единиц разделить на 1.0, а затем 32 единицы - на 5 равных частей. Получим 6 единиц в частном и 27 единиц в остатке. Делимое и частное, как это требуется при делении на равные части, имеют одно и то же наименование.

Чтобы перейти к более краткому объяснению действия, учитель предлагает подумать, на каком этапе деления получаем мы цифру частного. Оказывается, что, разделив 327 на 10, мы еще не нашли эту цифру. Мы получим ее лишь при делении 32 на 5.

После подробного разбора ряда примеров формулируется правило:

Чтобы разделить трехзначное число на круглые десятки (при однозначном частном), достаточно две старшие цифры делимого разделить на старшую цифру делителя.

Это правило применяется к делению многозначных чисел на десятки. Так, решая приведенный ниже пример, ученик говорит:

В делителе 2 цифры. Значит, в делимом не может быть меньше двух цифр.

Но 74 тысячи не делятся на 80 равных частей так, чтобы в каждой части получились тысячи. Делим 748 сотен на 80 равных частей. Высший разряд частного - сотни. В частном будет 3~цифры.

Чтобы разделить 748 на 80, достаточно 74 разделить на 8. Получим 9. Пишем в частном 9 на месте сотен...

На вопрос учителя, почему при делении сотен достаточно было 74 разделить на 8, ученик дает развернутый ответ: «Делим сначала 748 сотен на 10 равных частей; получится 74 сотни. Делим далее 74-сотни на 8 равных частей; получится 9 сотен». Такой ответ свидетельствует о сознательном применении правила.

Аналогичные приемы работы применяются и при делении на круглые сотни.

Деление на двузначное и трехзначное число

При делении многозначных чисел на двузначное и трехзначное число в практике используется прием разложения делимого на слагаемые, а для нахождения цифр частного - прием округления делителя и прием испытания цифры частного. До ,сих пор во всех случаях деления не приходилось изменять делитель, а поэтому найденную цифру записывали сразу. При делении же на двузначное и трехзначное число, прежде чем записать цифру частного, надо ее проверить.

Новым на данном этапе является изменение делителя, пробная цифра частного, испытание цифры частного.

Остановимся на этом более подробно.

В школьной практике часто двузначный делитель в одних случаях округляют до ближайшего меньшего круглого числа, а в других - до большего круглого числа, в зависимости от того, к какому из этих чисел делитель ближе. Так, делитель 63 округляют до 60, а делитель 67 до 70. К этому обязывает название приема - округление делителя.

Опыт показывает, что ученикам легче заменить делитель меньшим круглым числом. При этом меньше изменений вносится в делитель: сохраняется число десятков, изменяется только число простых единиц; не надо усваивать два способа нахождения цифр частного, отпадает необходимость в выборе нужного способа. Прием замены делителя меньшим круглым числом становится универсальным.

Заметим, что в таком случае правильнее говорить не о приеме округления, а о приеме замены делителя ближайшим меньшим круглым числом.

Рассмотрим приемы испытания пробной цифры частного. В большинстве методических руководств при испытании цифры частного рекомендуется все вычисления производить в уме и оперировать по возможности круглыми числами; при делении на двузначное число такими числами будут десятки; при делении на трехзначное число - круглые сотни и сотни с десятками.

Поясним этот способ на примере. Пусть надо 4042 разделить на 47

Первое неполное делимое 404 десятка. В частном будет две цифры.

Чтобы разделить. 404 на 40, достаточно 40 разделить на 4, получится 10; первая пробная цифра 9; 40 умножить на 9, получится 360. Вычитаем, получится 44. Семью девять - 63. В запасе 44; 44 < 63. Значит, 9 - много. Берем 8.

40 умножить на 8, получится 320. Вычитаем. В запасе 84: семью восемь - 56; 84 > 56. Значит, частное 8.

Теперь 47 умножаем на 8 письменно: семью восемь - 56; 6 пишу и т. д.

Образуем второе неполное делимое - 282.

Чтобы разделить 282 на 40, достаточно 28 разделить на 4; получится 7, но сразу видно, что 7 - много (40 x 7 = 280; 282 - 280 = 2). Берем 6.

40 умножить на 6, получится 240; 282 - 240 = 42, и надо 42 (7 x 6 = 42). Значит, 6 подходит.

Частное 86.

При таком способе работы дело сводится к знакомым вычислениям, которые ученики выполняют устно: 40 x 8; 40 x 7; 404 - 360 (фактически 40 - 36); 282 - 240 (фактически 28 - 24), то есть приходится в основном вычитать двузначные числа из двузначных и умножать круглые десятки, а при делении на трехзначное - умножать круглые сотни.

В школьной практике следует шире использовать последний способ, когда дело сводится к устным вычислениям.

Изложим порядок изучения деления на двузначное число.

Сначала решаются примеры на деление без остатка и с остатком трехзначных чисел, когда в делении на каждом его этапе участвует столько же разрядов, сколько их в делителе. Например:

После этого полезно решать похожие примеры на деление без остатка трех-, четырех-, пяти- и шестизначных чисел, когда в не-полном делимом две цифры и когда в частном получаются единицы только старшего разряда, например, 720 : 24; 6400 : 16 = 400; 51 000 : 17 = 3000; 800000 : 16 = 50000.

Затем переходят к делению без остатка трехзначных чисел, когда цифру частного находят в результате одной пробы и когда в частном получается однозначное число. Пусть надо 315 разделить на 63. Здесь ученики знакомятся с приемом замены делителя ближайшим меньшим круглым числом.

На следующей ступени решаются примеры на деление четырех-, пяти- и шестизначных чисел без остатка, когда в неполном делимом три цифры и когда в частном получаются единицы только старшего разряда, например: 2080 : 52=40; 30800 : 44 = 700; 213000 : 71 = = 3000.

Потом даются примеры на деление трехзначных чисел без остатка и с остатком, когда цифра частного находится в результате одной и более проб, например: 514 : 76. Задача этой ступени состоит в том, чтобы ученики овладели приемами проверки цифры частного.

Можно отметить еще один случай деления трехзначных чисел (без остатка и с остатком), когда в частном получается двузначное число и когда в первом неполном делимом две цифры, а во втором три, например:

После того как все варианты, которые встречаются при решении многозначных чисел, рассмотрены каждый в отдельности, можно переходить к делению сначала четырех-, затем пяти- и шестизначных чисел. При этом на каждой ступени вначале берутся общие случаи деления без остатка, затем - с остатком. Полезно следить за тем, чтобы в неполных делимых было и две и три цифры. Все намеченные выше ступени деления на двузначное число надо понимать так, что наряду с новыми примерами решаются вперемежку и старые примеры.

Заметим также, что в процессе изучения деления многозначных чисел важно развивать самостоятельность, смекалку, творчество наших учеников. Особенности некоторых примеров часто наталкивают детей на использование более рациональных приемов, чем те, которыми они обычно пользуются.

Методика изучения деления на трехзначное число аналогична делению на двузначное число.

Как мы видим, на всех этапах изучения письменного деления используется прием деления суммы на число и сохраняется один и тот же порядок деления:

образование неполного делимого;

нахождение цифры частного;

умножение с целью узнать, сколько единиц соответствующего разряда уже разделили и

вычитание с целью узнать, сколько единиц соответствующего разряда не разделили.

Но указанные четыре операции в разных условиях выполняются по-разному. Поясним это на нахождении цифры частного.

При делении на однозначное число цифру частного находят сразу, без проб, пользуясь табличными случаями деления.

При делении на круглые десятки.и круглые сотни предпочтительно пользоваться приемом последовательного деления. Цифру частного и здесь находят сразу, без проб.

