Методическая разработка урока на тему Параметры

За несколько лет работы в предметной комиссии по проверке ЕГЭ мною было сделано наблюдение: большинство учащихся даже не приступают к выполнению заданий части «С». Если же часть «С» выполняется, то это первые два-три задания, к пятому и шестому приступают единицы, правильно решают ещё меньше. Это свидетельствует о невысоком качестве математической подготовки школьников. Для решения заданий части «С» требуются более глубокие знания предмета и умение применить их на экзамене.

Для повышения качества подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ мною разработан спецкурс по решению задач с параметрами, которые содержатся в части «С». Программа курса соответствует программе профильного обучения математики в старших классах. Курс рассчитан на два года обучения. В течение нескольких лет на базе ГБОУ Школа №1208 в помощь учителям математики округа мною проводятся семинары по решению задач с параметрами.

План проведения первого семинара изложен в предложенной статье.

Решение задач с параметрами. Первые шаги.

Нередко после очередного сезона вступительных экзаменов со стороны «провалившихся» абитуриентов и их родителей в адрес приёмных комиссий звучат упрёки по содержанию конкурсного задания. Как правило, неудачники говорят о то, что им «попалась» задача, которую в школе не проходили.

На такие претензии у экзаменаторов заготовлен стандартный ответ: математическое содержание задачи не выходит за пределы программы для поступающих в ВУЗы.

Конечно, это не совсем так. В часть «С» ЕГЭ включены задачи, решить которые, можно пройдя целенаправленную специальную подготовку. Возникает вопрос: насколько конкурсная задача повышенной сложности обладает диагностической ценностью, т. е. можно ли с помощью этой задачи проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики ВУЗа.

По моему мнению, такой диагностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами. И не случайно эти задачи стали неотъемлемым атрибутом части «С».

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Очевидно, что к встрече с такими задачами надо специально готовиться.

Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

В данной статье приводятся различные типы задач с параметрами и возможные методы их решения, уделяется внимание разбору типичных ошибок, которые допускают учащиеся при решении этих задач. Отмечаются различные методы решения задач, и выбирается рациональный метод решения.

Автор надеется, что данная статья поможет учителям в подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

Рассмотрим пример № 1.

Найти все значения параметра m, при которых уравнение 2008^2х-6·2008^х+m²-8m=0 (1) имеет единственное решение.

Обозначим 2008^х через а. На а появится ограничение a>0. Получим уравнение а²-6а+m²-8m=0 (2), которое является следствием уравнения (1). Рассмотрим нужные нам по условию варианты.

1. Если D=0. В этом случае уравнение (2) имеет единственное решение. Однако уравнение (1) может и не иметь решений! Это возможно, если уравнение (2) имеет отрицательное или равное нулю решение. Значит, чтобы уравнение (1) имело единственное решение необходимо выполнение системы условий: D=0 и а>0. Рассмотрим каждое условие отдельно. D=9-m²+8m. Приравняем к нулю и решим полученное уравнение. Имеем корни -1 и 9. Корень уравнения (2) а=3. Это число положительное, значит, второе условие системы выполняется автоматически (так как не зависит от значения параметра). Итак, числа -1 и 9 берём в ответ.

2. Если D>0, то уравнение (2) имеет два решения. Однако мы не знаем знаки этих решений. Для нашего случая подходят следующие условия: корни разных знаков и один положительный, а другой равен нулю.

Для наличия у уравнения корней разных знаков достаточно иметь отрицательный свободный член приведённого квадратного уравнения, то есть m²-8m<0 (мы имеем приведённое уравнение). Чтобы приведённое уравнение имело один положительный корень, а второй равный нулю необходимо два условия: свободный член уравнения должен быть равен нулю и второй коэффициент положительный. В нашем случае второй коэффициент равен шести, значит достаточно равенство нулю свободного члена.

Объединив оба случая, имеем условие m²-8m≤0.

Решив данное неравенство методом интервалов, имеем в ответе отрезок [0;8]. Для записи ответа всего примера необходимо просмотреть всё решение. Данная задача имеет ответ: {-1}[0;8]{9}.

При решении задач подобного типа наиболее часто встречаются следующие ошибки:

1. Рассматривается случай D=0, забывается при этом, что уравнение (2) является следствием уравнения (1) и поэтому может содержать больше корней.

2. Решение ограничивается случаем D=0. Забывается случай D>0.

3. Пропускается случай корня равного нулю.

Замечание: для наличия корней разных знаков условие D>0 выполняется автоматически.

Для закрепления изложенного материала можно предложить следующие задания для самостоятельного решения.

№1. При каких значениях параметра уравнение 25^х+0,5-(5а+2) ·10^х+а·4^х+0,5=0 имеет два различных корня.

№2. При каких значениях параметра уравнение 2·9^х-(2а+3) ·6^х+3а·4^х=0 имеет единственное решение.

