Олимпиадные задачи для 5-6 классов

Задача 1:

В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Ответ: Через 59 секунд.

Задача 2:

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Решение:

Аня и Ваня платят Сане 15 копеек, получая от него по 10 копеек сдачи. После этого он платит 15 копеек в кассу.

Задача 3:

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 328, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?

Ответ: 495 страниц.

Задача 4:

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?

Решение:

Разбиваем сначала гвозди пополам - на две группы по 12 кг, после чего одну из этих групп делим пополам, а затем еще раз пополам. Полученные 3 кг гвоздей откладываем и получаем 9 кг в остатке.

Задача 5:

Червяк ползет по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота равна 75 см?

Решение:

Ответ: Червяк окажется вверху к вечеру 71-го дня.

Задача 6:

В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

Ответ: Воскресенье.

Задача 7:

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?

Ответ: Диагональ пересекает 199 + 991 - 1 = 1189 клеток.

Задача 8:

Из числа 1234512345123451234512345 вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.

Ответ: Максимальное число это 553451234512345.

Задача 9:

Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Ответ: Да, может, если день рождения Пети - 31 декабря, а указанную фразу он произносит 1 января.

Петин кот перед дождем всегда чихает. Сегодня он чихнул. «Значит, будет дождь» - думает Петя. Прав ли он?

Ответ: Нет, не прав.

Задача 11:

Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь»- отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» - опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» - отвечает тот. «Правильно» - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Ответ: Всего нарисовано 12 кружков: пять на одной стороне листка и семь - на другой.

Задача 12:

Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть?

Ответ: Да, может, если профессор - женщина.

Задача 13:

По дороге цепочкой ползут три черепахи. «За мной ползут две черепахи» - говорит первая. «За мной ползет одна черепаха, и передо мной ползет одна черепаха» - говорит вторая. «Передо мной ползут две черепахи, и за мной ползет одна черепаха» - говорит третья. Как такое может быть?

Решение:

Он рассуждал так: «Если у меня лицо не испачкано, то другой мудрец, увидев, что третий над чем-то смеется, понял бы, что его лицо испачкано, и перестал бы смеяться. Однако он смеется, следовательно, у меня лицо тоже испачкано.»

Задача 14:

В поезде едут три мудреца. Внезапно поезд въезжает в туннель, и после того, как загорается свет, каждый из мудрецов видит, что лица его коллег испачканы сажей, влетевшей в окно вагона. Все трое начинают смеяться над своими испачкавшимися попутчиками, однако внезапно самый сообразительный мудрец догадывается, что его лицо тоже испачкано. Как ему это удалось?

Решение:

Он рассуждал так: «Если у меня лицо не испачкано, то другой мудрец, увидев, что третий над чем-то смеется, понял бы, что его лицо испачкано, и перестал бы смеяться. Однако он смеется, следовательно, у меня лицо тоже испачкано.»

Задача 15:

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и тщательно размешивают смесь. Затем три ложки смеси переливают обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

Ответ: Конечно же, чая в молоке столько же, сколько молока в чае.

Задача 16:

Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Решение:

Задача 17:

В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры - одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.

Ответ: 95343

Задача 18:

Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?

Ответ: Нет. Решение лишь одно: 51286 + 1582 = 52868.

Задача 19:

Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?

Решение:

127 бумажек надо разложить так: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

Задача 20:

Разрежьте уголок, изображенный на рисунке на четыре таких же уголка вдвое меньшего размера.

Решение:

Задача 23:

Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?

Задача 24:

При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон!

Задача 25:

Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а с орехом (от орешника до дупла) - со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

</ Решение: Поскольку обратно белка бежит в два раза медленнее, то время, затраченное белкой на обратную дорогу, в два раза больше времени, которое она тратит на дорогу от дупла до орешника. Поэтому, время, затраченное на дорогу от дупла до орешника, в три раза меньше времени, затраченного на всю дорогу, то есть, равно 54 : 3 = 18 секунд. Следовательно, расстояние от дупла до орешника равно 18*4 = 72 метра.

Ответ: 72 метра.

Задача 26:

В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

Решение: Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.

Ответ: дяде Федору 11 лет.