Теория вероятости методический материал

ЗАНЯТИЕ № 1

Случайные события и их вероятности

1. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Ответьте на следующие вопросы:

1. Какое событие называется случайным? Приведите примеры.

2. Какое событие называется достоверным? Приведите примеры.

3. Какое событие называется невозможным? Приведите примеры.

4. Сформулируйте классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. В чем заключается их основное различие ? Приведите примеры применения каждого из определений.

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из списка журнала 8 класса (в котором есть и девочки, и мальчики) случайным образом выбран один ученик: 1) это мальчик; 2) выбранному ученику 14 лет; 3) выбранному ученику 14 месяцев; 4) этому ученику больше 2-х лет.

2. В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное, невозможное или случайное: 1) из мешка вынули 4 шара и все они синие; 2) из мешка вынули 4 шара и все они красные; 3) из мешка вынули 4 шара и все они оказались разного цвета; 4) из мешка вынули 4 шара и среди них не оказалось шара черного цвета.

3. Образуют ли полную группу следующие группы событий:

А) опыт бросания 1 монеты:

А0 : появление герба;

А1 : появление цифры;

Б) опыт бросания 2-х монет:

В0 :- появление 2-х гербов;

В1 : появление 2-х цифр;

В) 2 выстрела по мишени:

С0 : ни одного попадания;

С1 : одно попадание;

С2 : два попадания;

Г) 2 выстрела по мишени:

Д0 : хотя бы 1 попадание;

Д1 : ни одного попадания.

4. Являются ли несовместными события, представленные в задаче № 3?

5. Из событий: 1) «идет дождь»; 2) «на небе нет ни облачка»; 3) «наступило лето» составьте все возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

6. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие: 1) на контрольной работе больше половины класса получили пятерки; 2) все 7 пулек в тире у меня попали мимо цели; 3) при бросании монеты выпала решка; 4) при бросании игральной кости выпало четное число очков.

7. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

8. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

9. В магазин поступили 30 новых цветных телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Наудачу отбирается 1 телевизор для проверки. Какова вероятность того, что он не имеет скрытых дефектов?

10. Автомат изготавливает однотипные детали. Технология изготовления такова, что 5 % произведенной продукции оказывается бракованной. Из большой партии взята наудачу 1 деталь для контроля. Найдите вероятность того, что выбранная деталь бракованная.

11. В урне а белых и в черных шаров. Из урны вынимают 1 шар. Найдите вероятность того, что вынутый шар белый.

12. В урне а белых и в черных шаров. Из урны вынули 1 шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще 1 шар. Найдите вероятность того, что этот шар также будет белым.

13. В урне а белых и в черных шаров. Из нее вынимают один за другим все шары. Найдите вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

14. В урне а белых и в черных шаров (а≥2). Из урны вынимают сразу 2 шара. Определить вероятность того, что оба шара будут белыми.

3 САМОСТОЯТЕЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ МАТЕРИАЛА

Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящее в выборе наудачу m элементов из n элементов некоторого множества Е = {е₁ , е₂ , …, е_р}. При этом в каждом опыте строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существуют 2 принципиально различные схемы выбора:

- выбор осуществляется без возвращения элементов;

- выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором.

После того, как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы (или их номера могут быть либо упорядочены (выстроены в определенную цепочку), либо нет.

В результате названных действий получены 4 комбинации постановки эксперимента по выбору наудачу k элементов из общего числа p различных элементов множества Е.

1. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЮ.

Если опыт состоит в выборе k элементов без возвращения и без упорядочения, то различными исходами следует считать k элементные подмножества множества Е, имеющие различный состав.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

С ^k _{p =}

Пример 1. Из класса, в котором учится 12 девочек и 10 мальчиков, выбирают группу из 4-х учащихся для участия в школьной олимпиаде. Найдите вероятность того, что: а) все участники олимпиады - мальчики; б) среди участников олимпиады 3 девочки и 1 мальчик.

Решение. В данной задаче применяем первую схему комбинаторного выбора, так как речь идет о выборе без возвращения и без упорядочивания.

а) событие А - «все 4 выбранных участника олимпиады - мальчики».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m - количество благоприятных исходов опыта. В нашем случае m - число вариантов выбора 4-х мальчиков из 10, т. е. m = С ⁴ ₁₀ = 210.

Найдем n - общее количество исходов опыта: n = С ⁴ ₂₂ = 7315.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = .

б) событие В - «среди 4 выбранных участников олимпиады 3 девочки и 1 мальчик».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m - количество благоприятных исходов опыта. В нашем случае m - число вариантов выбора трех девочек (из 12) и одного мальчика (из 10), т. е. m = С ³ ₁₂ С ¹ ₁₀ = 2200.

Найдем n - общее количество исходов опыта: n = С ⁴ ₂₂ = 7315.

Искомая вероятность будет равна Р(В) = .

2. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ

Если опыт состоит в выборе k элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами следует считать упорядоченные k элементные подмножества множества Е, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

А ^k _{p =}

Замеч. В частном случае (k = p) опыт состоит в произвольном упорядочивании множества Е, т.е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества. В этом случае

А ^p _{p =} p!

Пример 2. Из множества, состоящего из 10 первых букв русского алфавита, выбираются без возвращения 4 буквы и записываются слова в порядке поступления букв. Найдите вероятность того, что наудачу составленное слово оканчивается буквой а.

Решение. Событие А - «наудачу составленное слово оканчивается буквой а».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m - количество способов разместить на три оставшиеся места по одному из 9 символов (символ а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже определено). В нашем случае m - число вариантов выбора 3-х букв из 9, т. е.

m = А ³ ₉ = 504.

