Неоторые способы решения задач на экстремум

Министерство образования и науки РД

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение Гимназия 17

Научно- практическая конференция «Шаг в будущее»

Секция «Прикладная математика»

Тема:

«Некоторые способы решения задач на экстремум»

Выполнил: ученик класса

МБОУ Гимназии № 17 г. Махачкалы

Османов Абдулхалик Сайгидович

Научный руководитель:

учитель высшей категории

Саратовкина Любовь Георгиевна,

МБОУ Гимназия № 17 г. Махачкалы

Махачкала-2013

Некоторые способы решения задач на экстремум

Османов Абдулхалик Сайгидович

ученик класса МБОУ Гимназии № 17

Россия, Махачкала

Краткая аннотация

Особый интерес в математике представляют задачи на экстремумы и оптимумы, т.е. задачи решающие проблемы оптимизации.

В работе рассмотрены методы решения таких задач: метод опорной функции, метод оценки, метод перебора, метод преобразования плоскости и решение экстремальных задач с помощью производной, неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Приведены примеры решения экстремальных задач с помощью рассматриваемых методов.

Некоторые способы решения задач на экстремум

Османов Абдулхалик Сайгидович

ученик класса МБОУ Гимназии № 17

Россия, Махачкала

Аннотация

В данной работе рассмотрена теория задач на отыскание наибольших и наименьших величин, называемая теорией экстремальных задач, или теорией оптимизации, или иногда теорией оптимизационного уравнения.

Целью работы является изучение различных методов решения задач на экстремумы. Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- подбор и изучение соответствующей теоретической и методической литературы;

- изучение элементарных (геометрических и алгебраических) методов решения задач на экстремумы.

В работе рассматривается перевод экстремальной задачи на математический язык - формализация, дается определение задачи на минимизацию.

Подробно рассмотрены такие методы решения оптимизационных задач как метод опорной функции, метод оценки, метод перебора, метод преобразования плоскости, решение экстремальных задач с помощью производной.

Своеобразными экстремальными задачами являются нестрогие неравенства для нескольких чисел, для решения которых применяется известное неравенство Коши, которое так же рассматривается в данной работе.

Решение оптимизационных задач с использованием данных методов разобрано на конкретных примерах. Приведен пример решения задачи Евклида.

Таким образом, изучены методы, которые нашли практическое применение при решении задач на отыскание максимума или минимума.

План исследования

1. Введение……………………………………………………………………........1

2. Понятие экстремальной задачи…………………………………………………2

3. Методы решения экстремальных задач………………………………………..4

3.1 Метод опорной функции…………………………………………...4

3.2 Метод оценки……………………………………………………….4

3.3 Метод перебора……...……………………………………………...4

3.4 Метод преобразования плоскости………….……………………...5

3.5 Решение экстремальных задач с помощью производной…..…....5

3.6 Неравенство Коши…………………………………………………..6

4. Примеры решения задач………….……………………………………………..7

5. Выводы………………………………………………………………………..….9

6. Список использованной литературы …………………………………………10

Некоторые способы решения задач на экстремум

Османов Абдулхалик Сайгидович

ученик класса МБОУ Гимназии № 17

Россия, Махачкала

1. Введение

Среди задач математики, которые решают проблемы оптимизации, следует выделить так называемые задачи на экстремумы и оптимумы, с которыми в математике приходится встречаться чаще всего. Они, в свою очередь, являются фундаментом рассмотрения оптимизационных задач вообще.

Говоря об экстремальных задачах, мы имеем в виду задачи математики, которые связаны с понятиями наибольшего, наименьшего, наиболее выгодного, в том числе понятия экстремума.

В математике исследование задач на экстремум, т. е. на максимум и минимум началось

около двадцати пяти веков назад.

Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов.

Но примерно триста лет назад - в эпоху формирования математического анализа - были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

2. Понятие экстремальной задачи

Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач, или теорией оптимизации, или иногда теорией оптимизационного уравнения. Для того чтобы можно было воспользоваться общей теорией, необходимо осуществить перевод задачи на математический язык. Этот перевод называется формализацией. Одну и ту же задачу можно формализовать по-разному. От того, насколько удачно формализована задача, часто

зависит и успех ее решения.

Формализованная задача включает в себя следующие элементы:

1. Функционал. f: xR

(x- область определения функции f)

2. Ограничение, то есть подмножество С x

(R- множество всех действительных чисел)

3. F: xy - означает, что отображение F имеет область определения x, а F(x) для каждого лежит в множестве y

Таким образом формализовать экстремальную задачу - значит точно описать ее элементы f, x, C.