При делении на двузначное и трехзначное число для нахождения цифры частного пользуются приемом замены делителя круглым числом. Цифру частного как пробную в этом случае приходится проверять.

Стабильность порядка применения четырех указанных операций и изменчивость самих операций в разных условиях и составляют особенности письменного деления.

Ученикам следует дать определения действий: определение вычитания как действия на нахождение одного из двух слагаемых по их сумме и другому слагаемому; умножения как нахождения суммы одинаковых слагаемых; деления как нахождения одного из двух сомножителей по произведению и другому сомножителю. Действие сложения не определяется, а поясняется на операциях с множествами.

Новейшие исследования в области методики начального обучения математике позволяют утверждать, что ученикам начальной школы доступны основные понятия, относящиеся к законам и свойствам арифметических действий. Имеется возможность ввести формулировки и запись в общем виде переместительного закона сложения и умножения, сочетательного закона этих действий и распределительного закона умножения. Наряду с этим могут быть сформулированы следующие правила: вычитания суммы из числа и числа из суммы; прибавления числа к разности и разности к числу; вычитания разности из числа и числа из разности; умножения числа на разность; деления суммы на число и деления числа на произведение.

Зависимость между компонентами арифметических действий и их результатом.

Изучение зависимости между компонентами арифметических действий и их результатом повышает теоретический уровень знаний школьников, помогает им глубже понять смысл каждого действия, взаимосвязь между прямыми и обратными действиями, обогащает их математическую речь.

Ученик должен видеть, что каждое изучаемое им свойство можно использовать на практике, поэтому знание этих зависимостей должно найти сразу же приложение к проверке арифметических действий.

Кроме того, знание этих зависимостей может быть использовано для решения простейших уравнений, в которых неизвестный компонент Действия обозначается сначала знаком вопроса, а потом буквой х. Наконец, нахождение неизвестного компонента арифметического действия надо связать с решением и составлением простых задач, обратных данным.

Основным методом изучения этого вопроса является индуктивный метод. Ученики приходят к определенным выводам на основе целесообразно подобранных и составляемых самими детьми примеров и задач. Разумеется, что, усвоив зависимость между компонентами действий и их результатом и применяя ее к проверке действий или к нахождению неизвестного компонента, учащиеся идут уже от общего к частному, то есть дедуктивным путем.

Опыт передовых учителей показывает, что изучение зависимости между компонентами действий целесообразно начинать в I классе и заканчивать в третьем.

В первом классе изучение этого вопроса начинается с решения примеров вида:

4 + ? = 6 + 3 = 5 12 - ? = 3 ? - 4 = 16

x 2 = 8 6 x = 18 14 : ? = 7 12 : = 3

Дети знакомятся с этой зависимостью пока без сообщении. Такие примеры предлагаются в разнообразной форме, в том числе и в занимательной, например в форме загадок: «Я задумал число и прибавил к нему 5, после чего у меня получилось 8. Какое число я задумал?»

Эти упражнения вначале иллюстрируются на плакатах, наглядных пособиях.

Как показывает опыт, детям I класса доступно решение задач, в которых требуется найти неизвестный компонент Действия. Например, «У мальчика было 6 тетрадей. После того как он купил еще несколько тетрадей, у него стало 11 тетрадей. Сколько тетрадей купил мальчик?»

Дети первого класса находят неизвестный компонент действия, пользуясь знанием состава числа, а задачи решают на основе простейших рассуждений.

Во втором классе, решая примеры с X, дети сами подмечают правила нахождения неизвестного числа х в таких уравнениях, как X ± а = Ь; а ± X = b. В третьем классе эти правила формулируются, закрепляются и применяются к решению более сложных примеров и задач.

Нахождение неизвестного слагаемого

Рассмотрим методы и приемы нахождения неизвестных компонентов в каждом арифметическом действии.

К нахождению неизвестного слагаемого можно подвести учащихся путем решения соответствующих примеров или путем преобразования задачи с известными слагаемыми в обратные задачи. Лучше избрать первый путь, начав с устного решения примеров вида: Сколько надо прибавить к 42, чтобы получить 60? К. какому числу надо прибавить 15, чтобы в сумме получить 50? Такие упражнения затем предлагаются в форме 32 + X = 40; X + 25 = 70. На наборное полотно можно поставить известнее слагаемое и сумму. Буква х пишется на листочке бумаги или картона, на обороте которого дан ответ.

После устного решения листок поворачивается обратной стороной и тем самым проверяется правильность решения.

64 + = 90 (первоанчальное положение)

64 + = 90 (проверка решения)

Решение примеров сопровождается их анализом с помощью вопросов: Как называются числа при сложении? Что было известно в данном примере? Что неизвестно? Каким действием мы нашли неизвестное слагаемое?

После нескольких упражнений ученики второго класса могут самостоятельно сделать вывод о способе нахождения неизвестного слагаемого. Ученики сами составляют и решают составленные примеры на нахождение неизвестного слагаемого, убеждаясь при этом, что сумма должна быть больше известного слагаемого или равна ему.

Задачи на нахождение неизвестного слагаемого решаются учениками на основе рассуждения. Не исключена, однако, возможность решения этих задач и при помощи уравнений.

В третьем классе упражнения могут включать примеры как с отвлеченными, так и с именованными числами. Можно, например, раздать ученикам карточки с группой примеров: Первое слагаемое Второе слагаемое

Первое слагаемое Второе слагаемое Сумма

4736

X

3ц 86кг X

5м 37см

X 10100

8м 12см

10т

При реешнии примеров, содержащих Х, запись можно оформить следующим образом:

X + 216 = 538

538 - 216 = 322

X = 322

Некоторые примеры решаются с проверкой, при этом запись имеет следующий вид:

246 + Х = 570 Проверка:

570 - 246 = 324 246 + 324 = 570

Х = 324

В качестве самостоятельной работы можно предложить ученикам составлять и решать свои примеры, в том числе и такие, которые связаны с порядком выполнения арифмитических действий. Например:

Х + 48 х 21 = 17400 21518 : 203 + Х = 500

Полезно включать и задания на составление уравнений, в которых неизвестное слагаемое обозначается буквой х. Например: Какое число надо прибавить к 675, чтобы в сумме получить 4327? К какому, числу надо прибавить 759, чтобы в сумме получить 2156? Какое число надо прибавить к 65, чтобы в сумме получить 65?

Если введен термин уравнение, то эти задания даются в виде предложения сначала составить уравнение, а потом решить его, то есть найти неизвестную величину.

Следует подвести учеников к выводу, что умение находить неизвестное слагаемое по сумме и другому слагаемому позволяет проверить правильность выполнения сложения при помощи вычитания. Этот вывод дети могут сделать самостоятельно. Примеры для решения с проверкой даются более трудные с отвлеченными и именован' ными числами.

К нахождению неизвестного слагаемого можно подойти и при помощи задач, как это сделано, например, в учебнике для IV класса.

3адача № 567. Запишите решение следующих задач:

Школьники посадили в первый день 60 деревьев, во в/парой день- 80 деревьев. Сколько деревьев посадили школьники за 2 дни?

За 2 дня школьники посадили 140 деревьев, из них в первый день - 60 деревьев. Сколько деревьев посадили школьники во второй день?

За 2 дня школьники посадили 140 деревьев, из них во второй день - 80 деревьев. Сколько деревьев посадили школьники в первый день? Каким действием во второй и третьей задачах находятся слагаемые, данные в первой задаче?