Для успешного решения задач с параметрами необходимо хорошо знать школьный курс математики и уметь применять все полученные знания и умения. Данные примеры как раз позволяют применить знание методов решения показательных уравнений, квадратных уравнений, применение теоремы Виета к исследованию знаков корней квадратного уравнения в зависимости от его коэффициентов. Мы пользовались аналитическим методом решения. Однако более наглядным и удобным является графический метод. Конечно, для успешного его применения учащиеся должны уметь строить простейшие графики. Необходимо знать методы построения графиков линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции, тригонометрических функций, функций, содержащих модули. Уметь делать простейшие преобразования графиков: параллельный перенос, сжатие, растяжение, поворот, отображение относительно осей координат и другие. Для решения более сложных примеров неплохо применять производную для построения графиков.

При решении задач графическим методом можно использовать различные координатные плоскости ОХУ, ОХА, ОАХ и другие (если ввели новые обозначения).

Следует помнить, что графический метод хорош для наглядности, а для математически грамотного ответа необходимо производить некие вычисления (так как график может показать лишь « картинку» и следовательно приблизительный ответ).

Наибольшие затруднения у учащихся вызывает тригонометрия. Поэтому рассмотрим пример с параметром, включающий тригонометрическое уравнение.

Пример №2.

При каких значениях параметра а уравнение cos²x-5cosx+a=0 имеет решения. Найти эти решения.

Обозначим cosx =в. Нельзя забывать об ограничении |в|≤1. Получим уравнение вида в²-5в+а=0. Будем решать задачу в плоскости ОВА. Для этого выразим параметр а= -в²+5в. Данная функция квадратичная. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Для нахождения нулей данной функции, решим соответствующее квадратное уравнение в²-5в=0. Нули 0 и 5. Вершина параболы - точка с координатами (2,5;6,25). Возьмём дополнительные точки: при в=-1 а=-6, при в=1 а=4. Построим параболу и выделим её часть при значениях в от -1 до 1. Для ответа на вопрос задачи проводим прямые, параллельные оси параметра (у нас а=const) и смотрим, где эти прямые пересекают выделенную часть параболы.

Получаем, что уравнение имеет решения при значениях а, принадлежащих отрезку [-6;4].

На первую часть задания мы ответили. Осталось найти решения. Для этого сначала необходимо решить квадратное уравнение в²-5в+а=0 и выбрать меньший корень этого уравнения (см. график). Меньший корень уравнения имеет вид в=, значит, выполнив обратную замену, имеем cosx=, следовательно, решением данного уравнения будет х=±arccos+2πk, kZ.

Ответ: если а=-6, в=-1, то cosx=-1, x=π+2πk, где kZ;

если а=4, в=1, то cosx=1, x=2πk, где kZ;

если а[-6;4], в=, то х=±arccos+2πk, kZ.

Преимущества графического метода:

1. Наглядность.

2. По данному чертежу можно ответить на целый ряд вопросов. Например, таких: при всех значениях параметра определить количество решений;

найти значения параметра, при котором уравнение имеет одно (два, три и т.д.) решение;

решить при всех значениях параметра.

Последнее задание вызывает, как правило, особые затруднения.

Рассмотрим пример №3.

Найдите все значения , при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение:

,

Рассмотрим функцию: .

Координаты вершины: ; .

Нули: ,

,

, то есть , .

Дополнительные точки: , тогда .

Ответ: .

а) Если указать наименьшее целое значение, то по графику видно: .

б) Если решить при всех :

,

,

.

Ответ: если , то корней нет;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Для закрепления данного метода целесообразно предложить следующие задания для самостоятельного решения.

№1. При каких значениях параметра к уравнение cos3x-4cosx+k=0 имеет решения.

№2. При каких значениях параметра к уравнение sin3x+4sinx+k=0 не имеет решений.

Для решения второго и третьего заданий после применения формул тройного угла при построении графика необходимо использовать производную.

Данный графический метод носит название «метод сечений». Он применяется чаще всего для решения уравнений. Для решения неравенств или уравнений, имеющих дополнительные условия, используется так называемый метод областей. Он более сложный. Однако, если его научиться правильно применять решение задач с параметрами значительно упроститься.

Основная задача ЕГЭ по математике - выявление абитуриентов с хорошей математической подготовкой, поскольку современное образование включает ряд дисциплин, которые широко используют метод математического моделирования.

Систематическую подготовку к экзамену следует начинать с повторения теории, решения наиболее простых заданий, а затем переходить к задачам разной степени сложности по основным темам программы по математике. Лишь после этого рекомендуется приступать к решению сложных задач части «С» ЕГЭ.

Надеюсь, что приведённые методы решения задач помогут учителям математики организовать подготовку к ЕГЭ, а ученикам сделать первые шаги в решении задач с параметрами.