Для функциональной задачи употребляется запись: F(x)max (min) ; x C

Точки x C называются допустимыми, если С=x, и задача назовется задачей без ограничений.

Задачу на максимум всегда можно свести к задаче на минимум, заменив задачу

F(x)max , x C задачей G(x)min , x C , где G(x)=-F(x)

И наоборот.

Когда формулировки необходимых условий экстремума в задачах на минимум и максимум разные, выписываем их только для задачи на минимум.

То есть другими словами, мы рассматриваем функцию F(u) вместе с некоторым множеством C, содержащимся в области V ее определения, которое задает ограничение в поставленной задаче. Множество V может быть множеством чисел, функций, точек (или других геометрических объектов). И при этом, как было сказано, можно ограничиться лишь рассмотрением задач отыскание минимума функции F(u), для этого достаточно заменить F(u) на min (-F(u)) поэтому можно ограничиться рассмотрением задач минимизации.

Дадим определение задачи на минимизацию:

Для u V определена функция F(u) и задано множество C такое, что, C V. Под задачей минимизации F(u) на множестве C будем понимать следующее:

Найти u* C такое, что F*= F(u*) =min F(u) , где u C, либо убедиться в том, что такого u* не существует.

3. Методы решения экстремальных задач

3.1 Метод опорной функции

Сущность этого метода заключается в том, что сначала экстремальную задачу представляют в аналитическом виде. Затем нужно установить соответствие между элементами исследуемой функции и хорошо известной опорной функции.

После этого, решение данной задачи сводится к применению известных свойств опорной функции.

3.2 Метод оценки

Этот метод имеет место при как алгебраических, так и геометрических экстремальных задачах.

Суть метода заключается в следующем. Рассматривается конкретное выражение ( или определенная геометрическая фигура F), выделяется один или несколько величин, которые характеризуют данное выражение ( или фигуру F).

Требуется оценить выделенную величину или совокупность величин, то есть доказать, что величина Z удовлетворяет одному из неравенств вида:

Z M, или Zm (*)

Где m и M определяются условием задачи. Здесь для решения задачи требуется установить справедливость одного из неравенств (*), то есть доказать для каждого Z, принадлежащему одному из (*), имеет смысл

данное выражение (существует фигура). И ни для одного числа Z, не удовлетворяющему неравенству, данное выражение не имеет смысла ( фигура F не существует).

3.3 Метод перебора

Для минимизации дискретной функции F(x), где x C, которую иногда трудно или невозможно представить в аналитическом виде, предлагается метод, который естественно назвать методом перебора.

Сущность этого метода заключается в том, что сначала выделяется последовательность точек {} C. Затем последовательно выполняются все значения функции F(),…,F(). Эти вычисления продолжаются до тех пор, пока не найдется точное R, что F( F(), ( i=1,2,…,n).

Тогда ясно, что min F(x)=F().

3.4 Метод преобразования плоскости

В качестве основного метода решения экстремальных задач, рассматриваемых на непрерывном множестве фигур, выбран метод преобразования плоскости.

Он состоит в следующем:

Пусть требуется найти экстремум элемента x фигуры F, однозначно определенного элементами x, , (i=1,2,…,n).

Метод нахождения экстремума x состоит в следующем:

1. Дадим элементу x определенное значение x=C и решим задачу на построение фигуры F' по заданным элементам x и .

2. Решив эту задачу, считаем элемент с перемещением. Затем, применяя те или иные преобразования плоскости, замечаем те особенности, которые возникают при достижении элементом x максимального или минимального значения.

Выделение указанной особенности позволяет делать заключение об экстремуме элемента x фигуры F.

3.5 Решение экстремальных задач с помощью производной

Из математического анализа известно, что если числовая функция F(u) непрерывна, то экстремум F(u) на V может достигаться, лишь в тех точках uV, в которых F'(u)=0 или F'(u) не существует или же является граничной для множества V.

Имеет место теорема:

Теорема Ферма. Пусть функция является дифференцируемой в точке x.

Тогда, если точка x доставляет локальный экстремум (минимум или максимум) этой функции , то F'(x) = 0.

Точки, для которых (x) = 0, называются стационарными.

Стационарные точки совместно с концевыми точками называются критическими. Соотношение '(x) = 0 является лишь необходимым условием экстремума. Например, для функции (x) = точка x = 0 является стационарной, но ни локального максимума, ни локального минимума не доставляет. Теорема Ферма позволяет дать следующее правило поиска решений одномерных задач. Разобьем его на 4 этапа:

1. Формализация задачи. Требуется привести (разумеется, если это возможно) стоящую перед вами задачу к виду:

(x) min (max), где a x b

2. Второй этап состоит в выписывании необходимого условия '(x)=0.