На основании этих задач делается вывод о способе нахождения неизвестного слагаемого. Такой путь возможен, но он недостаточно эффективен, так как за текстом задач ученикам трудно обнаружить, что требуется найти неизвестное слагаемое и каким способом оно находится. Поэтому лучше сделать вывод на основе решения примеров, как это показано выше.

Однако такие задачи полезно решать уже после того, как изучена зависимость между слагаемыми и суммой, причем решению задач надо придать иной характер. Не следует предлагать все три задачи подряд. Решив первую задачу, устанавливается, каким действием она была решена, что было известно и что надо было найти. Затем предлагается ученикам составить две обратные задачи, выяснить, что теперь известно, что требуется найти и каким действием отыскивается неизвестное слагаемое.

Нахождение неизвестного уменьшаемого

При изучении вопроса нахождения неизвестного уменьшаемого используют методы и приемы, аналогичные тем, какие применялись при нахождении неизвестного слагаемого. Сначала предлагают вопросы: От какого числа надо отнять 15, чтобы получить (или чтобы осталось) 40? Какое число надо уменьшить на 30, чтобы получить 20? Какое число на 50 больше, чем 70?

Затем решают примеры типа: X - 16 = 24; X - 45 = 40. При этом устанавливается, какое действие в этих примерах; повторяется название компонентов вычитания; устанавливается, что в этих примерах известной что не известно; каким действием находится неизвестное уменьшаемое. После решения нескольких аналогичных примеров дети без труда сами формулируют правило нахождения неизвестного уменьшаемого.

Далее решают задачи на следующее правило. Например: На клумбе росли астры. Дети срезали для букета 6 астр; после этого на клумбе осталось 8 астр. Сколько астр было на клумбе вначале?

Такие задачи решают сначала на основе рассуждений: «На клумбе росли астры, которые срезали, и те, которые остались. Значит, на клумбе росли 6 астр плюс 8 астр, а всего 14 астр». Затем детей учат записывать кратко условие задачи, обозначая неизвестное число через х. Наконец, решаются уравнения вида: х - 15 = 23; а - 50 = 20.

В 3 классе закрепляется знание правила нахождения неизвестного уменьшаемого и умение применять его к решению примеров (уравнений) как с отвлеченными, так и с именованными числами.

Некоторые примеры ученики составляют самостоятельно. Если решение уравнений сопровождается проверкой, то записи располагаются так:

Среди примеров на нахождение неизвестного уменьшаемого могут иметь место и более трудные, как-то: X - 83 x 46 = 10 000; X - (537 + 879) = 4712; X - 19 778 : 341 = 400; X - 20 = 0; X - 63 x 86 = 8516 + 3475.

Кроме того, полезно предложить ученикам записать в виде уравнения следующие вопросы:

От какого числа (или от какого неизвестного числа) надо отнять 264, чтобы получить 359?

Какое число надо уменьшить на 743, чтобы получить 847?

Какое число на 428 больше числа 932?

Правило проверки вычитания при помощи сложения дети смогут вывести самостоятельно на основе подготовительных примеров:

При решении примеров на вычитание с проверкой сложением следует подбирать более трудные примеры с отвлеченными и именованными числами. Это будет убедительным для учащихся доказательством полезности проверки. Можно указать примерно такие упражнения:

400 100 - 75 847;

6 км 47 м - 4 км 158 м.

Знание правила нахождения неизвестного уменьшаемого применяется и при решении задач. Например: После того как мальчик заплатил за книжку 37 коп., у него осталось 13 коп. Сколько денег было у мальчика до покупки?

Во втором классе такие задачи решают на основе рассуждения.

В третьем классе их можно уже решать с помощью уравнения, которое составляется по условию задачи: Х - 37 = 13.

Разумеется, что задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого могут быть усложнены, как, например, задача №598 (учебник IV класса, изд. 1964 г.): Сельскохозяйственное предприятие заготовило на зиму сено. Когда 3780 ц сена израсходовали, осталось на 1804 ц больше, чем израсходовали. Сколько центнеров сена было заготовлено?

Нахождение неизвестного вычитаемого.

Нахождение неизвестного вычитаемого несколько труднее, чем нахождение неизвестного уменьшаемого. Сами задачи на нахождение неизвестного вычитаемого более трудны для ученика начального класса.

Чтобы подвести учеников к правилу нахождения неизвестного вычитаемого, можно использовать несколько методических приемов, начиная с простейших.

Первый прием. Рассмотрим равенство: 8 - 3 = 5. Допустим, что. нам неизвестно уменьшаемое X - 3 = 5. Как его найти? Детям известно, что для этого нужно к 3 прибавить 5 (3 + 5).

А если неизвестно вычитаемое 8 - X = 5. Как его найти? Учитель обращает внимание учащихся на то, что 8 - это сумма 3 и 5: 8 = 3 + 5. А известно, что если от суммы двух чисел отнять одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Следовательно, 8 - 5 = 3. Как мы получили 3? От 8 отняли 5.

Найдем неизвестное число (вычитаемое) в другом примере: 15 - X = 9.

Рассуждаем: в числе 15 содержится 9 и другое неизвестное число. Чтобы найти его, отнимаем от 15 число 9: 15 - 9 = 6. Получим 6. Проверим: 15 - 6 = 9. Следовательно, X = 6.

Второй прием. Решим задачу: У Володи 9 карандашей. Когда он исписал несколько карандашей, у него осталось 5 карандашей. Сколько карандашей исписал Володя? Изобразим условие задачи на рисунке:

Было всего 9 карандашей

Исписали Х осталось 5

карандашей карандашей

Запишем кратко условие этой задачи, обозначив искомое число через Х:

9 - X = 5.

Из рисунка видно, что достаточно от 9 отнять 5, чтобы ответить на вопрос - сколько карандашей исписано. Решение этой задачи можно было бы проиллюстрировать и на предметных наглядных пособиях (на карандашах). После подготовительных упражнений можно перейти к решению записанных на доске примеров в такой форме:

46 - X = 28; 75 - X = 37.

После решения нескольких примеров с именованными и отвлеченными числами переходят к формулировке правила нахождения неизвестного вычитаемого. При решении примеров некоторые из них сопровождаются проверкой.

Запись оформляется так:

Для закрепления решают примеры с отвлеченными и именованными числами; например: 20406 - X - 5849; 300100 - X = 78217; 6007 - X = 9. Некоторые упражнения можно предложить и в такой форме.

Подберите число х такое, чтобы 78 - X равнялось 31. Составьте прежде уравнение.

Решить уравнение и проверить ответ: 420 - X = 175.

Составить и решить задачи к уравнениям: 72 - X = 56; 81 - X = 48.

Способ проверки вычитания при помощи вычитания могут учащиеся вывести самостоятельно на основе анализа следующих записей:

Аналогичные примеры составляют и решают сами учащиеся. Учитель может дать задание на составление и таких примеров, которые связаны с порядком выполнения арифметических действий: 67 х 48 - X = 1643; 3922 : 37 - X = 51.

Правило нахождения неизвестного вычитаемого закрепляется путем решения соответствующих задач, например: Фабрика получила заказ 1675 пальто. После того как часть заказа была выполнена и отправлена заказчикам, осталось еще сшить 780 пальто. Сколько пальто уже доставлено?

Перед решением ученики составляют по условию задачи уравнение: 1675 - X = 780, которое решается на основе знания зависимости между компонентами вычитания.

Зависимость между компонентами сложения и вычитания лучше изучать тогда, когда заканчивается изучение вычитания, но подготовительная работа ведется задолго до этого.

Зависимость между сомножителями и произведением

Подготовка к изучению вопроса о зависимости между сомножителями и произведением проводится уже во II классе в связи с изучением таблицы умножения и табличного деления. Нахождение неизвестного сомножителя начинается с устного решения примеров.

