Комбинаторные задачи на развитие смекалки для 1-4 классов.

Задачи комбинаторного характера

Задачи № 1

Это задачи на взвешивание.

1) На столе лежат три одинаковых по виду кубика. Один из них немного легче, чем другие. Как найти бракованный кубик при помощи двухчашечных весов за одно взвешивание?

2) Даны 4 монеты. Одна из них фальшивая: она легче, чем другие. Каким наименьшим числом взвешиваний на двухчашечных весах можно определить фальшивую монету?

Задачи № 2

Эти задачи решаются с помощью перебора разных вариантов.

1) В коробке лежат белые и голубые шары. Мальчик вынул 3 шара, не глядя в коробку. Будут ли среди вынутых шаров хотя бы 2 шара одного цвета?

2) В мешке лежат 3 красных шарика и 3 синих. Наугад достали сразу 3 шарика. Шарики каких цветов могли достать? Рассмотри все возможные варианты. Сделай схематический рисунок.

3) Из мешка, в котором лежат 2 синих шарика и 2 красных шарика, девочка выбирает поочерёдно 3 шарика. Изобрази все возможные варианты выбора шариков с помощью схематического рисунка. Запиши полученные варианты, используя буквы С и К.

4) В мешке лежат 2 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из мешка наугад, чтобы среди них обязательно оказались 2 шара одного цвета?

5) В аквариуме 3 рыбки: гуппи, сомик и меченосец. Толя запустил в аквариум сачок. Что может в нём оказаться? Перечисли все возможные варианты.

6) На дереве сидели 4 вороны и 3 галки. К дереву подошла кошка и стала карабкаться. 6 птиц улетели. Могла ли остаться на дереве хоть одна ворона?

7) На кормушке сидело 5 воробьёв и 2 синицы. Улетели 3 птицы. Был ли среди них хотя бы один воробей?

8) В коробке лежат 5 цветных и 3 простых карандаша. Из коробки достали 5 карандашей. Какими могут быть взятые карандаши? Найди 4 варианта.

9) Алёша, Боря, Вася и Гена - лучшие математики класса. На школьную олимпиаду нужно представить команды из трёх человек. Сколькими способами это можно сделать?

Задачи 3

В этих задачах нужно составлять разные числа из цифр.

Можно также дать учащимся дополнительные задания:

- расположите числа в порядке возрастания / убывания;

- найдите наименьшее /наибольшее число;

- найдите числа, кратные 2, 3, 5 и т. д.

1) Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что цифры в записи числа не повторяются? Запиши эти числа через запятую.

2) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры в записи числа могут повторяться? Запиши эти числа через запятую.

3) Составь все двузначные числа, в записи которых используются цифры 3 и 7.

4) Какие трёхзначные числа можно составить из цифр 7, 0, 9, если:

а) цифры в записи числа не повторяются;

б) цифры в записи числа могут повторяться.

5) Сколько двузначных чисел можно записать лишь с помощью цифр 1, 2, 3, 4?

5) Сколько существует двузначных чисел, в записи которых содержится хотя бы одна цифра 5?

6) Сколько среди двузначных чисел таких, в записи которых используются только цифры 1 и 2?

7) Сколько среди трёхзначных чисел таких, в записи которых используются только цифры 3 и 4?

8) Составь все двузначные и трёхзначные числа из цифр, чтобы цифры в записи числа не повторялись: а) 3,1, 6; б) 2,0,5.

Задачи 4

В этих задачах нужно составлять разные слова из букв.

Можно дать учащимся задание придумать «перевод» полученных слов и разрешить им пообщаться на новом языке.

1) На острове «Ро-ко-ко» только 3 буквы: р, о, к. В словах они не могут повторяться. Сколько различных слов есть у жителей этого острова, если все их слова - двухбуквенные?

2) Переставь буквы в слове АНЯ всеми возможными способами и запиши полученные варианты. Какое ещё женское имя при этом получится?

3) В телеграмме всего 3 слова: «Вылетаю самолётом завтра». Какие ещё предложения можно составить из этих слов? Запиши полученные варианты, обозначив каждое слово его начальной буквой, например ВЗС.