3. Третий этап состоит в нахождении всех стационарных точек.

4. Четвертый этап состоит в переборе всех критических значений функции и выборе минимального (максимального) среди них.

3.6 Неравенство Коши

Один из сильных методов решения геометрических задач на экстремумы функции является использование неравенств, в частности, неравенства о среднем арифметическим и среднем геометрическом (неравенство Коши):

0 - 2 + 0 a+b ,

или, в общем виде: .

4. Примеры решения задач

1. Задача Евклида. В данный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF (EF || AB, DE || AC) наибольшей площади (рис. 1).

Решение

Докажем, что искомый параллелограмм характеризуется тем,

что D, E и F - середины соответствующих сторон.

Рис.1

Действительно, пусть AD'E'F' - вписанный в ABC параллелограмм, отличный от ADEF. Точку пересечения прямых D'E' и EF обозначим через G', а точку пересечения прямых DЕ и E'F' - через G. Покажем, что площадь параллелограмма AD'E'F' меньше площади параллелограмма ADEF на величину площади параллелограмма EG'E'G. Для этого проведем в треугольнике ABC из точки B высоту, длину которой обозначим через H. Длину стороны AC обозначим через b, а длину высоты треугольника GE'E,

проведенной из точки E0, - через H1. Из подобия треугольников GEE' и ABC (E'G || AB, GE || AC) получаем:

= =

Из полученного соотношения следует, что площадь параллелограмма D'G'ED, высота которого H1, а длина стороны DE - b/2, равна площади параллелограмма EGF'F, ибо его высота равна H/2, а длина стороны F'F равна

|GE|. Отсюда и следует, что площадь параллелограмма ADEF равна площади фигуры AD'G'EGF', т. е. на величину площади параллелограмма GE'G'E больше, чем площадь AD'E'F'. Задача решена.

2. На соревнованиях каждый стрелок делал 10 выстрелов. За каждое попадание он получал 5 очков, а за каждый промах снималось 2 очка. Победителем считался тот, кто набрал не менее 30 очков. Сколько раз стрелок должен был попасть в мишень, чтобы быть в числе победителей.

Решение

Обозначим количество попаданий в мишень через n. Тогда условие задачи можно записать в виде неравенства: 5n - 2(10 - n) 30

7n 50

Так как n N, то n {8,9,10}. Следовательно, наименьшее число попаданий в мишень равно 8.

3. Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданной площади поверхности S, его объем был наибольшим?

Решение

=2 (ab+bc+ac), V=(abc), ab+bc+ac =

V

= =

ab = bc = ac a = b = c

Итак, среди всех ящиков с заданной площадью поверхности наибольший объем имеет ящик кубической формы.

4. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка земли, который можно огородить куском проволоки длиной 2p?

Решение

Обозначим длину одной из сторон прямоугольника x, тогда длиной другой стороны будет (p - x), а поэтому площадь участка S(x) = x (p - x). При этом x [0;p). Найдем критические точки функции S(x). Производная S(x) равна S'(x) = (x (p - x)' = (xp - ) = p - 2x. Она обращается в нуль при x = . Итак, надо найти наибольшее значение функции S(x) = x (p - x) при x = , p - x = p - = прямоугольник - квадрат со стороной и его площадь равна S() = (p - ). То есть наибольшим значением площади прямоугольника будет площадь квадрата.

5. Вывод

Задачи на максимум и минимум часто встречаются как в науке, так и в повседневной жизни человека. Своей распространенностью они обязаны тому, что при решении задач мы находим наиболее выгодный из имеющихся вариантов.

При подготовки работы была изучена литература по данной теме, исторические задачи и их решения.

В работе "Некоторые способы решения задач на экстремум" раскрыто понятие экстремальной задачи, даны определения формализованной задачи, задачи на минимизацию.

Рассмотрены различные и многообразные приёмы и методы решения задач на экстремумы (перебора, оценки, неравенств , преобразование плоскости …) Каждый метод по-своему уникален и неповторим. Каждый из таких приемов является мостиком к решению небольшого класса задач на экстремум.

Целью работы являлось изучение различных методов решения экстремальных задач Считаю, что задачи выполнены, цель достигнута.

Список использованной литературы

1. Г.М. Возняк, В.А. Гусев. Прикладные задачи на экстремум.

2. В.М. Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах.

3. В.М. Тихомиров, Э.М Галеев. Краткий курс теории экстремальных задач.