Какое число надо умножить на 5, чтобы получить 40?

Во сколько раз надо увеличить 20, чтобы получить 80?

В дальнейшем решаются примеры вида:

Х х 15 = 75 30 х Х = 90

75 : 15 = 5 90 : 30 = 3

Х = 5 Х = 3

На основе решения таких примеров и задач, выраженных в косвенной форме, выводится правило нахождения неизвестного сомножителя по произведению двух сомножителей и одному известному сомножителю.

В III классе эта работа углубляется, во-первых, за счет решения примеров за пределами сотни и, во-вторых, за счет решения нового вида примеров:

Подберите такое значение буквы а, при котором верны будут, равенства: 24 х а = а; 20 х а = 20 и т, д.

Решить уравнения и проверить ответ: 18 х Х = 72; Х х 40 = 800.

Сторона квадрата а. Сумма всех его сторон составляет 60 м. Найти сторону квадрата. Условие записать в виде уравнения.

Следующие вопросы записать в виде уравнений, обозначив неизвестный сомножитель буквой х, и решить их:

Какое число надо умножить на 73, чтобы получить в произведении 1971?

На какое число надо умножить 86, чтобы произведение равнялось 17802?

Какое число, будучи увеличено в 91 раз, дает в произведении 9191?

Можно использовать этот материал для нахождения неизвестного сомножителя в задачах, которые связывают между собой пропорциональные величины: цену и количество со стоимостью; скорость и время с пройденным расстоянием; площадь и урожай с 1 га с общим сбором; количество поездок и грузоподъемность одной единицы с общим весом перевезенного груза и т. д. Но к этим задачам надо вернуться после изучения зависимости между компонентами деления; тогда их решение будет полнее.

Зная, что один из двух сомножителей равен произведению, деленному на другой сомножитель, ученики без труда сформулируют способ проверки умножения при помощи деления.

Этому выводу может предшествовать решение примеров с записью в таком виде:

Полезно давать ученикам задания самим составить примеры: придумайте два трехзначных числа с нулем в середине, найдите их произведение и проверьте решение при помощи деления.

Зависимость между компонентами деления

Нахождение неизвестного делимого или делителя изучается примерно в таком же плане, какой нами показан для других действий, при этом надо иметь в виду известные трудности при изучении способа нахождения делителя. Скачала идет устное решение примеров, затем такие же примеры даются с обозначением неизвестного компонента буквой X. Некоторые примеры решаются с проверкой.

В порядке усложнения можно дать на нахождение неизвестного делимого примеры следующих видов: X : аЬ = с; X : (а + Ь) = с; X : (а : b) = с; X : а = bс; X : а = Ь : с; X : а = Ь + с.

Аналогичны примеры и для нахождения неизвестного делителя. Эти примеры задаются на числовом материале.

Первоначальная связь между делимым, делителем и частным устанавливается во II классе при изучении таблиц умножения и деления. Например: рассмотрите равенство: 48 : 6 = 8. Замените в нем число 6 буквой х и ответьте на вопрос: как найти неизвестный делитель?

Ученикам III класса могут быть предложены примеры на составление уравнений.

Записать следующие вопросы в виде уравнений, обозначив неизвестное делимое буквой х, и решить их:

Какое число надо разделить на 96, чтобы получить в частном 405?

Какое число надо уменьшить в 32 раза, чтобы получить в частном 302?

Какое число в 100 раз больше 100?

В каком числе 208 содержится 150 раз?

Какое число при делении на. 48 дает в частном 72?

Записать следующие вопросы в виде уравнений, обозначив не известный делитель буквой х, и решить их:

Во сколько раз надо уменьшить число 119 544, чтобы получить число 586?

На сколько равных частей надо разделить число 55 120, чтобы в каждой части получить по 52?

Учащиеся должны самостоятельно составлять и решать составленные ими уравнения, причем при составлении последних уравнений они убедятся, что не при всяком делителе мы получим частное без остатка

Когда изучена зависимость между компонентами и результатом действия как умножения, так и деления, тогда полнее раскрывается зависимость между пропорциональными величинами, и ученики могут решать примеры и задачи, заданные, в частности, в форме таблиц Цена Количество Стоимость

a

x

a x

a

a b

b

x

В заголовках таблиц могут быть поставлены и другие величины. : К выводу способа проверки деления при помощи умножения или Деления нужно подготовить учащихся при помощи следующих упражнений:Делимое

3048 :

: Делитель

127 =

= Частное

24 Проверка

127 x 24 = 3048

Делимое

8736 :

: Делитель

104 =

= Частное

84 Проверка

8736 : 84 = 104

Полезно некоторые примеры как на деление, так и на другие действия проверять двумя способами. Можно части учеников поручить проверку одним способом, а остальным - другим способом.

Сложнее объяснить нахождение неизвестного делимого при делении с остатком. После устного решения нескольких примеров на деление с остатком можно начать объяснение с решения задачи: Привезли 130 книг. На каждой полке этажерки можно поставить по 24 книги. Сколько полных полок займут книги и сколько книг остается?

Решение: 130 : 24 = 5 (остаток 10).

Делимое Делитель Частное

Составим обратную задачу: Привезенные книги расставили на этажерку, на которой было 5 полок, На каждую полку ставили по 24 книги. После того как заполнили всю этажерку, осталось еще 10 книг. Сколько привезли книг?

24 х 5 + 10 = 130

Делитель Частное Остаток Делимое

Сравнивая решение прямой и обратной задачи, можно сделать вывод о способе нахождения делимого при делении с остатком, причем устанавливается сходство и различие в способе нахождения делимого при делении без остатка и с остатком. Затем решаются примеры вида: х : а = b (ост. к). В дальнейшем эти примеры могут быть предложены в словесной форме.

Какое число при делении на 48 дает в частном 51 и в остатке 32?

Найти делимое, ясли делитель равен 75, частное 64, остаток 14. Этим заданиям можно придать форму задач на составление уравнения:

Запишите неизвестное делимое буквой х и решите уравнение: какое число при делении на ... дает в частном ... а в остатке ...

Ученики сами составляют аналогичные примеры, при этом надо обратить их внимание на произвольность выбора делителя и частного, но остаток должен быть меньше делителя.

Когда изучен способ нахождения неизвестного делимого при делении с остатком, следует его применить к проверке соответствующих случаев деления. Наконец, можно применить изученный способ нахождения делимого к решению задач, например:

Поставленные 515 кг абрикосов уложили поровну в 64 ящика. Сколько килограммов вмещал каждый ящик и сколько килограммов абрикосов осталось? Интересно поставить вопрос: А сколько понадобится ящиков вместимостью по 10 кг каждый и сколько в этом случае абрикосов останется?

Итак, изучение зависимости между компонентами арифметических действий и результатом действий дает богатый материал для математического развития детей и открывает широкие возможности для их самостоятельной, творческой работы.

Изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов

Вопрос об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения данных имеет большое значение: он тесно связан с постепенной подготовкой детей к усвоению понятия функции, которое играет важную роль в современной математике. С понятием функциональной зависимости ученики сталкиваются с самого начала обучения арифметике, уже в I классе при изучении таблицы сложения, где сумма чисел является функцией слагаемых. На это надо обращать внимание детей, составляя с ними таблицу сложения. Так, составив таблицу прибавления единицы к числам первого десятка

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

нужно обратить внимание детей на то, что в этой таблице результаты последовательно увеличиваются на единицу (2, 3, 4 ...), и поставить это увеличение в зависимость от увеличения первого слагаемого.

