Интегрированный урок по математике и физике

Интегрированный урок по математике и физике

Математика 10 класс

Тема: Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания.

Цель: Вывести понятие гармонических колебаний и показать их важную роль в физике.

Методы обучения: сочетание диалогического с эвристическим.

Задачи:

I. Образовательные:

- организовать самостоятельную деятельность учащихся по усвоению новых понятий;

- создать проблемную ситуацию для следующего урока.

II. Развивающая:

- формировать умение применять приёмы сравнения и навыка пространственного воображения учащихся с графиками тригонометрических функций.

III Воспитательные:

-взаимоважения, чувства товарищества

- формировать общеучебные умения и навыки.

Ход урока.

1. Устные упражнения.

1. Значения для некоторых углов

• ½ - значение какой функции и для какого угла? (sin 30˚, cos 60˚)

• А sin 60˚ и cos 30˚ чему равняется?

• Как проще их запомнить?

• Какая наука нам в этом помогает? («мнемоника»)

• 1 - это? (sin 90˚; cos 360˚; tg 45˚; ctg 45˚)

• 0 - это? (sin 0˚; sin π; cos (π/2); cos (-π/2); tg 0˚; tg π; ctg (π/2); ctg (-π/2))

• Какое основное отличие sin α и cos α от tg α и ctg α? (sin α и cos α определены для любого угла, т.е. их графики можно продолжить бесконечно влево и вправо вдоль оси х, а tg α и ctg α имеют ограничения: tg (π/2), tg (-π/2) не существует и ctg (0 и π) не существует)

• Запомните, нам это сегодня понадобится.

2. у = А sin (ω(х+α)) - анализ графика функции.

А - «растяжение» или «сжатие» синусоиды в А раз вдоль оси у (иначе говоря: вертикальное «сжатие» или «растяжение»)

ω- «растяжение» или «сжатие» вдоль оси х (или горизонтальное «растяжение» или «сжатие»)

α - параллельный перенос на «-α» по оси х, т.к. α добавляется к х.

2. Фронтальное решение упражнения: (подготовка к ДСР)

1. Найдите А, ω, Т, α и дайте анализ графика.

2. Постройте график: у = 3 cos (1/2(х - 2))

В домашней самостоятельной работе на три будет достаточно проанализировать график, что мы сейчас и сделаем.

Пишите вместе со мной.

А = 3 - вертикальное «растяжение» графика.

А как ещё можно ответить? «Растяжение» графика в 3 раза вдоль оси у.

ω = ½ - горизонтальное «растяжение» в 2 раза (или «растяжение» графика вдоль оси х в 2 раза)

α = 2 - параллельный перенос на «2 единицы» (2 см) вправо.

Т = 2π/ω Т = 2π/0,5 = 2π 2/1 = 4π

На «4» надо построить график. На «отлично» - выполнить задание под (*).

Построим график функции у = 3 cos х/2, Т (0;2) Т = 4π

х

0

π/2

π

3π/2

2π

х

0

π

2π

3π

4π

сos х

1

0

-1

0

1

3 cos х/2

3

0

-3

0

3

3. Объяснение нового учебного материала.

1. Величины, меняющиеся по закону:

f(t)=A cos (ωt+φ) и f(t)=A sin (ωt+φ) совершают гармонические колебания.

Гармонические колебания находят применение в физике. При изучении механики мы встречаемся с механическими колебаниями.

Колебание - это движение, при котором тело периодически проходит положение равновесия. Примеры колебаний в повседневной жизни (качели, вода в стакане, струна, распространение колебаний на примере звуковых волн и т.д.).

Основные характеристики колебаний Т (период), А (амплитуда колебаний), ω (циклическая частота), φ (фаза колебаний).

Колебательные системы:

1. математический маятник

2. физический маятник

3. пружинистый маятник

Условия колебаний:

1. сообщение маятнику энергии

2. инертность тела

3. существование возвращающей силы

4. сопротивление в колебательной системе должно быть малым

Равномерное движение материальной точки по окружности и движение проекции материальной точки взаимосвязаны. Рассмотрим движение точки по окружности радиусом

OB=R=A.

Пусть точка начинает движение из положения C, t_о=0, тогда угловое перемещение в точке D

φ=φ_о+ωt,

где ω - угловая скорость,

а φ - угловое перемещение.

Проекция материальной точки на ось х совершает колебания относительно точки О. Период движение материальной точки по окружности совпадает с периодом колебания проекции материальной точки.

Рассмотрим движение проекции материальной точки в положении D:

x(t) = A cos φ

x(t) = A cos (ωt + φ_o), где

А - максимальное смещение (амплитуда колебания точки)

ω - циклическая частота колебаний

ω = 2π/Т, где Т - период колебаний (промежуток времени, за который точка делает одно полное колебание)

ωt + φ_o = φ -фаза колебаний.

Т.к. проекция материальной точки изменяется по закону косинуса, то эти колебания являются гармоническими. Если рассмотреть движение проекции материальной точки на ось у, то уравнение движения точки примет вид y(t) = A sin φ.

Итак, при гармонических колебаниях координата точки (или тела) изменяется со временем по закону косинуса или синуса.

Но для описания колебаний удобнее пользоваться формулой x(t) = A sin (ωt+φ₀) т.к. координата в начальный момент равна нулю (а у косинуса не нуль).

Параметры А, ω, φ₀ имеют специальные названия:

А - амплитуда колебаний («растяжение» или «сжатие» по оси у)

ω - циклическая (или круговая) частота колебаний («растяжение» или «сжатие» по оси х)

φ₀ - фаза колебаний (обычно берут φ Є [0;2π))

Т = 2π/ω - период гармонического колебания.

2. Решение задач: у доски фронтально

а) x(t) = 5 cos (3πt + π/6), где t = 4,5 c

x(t) = 5 cos 3π(t + 1/18)

A = 5; ω = 3π; T = 2π/ω; T = 2π/3π = 2/3; φ = 1/18

х (4,5) = 5 cos (3π 4,5 + π/6) = 5 cos (13,5π + π/6) = 5 cos (14π - π/3) = 5 cos (-π/3) = 5 cos π/3 = 5 cos 60˚ = 5 ½ = 2,5

вычисления: 27π/2 + π/6 = 82π/6 = 13π2/3 = 14π - π/3

б) x(t) = 1,5 cos 6πt, t = 4/3 c

A = 1,5; ω = 6π; φ = 0; T = 2π/6π = 1/3

x(4/3) = 1,5 cos 6π 4/3 = 1,5 cos 8π = 1,5 cos 0 = 1,5

4. Домашнее задание: теория

I вариант: y = 2sin 1/4x; e = ½ cos 3x

II вариант: y = 3 sin 1/2x; e = ¼ cos 2x

(*) III вариант: y = tg x/3; y = ½ cos (4x + 2)

(*) IV вариант: y = ctg 3x; y = 2sin (x/4 - 1)