4) На одной маленькой планете жили лилипуты. И говорили они между собой на своём языке. А знали они всего три буквы: Т, Я, О. Какие слова могли составить лилипуты из этих букв? Сколько всего слов было в их языке, если каждое слово могло содержать не более 3 букв? Буквы в одном слове не повторялись.

Задачи 5

В этих задачах разные предметы ученикам нужно раскрасить разными способами. К задачам 1-6 необходимо подготовить раздаточный материал.

1) Раскрась домики тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди них не было одинаковых и цвета на одном домике не повторялись. См. рис. 1.

2) Попробуй раскрасить все нарисованные флажки тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди них не было двух одинаковых и цвета полос на одном флажке не повторялись.

См. рис. 2.

3) Попробуй раскрасить все нарисованные колпаки тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди их не было двух одинаковых и цвета полос на одном колпаке не повторялись.

См. рис. 3.

4) Возьми зелёный, жёлтый и коричневый карандаши. Раскрась ими листочки так, чтобы в одной строчке листочки были разными, а одинаковые строки не повторялись. См. рис. 4.

5) Возьми 3 цветных карандаша: красный, жёлтый и синий. Раскрась ими нарисованные карандаши так, чтобы в каждой строке карандаши были разными, а одинаковых строк не было. См. рис. 5.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

6) Флаг раскрашен в две красные и три зелёные полоски. Последовательность цветов раскраски обозначена цепочкой букв, записанных внизу рамки. Раскрась остальные флаги другими способами, подпиши их в рамке.

См. рис. 6.

7) На костюм клоуна для брата Маша хочет пришить 2 синие и 2 красные пуговицы. Как могут быть расположены эти пуговицы? Попробуй найти разные варианты. Представь их в виде рисунков или записей с буквами С и К.

8) Обведи в тетради 4 клетки в ряд. Раскрась их четырьмя карандашами (кранным, синим, жёлтым и зелёным) так, чтобы: синяя клетка была не в начале и не в конце этого ряда; красная клетка была слева от синей, но не обязательно рядом с ней. Сколько вариантов раскраски может быть? Изобрази их в тетради. Сделай записи с помощью букв К, С, Ж, З.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

к к з з з

Рисунок 6.

Задачи 6

В этих задачах нужно найти разные варианты расстановки.

1) Перед тобой три игрушки: машина, кубик, рыбка. Запиши первыми буквами, как их можно расставить тройками, чтобы в каждой тройке игрушки были разными, а одинаковых троек не было. Две первые строчки записаны. Продолжи остальные.

2) Составь расписание на завтра, если должно быть по одному уроку математики, чтения и рисования. Запиши все варианты первыми буквами: М Ч Р.

3) Виталик, Дима и Сергей решили вместе сфотографироваться. Сколькими различными способами они могут сесть на одну скамейку? Найди 6 способов.

4) У Коли на полке лежат три книги: одна со сказками, другая со стихами, третья с рассказами. Он хочет их переместить. Сколькими способами он может это сделать?

5) Расположи предметы на полках разными способами.

См. рис.7

Рисунок 7.

Задачи 7

Задачи этой группы отличаются тем, что они решаются с помощью «дерева вероятностей» или составления таблицы.

1) Имеется ткань двух цветов: голубая и зелёная. Требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

2) При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырёх цветов: белого, красного, синего и зелёного. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

3) Аня, Боря, Вера и Гена - лучшие лыжники школы. На соревнования надо было выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

4) В классе Аня, Петя и Лена хорошо поют, Серёжа и Галя играют на гитаре, а Миша умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, артиста и фокусника?

Задачи 8

Эти задачи отличаются тем, что «дерево возможностей» уже есть. Нужно лишь ответить на вопрос.

1. На полке в магазине стоят два медвежонка - жёлтый и коричневый, две машинки - чёрная и белая и три мяча - красный, жёлтый и голубой. Васе надо купить 3 игрушки: одного медвежонка, одну машинку и один мяч. Определи с помощью «дерева», сколькими способами он может это сделать? См. рис. 8

к

ж

б

ч

б

ч

к з г к з г к з г к з г

Медвежата

Машинки

Мячи

Рисунок 8.