Для этой же цели должна быть использована и таблица умножения. Так, составив таблицу умножения числа 3, полезно рассмотреть с учениками, как изменяются произведения в зависимости от изменения множителя:

3 х 2= 6

3 х 3= 9

3 х 4 = 12

Сравнивая, например, произведения первой и третьей строк - 6 и 12, дети заметят, что 12 больше 6 в 2 раза. Это увеличение недопоставить в связь с увеличением в 2 раза множителя: 4 больше 2 в 2 раза.

В последующих классах хорошим материалом для иллюстрации изменения произведения в зависимости от изменения данных является зависимость площади прямоугольника от длины его сторон, объема прямоугольного параллелепипеда от длины его сторон, числового значения величины от принятой единицы измерения.

Заслуживает внимания система подготовительных упражнений, разработанная доцентом Ленинградского пединститута им. Герцена М.А. Байтовой. Эта система направлена на подготовку учеников I - III классов к усвоению изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов. Приведем ее здесь полностью.

В нашем опыте, - пишет М. А. Бантова, - предлагались с этой целью такие пары примеров, которые позволяют предвидеть, в котором из них ответ будет больше или меньше и на сколько больше или меньше.

Приведем несколько пар примеров для каждого класса.

В I классе уже при изучении первого десятка предлагаются детям пары примеров на сложение и вычитание, до решения которых ученик устанавливает, в котором из них ответ будет больше (меньше) и почему. Вот эти пары примеров:

4 + 3 5 + 3 8 - 2 8-5

4 + 5 2 + 3 6 - 2 8 - 3

Во II классе задания усложняются. Например, к паре примеров:

30 + 14

30 + 12

Учитель предлагает такие вопросы:

В котором примере ответ больше? Почему?

На сколько больше ответ первого примера, чем второго?

Найдите ответ первого примера.

Найдите ответ второго примера, используя ответ первого.

Аналогичные вопросы ставятся к следующим парам примеров:

37 + 18 15 + 24 40 - 8 61 - 7 70 - 12 81 - 9

42 + 18 15 + 19 42 - 8 58 - 7 70 - 8 81 - 15

Во II классе даются пары примеров на умножение. До решения этих примеров учащиеся также устанавливают, в котором примере ответ больше и на сколько больше. При этом надо исходить из определения произведения как суммы одинаковых слагаемых. Так, для пары примеров 12 х 3 надо установить, в котором из них ответ 12 х 4 больше и на сколько больше. Учитель предлагает записать каждый пример в виде суммы одинаковых слагаемых:

12 х 3 = 12 + 12 + 12;

12 х 4 = 12 + 12 + 12 + 12

Теперь легко установить, на сколько ответ второго примера больше, чем первого.

Такие же вопросы ставятся к следующим парам примеров:

8 х 6 7 х 4 15 х 4 8 х 12 14 х 3

8 х 7 7 х 6 15 х 3 7 х 12 14 х 5

В III классе предлагают пары примеров, аналогичные рассмотренным, но с многозначными числами. Кроме того, в этом классе полезно предлагать задания, обратные по отношению к рассмотренным, например:

18 + П(кв) = 40

18 + П(кв) = 48

Учитель предлагает вопросы:

В котором примере второе слагаемое больше и почему?

На сколько больше?

Чему равно второе слагаемое в первом примере?

Найдите второе слагаемое во втором примере, используя первый пример.

Такие же вопросы ставят и при решении следующих пар примеров:

П + 140 = 380 П + 390 = 600 П -60=180

П + 140 = 320 П + 480 =600 П - 60 = 240

360 - П = 80 860 - П = 580 П - 70 = 340

360 - П =120 740 - П =580 П - 90 = 340

Приведем несколько пар примеров на умножение.

356 х 8 870 х 33 86 х 15 58 х 14 81 х 12 68 х 18

356 х 9 870 х 32 87 х 15 57 х 14 81 х 14 68 х 16

35 х 3 + 35 х 7 89 х 9 + 89 95 х 99 + 95

35 х 3 + 35 х 6 89 х 10 95 х 100 - 95

63 х 15 76 х 11 32 х 17

63 х 10 + 63 х 5 76 х 12 - 76 32 х 20 - 32 х 3.

Такого рода упражнения дают учащимся хорошую подготовку к усвоению точных формулировок, в которых находит свое выражение изменение результатов действий в зависимости от изменения данных».

В старших классах начальной школы знания учеников по этому вопросу приводят в систему: им предлагают числовые примеры, они наблюдают их, изменяют числа, сравнивают данные с результатами и делают выводы.

Приведем примеры такой работы.

При изменении суммы сначала показывается, что каждая единица, прибавленная к слагаемому, входит в сумму:

15 + 5 = 20

16 + 5 = 21

После этого рассматривается изменение суммы от прибавления к слагаемому нескольких единиц, от вычитания из одного слагаемого сначала одной, потом нескольких единиц, от одновременного увеличения одного слагаемого и уменьшения другого слагаемого на одинаковое число единиц, например:

14 + 6 = 20;

12 + 8 = 20.

Каждая пара примеров подробно разбирается и после этого делаются выводы:

Если слагаемое увеличить на несколько единиц, то и сумма увеличится, на столько же единиц.

Если слагаемое уменьшить на несколько единиц, то и сумма уменьшится на столько же единиц.

Если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится.

Эти выводы применяются на практике в устных вычислениях, когда приходится одно или оба слагаемых округлять, а также при решении задач.

После выводов учащиеся и сами составляют примеры, иллюстрирующие изменение суммы в зависимости от изменения слагаемых.

Аналогичную работу проводят и по изучению изменения разности в зависимости от изменения уменьшаемого и вычитаемого. Нужно учитывать, что характер изменения разности в зависимости от изменения вычитаемого усваивается учащимися не без труда, поэтому выводы, делаемые на основе числовых примеров, надо подкреплять фактами и примерами из жизни.

Изменение произведения рассматривают в зависимости от увеличения и уменьшения сомножителей в несколько раз. Сначала рассматривают и анализируют три пары примеров, в -которых изменяется множимое:

1) 8 х 5 = 40 2) 4 х 3 = 1.2 3) 12х.2 = 24

16 х 5 = 80 20 х 3 = 60 36 х 2 = 72

На основе рассмотрения этих примеров делается вывод:

Если множимое увеличить в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

Дальше рассматриваются случаи изменения произведения в связи с уменьшением множимого в несколько раз:

1)10 х 4 = 40 2)12 х 6 = 72 3)24 х 2 = 48

5 х 4 = 20 4 х 6 = 24 6 х 2 = 12

На основе наблюдения и анализа этих примеров делается вывод: если множимое уменьшить в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

Следующий этап работы: изменение множителя, сначала увеличение, а потом уменьшение в несколько раз - и формулировка соответствующих выводов. Выводы закрепляются путем решения вопросов и задач.

Примеры вопросов:

Множимое 20, множитель 5; найти произведение. Каково будет произведение, если множимое увеличить в 3 раза? Если множитель увеличить в 4 раза?

Множимое увеличено в 5 раз. Что сделается с произведением? Множитель уменьшен в 2 раза. Что сделается с произведением?

Пример задачи. Два самолета вылетели с аэродрома. Один из них пролетел 1200 км. Сколько, километров пролетел за то же время другой самолет, если его скорость была вдвое больше?

При решении этой задачи учащиеся рассуждают так: сравним скорости первого и второго самолетов. Скорость второго самолета в 2 раза больше скорости первого. Значит, множимое во втором случае в 2 раза больше множимого в первом случае. А если множимое больше в 2 раза, то и произведение, или расстояние, тоже в 2 раза больше.