Найдем n - число всех 4-буквенных слов в данном опыте: n = А ⁴ ₁₀ = 5040.

Искомая вероятность будет равна Р (А) = = 0,1.

3. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе с возвращением k элементов множества Е, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы, отличающиеся составом.

При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

С ^k_k+p-1

Пример 3. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т. д., всего по 16-ти разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литература равновозможен, найдите вероятности следующих событий: А - «заказаны книги из различных разделов науки»; В - «заказаны книги из одного и того же раздела науки».

Решение. а) Найдем вероятность события А - «заказаны книги из различных разделов науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу

.

Найдем m - количество способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16, т. е. m = С ⁴ ₁₆ = 1820.

Найдем n - число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4.

n = С ⁴ _16+4-1 = 3876.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = .

б) Найдем вероятность события В - «заказаны книги из одного и того же раздела науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу . Аналогично первому случаю n - число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно n = 3876.

Так как m - количество способов выбрать любой раздел из 16, то m = 16.

Искомая вероятность будет равна Р(В) = .

4. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе k из p элементов множества Е с возвращением и упорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы (возможно с повторениями), отличающиеся составом элементов, либо порядком их следования.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

p ^k

Пример 4. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4-м лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой еще какая-нибудь лунка)?

Решение. Занумерум лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номеру шарика) будет соответствовать один из 4-х номеров лунок. Таким образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4-м лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т. е. n = 4⁷.

Событие А - «первая лунка при рассыпании 7 шариков окажется пустой» соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой лунки) удален из рассмотрения. Поэтому m - число 7-буквенных слов из алфавита в 3 буквы.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = .

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

15. Из колоды 36 карт наугад вынимают 2 карты. Какова вероятность того, что это: 1) дама треф и валет пик; 2) две шестерки?

16. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно 1 проигрышный билет; в) есть ровно 2 выигрышных билета; г) есть хотя бы 1 выигрышный билет.

17. Числа 1, 2, …, 9 записаны в случайном порядке. Найдите вероятность того, что числа будут записаны в порядке возрастания.

18. Числа 1, 2, …, 9 записаны в случайном порядке. Найдите вероятность того, что: а) числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания; б) числа 3, 6 и 9 будут следовать друг за другом и в порядке возрастания.

19. В технической библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что каждый состав заказанной литературы равновозможен, найдите вероятность того, что заказаны книги из различных разделов науки.

20. 7 одинаковых шаров случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в каждую лунку может поместиться любое число шариков). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что первая лунка окажется пустой?

Домашнее задание № 1

1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Бросают 2 игральные кости: 1) на первой кости выпало 3 очка, а на 2-ой - 5 очков; 2) сумма выпавших на двух костях очков равна 1; 3) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; 4) на обеих костях выпало по 3 очка; 5) сумма очков на двух костях меньше 15.

2. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня первое января» составьте все возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

3. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

1) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня; 2) явка на выборы была от 40% до 47%; 3) из 5 выстрелов в цель попали хотя бы два; г) на контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

4. В ящике находятся 2 белых и 3 черных шара. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар: 1) белый; 2) черный; зеленый?

5. Задумано двузначное число. Найдите вероятность того, что задуманное число окажется: 1) случайно названное двузначное число; 2) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

6. Брошены 2 игральные кости. Найдите вероятность следующих событий: 1) сумма выпавших очков равна 7; 2) сумма выпавших очков равна 8, а разность равна 4 ; 3) сумма выпавших очков равна 5, а произведение равно 4.

7. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, … , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает 2 карты. Найдите вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

8. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найдите вероятность того, что извлеченные детали: 1) окажутся окрашенными; 2) 2 делали окрашены, 1 - не окрашена.

9. В ящике имеется 25 деталей, 8 из которых окрашены. Найдите вероятность того, что среди 4-х наудачу выбранных деталей хотя бы одна окрашена.

10. В коробке «Ассорти» 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять 2 конфеты. Какова вероятность того, что: 1) обе конфеты с шоколадной начинкой; 2) обе конфеты с фруктовой начинкой; 3) обе конфеты с разными начинками?

11. Из 5 букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найдите вероятность того, что у него снова получилось слово «книга».

12. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая, что любой заказываемый набор пирожных равновероятен, вычислите вероятности того, что: а) пирожные одного вида; б) пирожные разных видов: в) по 2 пирожных различных видов.

6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вытянули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдите его вероятность:

А: вытянули красную масть;

В: вытянули пику;

С: вытянули красную пику;

Д: вытянули даму;

Е: вытянули даму пик.

2. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.

а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность , что в цирк пойдет девочка?

б) Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске - мальчика или девочку?

в) Федя не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель не узнает, если за урок он успеет спросить пятерых?

3. Какова вероятность того, что «доминошка», наудачу извлеченная из полного набора домино, имеет сумму очков, равную 5?

4. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет заканчиваться: а) на тройку; б) на девятку?

5. Наудачу выбрано двузначное число. Определите вероятность того, что оно оказалось: а) простым; б) составным; в) кратным пяти; г) взаимно простым с числом 100?

6. В корзине яблоко и груша. Вытаскиваем из нее один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

7. В корзине 2 яблока и груша. Вытаскиваем из нее 2 фрукта. Какова вероятность того, что оба фрукта яблоки?

8. В корзине N яблок и груша. Вытаскиваем из нее N фруктов. Какова вероятность того, что все они яблоки?

9. У маленькой Вари две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берет две варежки. Какова вероятность того, что они окажутся парными (т.е. на разные руки)?

10. У маленькой Вари две одинаковые пары варежек. Варя потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у не три. Уходя на улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом. Какова на этот раз вероятность, что они окажутся парными?