Логико-дидактический анализ темы «Пирамида»

Логико-дидактический анализ темы «Пирамида»

по учебнику Л.С. Атанасяна

Вводятся понятия: пирамида, основания пирамиды, боковая грань пирамиды, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, n-угольная пирамида, высота пирамиды, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, боковое ребро усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, правильная усеченная пирамида, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Даются определения понятиям: пирамида, основания пирамиды, боковая грань пирамиды, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, n-угольная пирамида, высота пирамиды, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, боковое ребро усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, правильная усеченная пирамида, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Изучаются утверждения:

1) Площадь полной поверхности пирамиды равняется сумме площади боковой поверхности пирамиды и площади ее основания (Очевидно);

2) Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками (Доказывается с помощью теоремы Пифагора);

3) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (Доказывается с использованием факта, что площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы);

4) Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции (Доказывается по определению трапеции);

5) Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равны произведению полусуммы периметров основания на апофему (Предлагается доказать самостоятельно);

6) Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту (Доказывается с использование свойств подобия фигур, используется метод разбиения фигуры на составляющие);

7) Объем усеченной пирамиды, высота которой равняется h, а площади оснований равны S₁ и S₂, вычисляется по формуле V=h(S₁+S₂+) (Следствие из 6).

Логико-дидактический анализ темы «Пирамида»

по учебнику Е.В. Потоскуева

Вводятся понятия: пирамида, основания пирамиды, боковая грань, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, высота пирамиды, n-угольная пирамида, плоский угол при вершине пирамиды, двугранный угол при ребре пирамиды, тетраэдр, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, высота правильной усеченной пирамиды, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, полная поверхность усеченной пирамиды, ортоцентрический тетраэдр, равногранный тетраэдр.

Даются определения понятиям: пирамида, основания пирамиды, боковая грань, вершина пирамиды, боковое ребро пирамиды, высота пирамиды, n-угольная пирамида, двугранный угол при ребре пирамиды, тетраэдр, правильная пирамида, апофема пирамиды, площадь боковой поверхности пирамиды, площадь полной поверхности пирамиды, усеченная пирамида, нижнее и верхнее основание усеченной пирамиды, боковые грани усеченной пирамиды, высота усеченной пирамиды, апофема усеченной пирамиды, высота правильной усеченной пирамиды, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды, полная поверхность усеченной пирамиды, ортоцентрический тетраэдр, равногранный тетраэдр.

Изучаются утверждения:

Если все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой. (Доказывается по свойствам прямоугольного треугольника)

Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около ее основания, то: а) все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью ее основания равные между собой углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Если высота пирамиды пересекает ее основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в ее основание. (Доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах, свойств равных треугольников).

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Высота пирамиды, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания, лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани. Высота пирамиды, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания, - боковое ребро, общее для этих граней. Высота пирамиды, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания, лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней. (Без доказательства)

Свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде все боковые ребра равны, а все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. (Доказывается по свойству окружности, описанной около правильного многогранника).

Следствие: Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани - равные двугранные углы. (Предлагается доказать самостоятельно).

Все апофемы правильной пирамиды равны. (Доказывается на основе равенства боковых граней правильной пирамиды)

Признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все ее боковые ребра равны; б) все ее боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все ее боковые грани - равные равнобедренные треугольники. (Предлагается доказать самостоятельно).

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды. (Доказывается с использованием свойств равнобедренного треугольника).

Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом , и высота пересекает основание, то (Доказывается с использованием теоремы о трех перпендикулярах, свойств круга, вписанного в основание пирамиды, теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Свойства параллельных сечений пирамиды:

Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины. (Доказывается с использованием свойств гомотетии).

Следствие: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает пирамиду, подобную данной. (Без доказательства).

Основания правильной усеченной пирамиды - подобные правильные многоугольники, а боковые грани - равные равнобедренные трапеции. (Доказательство вытекает из предыдущего утверждения).

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований на апофему. (Предлагается доказать самостоятельно).

Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. (Доказывается с использованием принципа Кавальери).

Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. (Доказывается дополнением пирамиды до треугольной призмы).

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. (Доказывается на основании предыдущего утверждения).

Объем тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся ребер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти ребра. (Доказывается с помощью дополнительных построений).

Свойства тетраэдра, связанные с его объемом:

Объемы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания. Объемы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований. Объемы тетраэдров, имеющих равные трехгранные углы, относятся, как произведения длин ребер, образующих эти углы. (Без доказательства).

Объем усеченной пирамиды, у которой площади оснований равны S₁ и S₂, а высота - H, вычисляется по формуле (Доказывается с применением достраивания усеченной пирамиды до полной пирамиды).