Вторая задача. За несколько тетрадей ученик заплатил 36 коп. Сколько денег заплатит ученик, если купит по той же цене в 3 раза больше тетрадей? В этой задаче множитель увеличен в З раза, а значит и произведение, то есть стоимость, будет в 3 раза больше.

Изменение частного рассматривается в том же плане, как и изменение произведения. Сначала изучается изменение частного в зависимости от увеличения и уменьшения делимого. Объяснение дается на задачах, а потом и на примерах.

Задача. Обыкновенный пассажирский самолет пролетел за 4 часа 1600 км. Реактивный самолет за то же время пролетел 3200 км. Во сколько раз больше километров пролетел второй самолет, чем первый, в 1 час?

1600 км : 4 = 400

3200 км : 4 = 800

Сопоставляя обе строки, ученики устанавливают, что во второй строке делимое больше в 2 раза, поэтому и частное больше в 2 раза. Изменение частного поясняется и на примерах:

1) 15: 5= 3 2) 21 : 7 =3

90 : 5 = 18 63 : 7 = 9

На основе анализа задачи и примеров делается вывод: Если делимое увеличить в несколько раз, то и частное увеличится во столько же раз.

Учащиеся сами составляют по 2 - 3 примера, подтверждающие это положение.

В таком плане рассматриваются задачи и примеры на уменьшение делимого и делается вывод: если делимое уменьшить в несколько раз, то и частное уменьшится во столько же раз.

Сложнее обстоит дело с изменением частного в зависимости от изменения делителя. На этом случае изменения следует остановиться более подробно, дать больше иллюстраций и жизненных примеров.

Для выяснения этой зависимости может служить следующая задача: Один мальчик разложил 12 карандашей в 2 коробки, другой- в 4 коробки. У которого мальчика в коробке карандашей будет меньше и во сколько раз? Решение этой задачи записывается в две строчки:

12 : 2 = 6

12 : 4 = 3

Выясняется, что делитель во втором примере увеличен в 2 раза, поэтому частное уменьшилось в 2 раза. Такая зависимость подтверждается и на других примерах и задачах.

Полезно проиллюстрировать это положение на чертеже: взять 2 равных отрезка в 12 см каждый и разделить первый отрезок на 3 части, а второй на 6 частей. Отсюда следует вывод: если делитель увеличить в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз.

На аналогичных примерах и задачах объясняется увеличение частного при уменьшении делителя.

Нетрудно видеть, что все эти упражнения являются прекрасным материалом для накопления у детей функциональных представлений и развития функционального мышления.

Урок 20. Закрепление знания таблицы умножения на 3.

Работа над новым материалом.

Упражнение 1 можно выполнить устно под руководством учителя: Рассмотрим I столбик в таблице. Что записано в первой строке? Что записано во второй строке? Что записано в третьей строке? Известно ли произведение? Каким действием находят произведение? По I столбику таблицы составьте пример на умножение. Первый множитель 8, второй множитель 3, найти произведение. Назовите произведение. Теперь назовите следующий пример и результат.

Упражнение 2 выполнить устно.

Далее организовать повторение таблицы умножения трех и на 3: учитель читает вразбивку примеры из таблиц, а дети показывают результаты с помощью карточек с цифрами или записывают ответы.

Работа над пройденным материалом.

Устные упражнения:

1) Решить следующие цепочки примеров:

2) Решить задачу: Длина аллеи 90 метров. Девочка прошла несколько метров, и ей осталось пройти 50 метров. Сколько метров прошла девочка?

В целях подготовки к ознакомлению с делением выполнить упражнение 3. Как и на предыдущих уроках, ученики раскладывают предметы, например кружки, либо выполняют схематический рисунок с точками, после чего находят путем счета ответ на поставленный вопрос.

Для самостоятельной работы предложить упражнения 5, 6 и 4.

Урок 21. Ознакомление с действием деления на примере задач на деление «по содержанию».

Работа над новым материалом.

На этом уроке надо показать детям, что с помощью деления решают такие задачи, в которых несколько предметов раскладывают, раздают, делят поровну - по 2, по 3 и т. д. и находят, сколько раз в общем числе предметов содержится по 2, по 3 и т. д. таких предметов.

Учитель кладет на стол 8 открыток, а у детей на партах по 8 квадратов. Объяснение можно провести так:

Решим задачу: 8 открыток поместили в альбом, по 2 открытки на страницу. Сколько страниц заняли эти открытки? У меня на столе 8 открыток и альбом. Сережа будет раскладывать эти открытки, по 2 открытки на страницу, а остальные будут раскладывать на партах 8 квадратов, по 2 квадрата. Объясняй, Сережа. Возьму 2 открытки и положу их на первую страницу альбома. Беру еще 2 открытки и кладу их на вторую страницу. Учитель останавливает ученика и спрашивает: Сколько всего раз ты сможешь взять по 2 открытки? Покажи. Ученик показывает и отвечает: 4 раза.

Полезно, чтобы еще кто-либо из детей повторил, сколько раз в 8 открытках содержится по 2 открытки. Сколько же страниц будет занято в альбоме? 4 страницы. Учитель поясняет, что такие задачи решаются действием деления. Решение записывается так:

8 : 2 = 4.

Ответ: 4 страницы.

Две точки - знак деления. Запись читают так: 8 разделить на 2, получится 4. Повторите, как читают запись.

Для первичного закрепления ученики читают задачу на странице 146 и объясняют ее решение по схематическому рисунку, данному в учебнике.

После чтения упражнения 1 дети выполняют иллюстрацию: рисуют 12 кружков и, отделяя черточками по 3 кружка, выясняют, сколько раз в 12 кружках содержится по 3 кружка. После этого называют действие, которым решается задача, и дают ответ на ее вопрос: Сколько учеников получили кружки? 4. Решение записывают на доске и в тетрадях.

Работа над пройденным материалом.

Устные упражнения:

1) Решить примеры вида 3 • 8 - 7, 9 • 3 + 6, (15 - 6) • 2

2) Заполнить пустые клетки таблицы: Уменьшаемое 58 58 58 58 58 58 58 58

Вычитаемое 50 40 10 9 8 7 3 0

Разность ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Эту таблицу надо записать на доске. Дети называют, что известно и что надо узнать, находят значения разности, а учитель записывает их в таблице, затем прослеживают, как изменяется разность, если уменьшаемое не изменяется, а вычитаемое уменьшается.

3) Решить задачу:

В параде участвовало 5 звеньев самолетов, по 3 самолета в звене. Сколько самолетов участвовало в параде?

Для самостоятельной работы предложить упражнения 2 - 4.

Урок 22. Ознакомление с приемом деления.

Работа над новым материалом.

На этом уроке надо научить детей находить частное, используя предметы, и продолжить работу по решению задач на деление. Объяснение можно провести так:

Прочитайте пример 12 : 4. Надо узнать, сколько получится, если 12 разделить на 4. Найдем результат с помощью кружков. Отсчитайте 12 кружков. Что теперь надо сделать? Разложить кружки по 4, поровну. Разложите. Сколько раз по 4 получилось? 3. Запишем: 12 : 4 = 3.

Для первичного закрепления надо выполнить упражнение 1 под руководством учителя:

Читайте первый пример. Рассмотрите рисунок, найдите, сколько получится, и объясните, как вы нашли результат. Получится 2. Здесь 8 кружков разложили в ряды, по 4 кружка в каждый, получилось 2 раза по 4 кружка, значит, получится 2.

Так же решить другие примеры.