2) Сколькими способами можно прочитать слово КОТ в схеме, двигаясь по указанным линиям?

3) Сколькими способами можно прочитать слово РОЗА в схеме, двигаясь по указанным линиям?

Задачи 9

В этих задачах дерево нужно достроить «дерево возможностей» и ответить на вопрос.

1. У Даши 4 кофты - красная, жёлтая, голубая и зелёная и 2 юбки - синяя и белая. Сколькими способами она может составить себе костюм? Закончи составление «дерева» и раскрась Дашины наряды соответствующим образом. См. рис. 9

Кофта

Юбка

К

С Б

.

Ж .

Рисунок 9.

2) Мебельный магазин имеет 3 образца стульев - с бордовой, серой и зелёной обивкой и два образца столов - круглые и квадратные. Маша с папой пришли в магазин, им нужно купить стол со стульями. Сколько вариантов выбора у них есть? Составь «дерево» и покажи путь, который соответствует круглой форме стола и зелёной обшивке стульев. См. рис. 10.

Стол

Стулья

б с з

Рис. 10

2. Три поросёнка - Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф- Нуф - решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью «дерева» и таблицы.

См. рис. 11.

р

г

г

р

г

о

г

о

Ниф-Ниф

Нуф-Нуф

Наф-Наф

Рисунок 11.

Ниф-Ниф

Нуф-Нуф

Наф-Наф

р

о

г

Задачи 10

Для решения этих задач нужно составлять и заполнять таблицы.

1) В коробке лежат 2 красные и 3 зелёные гирлянды. Сколько различных комбинаций из них можно составить? Составь таблицу и покажи в ней цепочку «к-з-з-к-з».

2) Сколькими способами можно выстроить башню из 2 синих и 2 красных кубиков? Составь таблицу и сделай рисунок полученных вариантов решения.

3) Сколькими способами можно разложить 5 ручек красного, зелёного, жёлтого, синего и розового цвета в одинаковых 2 пеналах?

4) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, синий и зелёный карандаши?

5) Сколькими способами можно разложить 3 одинаковых карандаша в две разные коробки? Заполни таблицу.

I коробка

II коробка

Задачи 11

Эти задачи удобно решать с помощью дерева возможностей.

1) У Юры 2 пирамидки, 3 мяча и 2 конструктора. Он хочет выбрать из этих игрушек одну пирамидку, один мяч и один конструктор. Сколькими способами он это может сделать?

2) У Тани 2 вида ручек и 4 вида карандашей. Сколько различных комплектов из одной ручки и одного карандаша можно из них составить?

3) У Золушки было всего 2 простенькие шляпки. Чтобы украсить их, она из лоскутков ткани сделала три разных цветка. Сколько теперь будет у Золушки вариантов шляпок с цветами?

3. В шкафу висят 4 юбки красного, жёлтого, зелёного и синего цветов, а также 3 свитера жёлтого, зелёного и синего цветов. Сколько костюмов можно составить из этой одежды, если известно, что цвета юбки и свитера в одном костюме не совпадают?

Задачи 12

Эти задачи решаются с помощью составления графов.

1) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой командой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

2) Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 7 человек пожали друг другу руки, то сколько будет рукопожатий?

3) Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл две партии. Сколько всего партий было сыграно?

4) Маугли попросил трёх обезьян принести ему орехи. Обезьяны набрали орехов и понесли Маугли. По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате они принесли орехов вдвое меньше, чем собрали. Сколько орехов получил Маугли?

Задачи 13

Эти задачи можно решить при помощи схематического рисунка.

1) Школьники из Волгограда собрались на каникулы ехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву - а самолёте, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие? Назовите возможные варианты этого путешествия.

2. Из деревни Простоквашино в деревню Сметанино ведут 3 дороги, а из деревни Сметанино в деревню Кефирово - 2 дороги. Сколько различных дорог ведёт из Простоквашино в Кефирово?

См. рис. 12

П

С

К

Рисунок 12