Упражнение 2 ученики выполняют устно. Они находят результаты с помощью иллюстраций, например раскладывают 12 треугольников по 4 треугольника и находят ответ счетом: в 12 треугольниках содержится по 4 треугольника 3 раза или в 15 квадратах содержится по 4 квадрата 3 раза и еще остается 3 квадрата.

Так же устно ученики решают задачи из упражнения 3. Берут 5 предметов, например 5 кружков, раскладывают их по 2 и считают, сколько раз получилось по 2 кружка и сколько кружков осталось; получают ответ. Так же поступают при решении второй задачи.

Записывать деление с остатком и вводить здесь этот термин не стоит. Достаточно, чтобы дети увидели, что не всегда можно разложить, разделить, раздать какое-то число предметов поровну.

Работа над пройденным материалом.

Устные упражнения:

1) Решить примеры на умножение с числами 2 и 3.

2) Решить примеры на сложение и вычитание (дать в форме цепочек примеров).

3) Выполнить упражнения вида:

• 3 = 27 5 • = 10 8 • = 24

• 6 = 18 3 • = 21

Для самостоятельной работы можно предложить упражнения 5, 6 и 4.

Урок 23. Решение задач на деление на равные части.

Работа над новым материалом.

На этом уроке надо показать, что делением решают и такие задачи, в которых несколько предметов раскладывают, делят, раздают поровну, а надо узнать, сколько предметов в каждой из равных частей.

Учитель предлагает решить задачу: 12 морковок дали 4 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику? Ученики раскладывают на партах 12 каких-либо фигур, например 12 треугольников, а один из учеников на демонстрационном наборном полотне раскладывает 12 морковок, вырезанных из бумаги, сопровождая свои действия объяснением: Возьму из 12 морковок 4 морковки и дам кроликам по 1 морковке, возьму еще 4 морковки и дам кроликам по 1 морковке, возьму еще 4 морковки и дам кроликам по 1 морковке. Раздал все морковки. Каждому кролику досталось по 3 морковки.

Учитель продолжает объяснение: Сколько раз брали из 12 морковок по 4 морковки? 3 раза. Каждому кролику дали столько морковок, столько раз в 12 морковках содержится по 4 морковки, значит, задача решается делением. Решение записывается так:

12 : 4 = 3. Ответ: по 3 морковки.

Запись читают так: 12 разделить на 4, получится 3. Ответ: каждому кролику дали по 3 морковки.

Для первичного закрепления ученики читают задачу и объяснение ее решения на странице 148, рассматривают и объясняют иллюстрацию к ней.

При решении задачи из упражнения 1 можно выполнить иллюстрацию в виде схематического рисунка с точками. Работу провести так же, как это описано в указаниях к уроку 18.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение с числами 2 и 3. Можно провести игру в отгадывание чисел. Каждый из учеников записывает в тетради любой пример на умножение с числом 2 или 3. По вызову учителя ученик говорит: Я записал пример на умножение и получил в ответе 12. Отгадайте, какие числа я умножал. Дети называют различные произведения, пока не отгадают, какие числа записаны. Отгадавший ученик называет свое произведение и т. д.

Решение примеров на сложение и вычитание можно дать в форме сравнения чисел (узнать, на сколько одно число больше или меньше другого), увеличения и уменьшения на несколько единиц.

2. Решение задач. Устно решить задачи: Сколько литров фруктового сока поместится в 3 пятилитровые банки? в 3 трехлитровые банки? в 3 двухлитровые банки? в 3 литровые банки?»

Для самостоятельной работы можно предложить упражнения 2, 3 и 4.

Урок 24. Закрепление умений решать задачи на деление.

Работа над новым материалом.

Примеры на деление из упражнения 1 ученики решают, используя рисунок, данный в учебнике. При этом они рассуждают так: 2 разделить на 2, получится 1, потому что в 2 кружках содержится 1 раз 2 кружка или 2 разделить на 2, получится 1, потому что, если 2 кружка разделить на 2 равные части, то получится по 1 кружку в каждой части. Решение примеров I столбика ученики записывают на доске и в тетрадях, а остальные примеры решают устно. После этого можно предложить самостоятельно записать их решение.

После чтения каждой задачи из упражнения 2 ученики выполняют иллюстрацию в виде схематического рисунка с точками или другую иллюстрацию, на основе чего выбирают действие и находят результат.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение с числами 2 и 3, предложить сравнении выражений 7 • 3 и 8 • 2, 6 • 3 и 9 • 2 и примеров на сложение и вычитание.

2. Решение задач. Работа может быть организована в форме арифметического диктанта. 1) Купили 5 тетрадей, по 2 рубля каждая. Сколько рублей уплатили? 2) Блокнот и карандаш стоят 18 рублей. Карандаш стоит 3 рубля. Сколько стоит блокнот?

Для самостоятельной работы предложить упражнения 4, 5 и 6.

Урок 25. Ознакомление со связью деления с умножением.

Работа над новым материалом.

На этом уроке надо раскрыть связь: если произведение разделить на первый множитель, то получится второй множитель, а если произведение разделить на второй множитель, то получится первый множитель.

Работу учитель может организовать так: Положите в первый ряд 2 квадрата, во второй ряд 2 квадрата и в третий ряд 2 квадрата. Сколько всего квадратов вы положили? 6. Как узнали? 2 • 3 = 6. Запишем. Прочитайте этот пример, используя название чисел при умножении. Первый множитель 2, второй множитель 3, произведение 6. Запишем. Посмотрите на квадраты. Вы разложили б квадратов по 2 квадрата. Сколько получилось рядов? 3. Как узнали? 6 : 2 = 3. Запишем под первым примером. Сравним эти примеры. Здесь произведение 6 разделили на первый множитель 2, получился второй множитель. Дети повторяют.

Посмотрите еще на квадраты. Вы разложили 6 квадратов в 3 ряда поровну. Сколько квадратов в каждом ряду? 2. Как узнали? 6 : 3 = 2. Запишем. Сравните этот пример с первым и скажите, как получили первый множитель 2. Произведение 6 разделили на второй множитель 3 и получили первый множитель 2.

Запись:

2 • 3 = 6 2 - первый множитель,

6 : 2 = 3 3 - второй множитель,

6 : 3 = 2 6 - произведение.

Аналогичным образом провести работу по рисункам и записям, данным на странице 150 учебника.

Для первичного закрепления выполнить упражнение 1. Ученики должны сравнить второй и третий примеры каждого столбика с первым и найти частное, пользуясь сформулированным выводом. Например: 10 : 5 = 2, потому что здесь произведение 10 разделили на первый множитель 5, значит, получится второй множитель 2.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров вида:

3 • 7 - 5, 8 • 3 + 9, 7 • 2 + 40, 9 • 3 - 17.

Подобрать числа, чтобы записи были верными:

7 • = 21 30 - = 8 • 9 = 27

8 + = 23 2 • = 18

2. Решение задач. Устно решить задачи: 1) Летние каникулы длятся 92 дня, а зимние -14 дней. На сколько больше дней в летних каникулах? 2) Упражнение 3.

Для самостоятельной работы можно предложить упражнения 4 - 6 и упражнение 2 после иллюстрации под руководством учителя.

Урок 26. Ознакомление с приемом деления, основанным на связи деления с умножением.

Работа над новым материалом.

Ознакомление с приемом деления учитель может провести так: Прочитайте пример: 3 • 5 = 15. Какие примеры на деление вы можете решить, пользуясь этим примером на умножение? 15 : 3 = 5, 15 : 5 = 3. Объясните, как получили эти примеры. Сначала произведение 15 разделили на первый множитель 3, получили второй множитель 5; потом произведение 15 разделили на второй множитель 5, получили первый множитель 3. Если вы будете знать таблицу умножения, то легко решите примеры на деление, в которых произведение делят на первый или второй множитель.

Для первичного закрепления надо выполнить упражнение 1. Сначала ученики должны объяснить решение примеров, записанных в I столбике. Затем решить примеры первой и второй строки: найти произведение и, пользуясь им, решить примеры на деление.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение с числами 2 и 3; примеров на сложение и вычитание вида 50 - 25 + 60, 42 + 8 - 16.

2. Решение задач. Устно решить задачу: У Оли было две монеты по 10 рублей. Хватит ли ей этих денег, чтобы купить тетрадь за 15 рублей? Устно решить задачу 3(2).

К задачам из упражнений 2 и 3 (1) выполнить иллюстрацию, после чего ученики должны решить эти задачи самостоятельно.

Для самостоятельной работы предложить упражнения 4, 5 и 6.

Урок 27. Составление таблиц деления на 2 и с частным 2.

Работа над новым материалом.

Упражнение 1 выполнить под руководством учителя: Прочитайте, что надо сделать. Рассмотрите I столбик. Что здесь записано? Таблица умножения на 2. Что записано во II столбике? Примеры на деление на 2. В III столбике тоже записаны примеры на деление. Примеры на деление вы можете легко решить, пользуясь примерами на умножение. Читайте первый пример I столбика и называйте результат. 2 • 2 = 4. Запишу на доске. Найдите результат первого примера II столбика, пользуясь примером на умножение, и объясните, как находили. 4 : 2 = 2, произведение 4 разделили на множитель 2, значит, получили второй множитель 2. Запишем. Учитель записывает на доске, а дети - в тетрадях.

Читайте второй пример на умножение и называйте ответ. 3 • 2 = 6. Запишу. Объясните, как найти результаты примеров на деление, которые записаны на этой строке. 6 : 2 = 3, произведение 6 разделили на второй множитель 2, значит, получили первый множитель 3; 6 : 3 = 2, произведение 6 разделили на первый множитель 3, значит, получили второй множитель 2. Запишем. Теперь читайте примеры, которые записаны на третьей строке, и называйте результаты. 4 • 2 = 8 8 • 2 = 4, 8 : 4 = 2 и так далее.

Пусть ученики в классе и дома еще раз расскажут по учебнику, какие ответы получатся при умножении на 2 и в примерах на деление.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение, сложение и вычитание. Можно провести игру «Круговые примеры»: 3 • 6, 27 + 3, 18 : 2, 23 - 20, 9 • 3, 30 - 7. Можно включить цепочки примеров вида 5 • 3 + 20 - 8.

2. Решение задач. Устно выполнить упражнения 3 и 2. Если дети будут затрудняться в составлении задач, надо подсказать им сюжет. Например, детям раздают какие-то предметы поровну.

Для самостоятельной работы предложить упражнения 4, 5 и 6.

Урок 28. Закрепление знания таблиц деления на 2 и с частным 2.

Работа над новым материалом.

Начать следует с повторения таблиц деления на 2 и с частным 2, которые даны на странице 152 учебника. После этого предложить решить устно примеры на деление из рассмотренных таблиц вразбивку. При ответе два-три раза повторить, как можно решить пример на деление, зная таблицу умножения.

Далее выполнить упражнение 1 под руководством учителя: Рассмотрите рисунок и скажите, сколько пар детей танцует. 6 пар. Составьте задачу на умножение. Танцевали 6 пар детей. Сколько всего детей танцевали? Запишите решение и ответ. Как решили? 2 • 6 = 12. Ответ: 12 детей. Составьте теперь по этому рисунку две задачи на деление. 12 детей танцевали парами по 2 человека. Сколько было пар детей? Решите эту задачу. Как решили? 12 : 2 = 6. Ответ: 6 пар. Составьте вторую задачу на деление. 12 детей разделились для танца на 6 равных групп. Сколько детей было в каждой группе? Решите эту задачу. Как решали? 12 : 6 = 2. Ответ: двое детей. Сравните решения второй и третьей задач с решением первой. Здесь произведение 12 делили сначала на первый множитель и получили второй множитель 6, потом произведение 12 разделили на второй множитель 6, получили первый множитель 2.

Упражнение 2 можно выполнить устно под руководством учителя. Дети читают в каждом столбике пример на умножение, затем сравнивают с ним каждый пример на деление и находят частное.

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение, сложение и вычитание в два-три действия вида (11 - 8) • 7, 2 • 9 - 10 + 15. Примеры записать на доске.

Упражнение 5 выполнить у доски. Дети должны записать ответ под каждым числом.

Для самостоятельного решения можно предложить упражнения 3, 4, 6 и 7. Задание упражнения 6 можно сформулировать так: Подберите и запишите на месте «окошечка» такие числа, чтобы записи были верными. Дети подбирают числа и записывают: 6 + 8 = 14.

Урок 29. Составление таблицы деления на 3 и с частным 3.

Работа над новым материалом.

Объяснение нового материала можно провести по записям учебника, данным в упражнении 1, используя те же методические приемы, что и при составлении таблицы деления на 2 и с частным 2 (смотри указания к уроку 27).

Работа над пройденным материалом.

1. Устное решение примеров на умножение, сложение и вычитание в два-три действия вида 9 • 3 + 30 - 17, (40 - 32) • 2 и примеров на деление на 2.

2. Решение задач. Устно решить задачи: 1) Сколько колес у двух автомобилей? у трех автомобилей? 2) В трех легковых машинах ехало по 5 человек. Сколько человек ехало в этих машинах?

Письменно выполнить упражнение 3. Дети должны прочитать задание, назвать вопрос, после чего решить задачу самостоятельно. Проверив решение, спросить, какой надо поставить вопрос, чтобы задача решалась двумя действиями.

Для самостоятельной работы можно предложить упражнения 4 и 5.

Урок 30. Закрепление пройденного и проверка знаний.

1. Повторение таблиц умножения и деления с числами 2 и 3. Работу можно организовать так: вызвать к доске 4 учеников, двое из них называют примеры на умножение 2 умножить на 3, получится 6; 3 умножить на 2, тоже получится 6, а двое называют соответствующие примеры на деление. 6 разделить на 2, получится 3; 6 разделить на 3, получится 2.

2. Повторение таблиц сложения и вычитания можно провести в форме цепочек примеров и менее усвоенных случаев сложения и вычитания в пределах 100.

3. Составление и решение задач. Числовые данные можно записать на доске.

Устно:

1) У Миши 20 рублей, а у Тани на 5 рублей больше. Поставить вопрос так, чтобы задача решалась двумя действиями.

2) В одной сумке 3 кг картофеля, а в другой 6 кг. Поставить вопрос так, чтобы задача решалась сложением (вычитанием).

3) Составление и решение задач по рисунку. Упражнение 1 выполнить под руководством учителя (смотри указания к проведению аналогичной работы - урок 28).

4. Выполнение проверочной работы для выяснения уровня усвоения материала темы «Умножение и деление».

Проверочная работа. I вариант II вариант

1. Сделать к задаче рисунок и решить ее. 12 рыбок поместили поровну в 2 аквариума. Сколько рыбок поместили в каждый аквариум? 12 блинов разложили на тарелки, по 2 блина на каждую. Сколько тарелок для этого потребовалось?

2. Решить примеры.

7 • 2 9 • 3 27 : 3 3 • 8 7 • 3 21 : 3

3 • 6 2 • 8 16 : 2 9 • 2 2 • 6 12 : 2

Для задания на дом можно использовать упражнения 2 - 6 со страницы 155 учебника.