ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ПОСРЕДСТВОМ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ

ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ПОСРЕДСТВОМ ПРИМЕНЕНИЯ АЛГОРИТМОВ

</ «Всякое знание остается мертвым, если в учащихся не развивается инициатива и самодеятельность: учащегося нужно приучать не только к мышлению, но и к хотению».

Н.А.Умов

Во все времена школа, помимо обучения детей основам наук, выполняла и важнейшую задачу подготовки подрастающего поколения к самостоятельной жизни в обществе.

А для современного общества характерна сложность социальных, культурных, экономических условий, поэтому оно остро нуждается в людях, которые умеют самостоятельно думать и решать разнообразные проблемы, обладают критическим и творческим мышлением, умеют работать в коллективе, обладают коммуникационными навыками, то есть являются конкурентоспособными.

Курс школьной математики имеет достаточно широкие возможности для применения различных приемов, методов и технологий. В последние годы в содержание школьного курса естественным образом закладывается алгоритмическая линия. Так как применение алгоритмов является приоритетным в моей работе, то нужно отметить что, между понятиями «прием» и «алгоритм» существует много общего, но и есть принципиальные отличия, а именно:

- прием - это рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий, он может быть выражен в виде правил или инструкций, его можно перестроить и на его основе создать новый прием. Приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач;

- алгоритм - это общепонятное и однозначное предписание, которое определяет последовательность действий, позволяющее достичь искомый результат. Алгоритм предполагает жесткое выполнение шагов, а прием дает общее направление деятельности по решению учебных задач, не регламентируя каждый шаг.

Поэтому я в своей работе выделяю два подхода: 1) обучение алгоритмам; 2) формирование приемов решения задач. Школьные задачи делятся на: алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические и эвристические. Каждый тип задачи предполагает свои схемы решения, подходы, применение логики и изобретательности.

На начальном этапе обучения математике применение алгоритмов способствует формированию и прочному усвоению навыков владения математическими методами. Также осуществляется подготовка к формированию первоначальных представлений о математическом моделировании. Уже в начальных классах прослеживается применение простейших алгоритмов выполнения арифметических операций, дети овладевают навыками выполнения последовательных действий. Решают задачи с составлением схем и кратких записей. Это можно рассматривать как пропедевтику операционного стиля мышления.

Следующий уровень алгоритмической культуры учащихся - введение понятия алгоритма и формирование его основных свойств. Это происходит в среднем звене школы. Именно в этот период необходимо сочетания алгоритма и образца ответа, что дает возможность ученику, верно, ответить на поставленный вопрос, сопроводив его правильной речью. У учителя появляется возможность предлагать задачи с элементами творчества. А материал, предлагаемый в наших школьных учебниках, является хорошей базой для обучения составлению простейших алгоритмов и дальнейшей их записи в разных формах. Я применяю табличную, графическую (блок-схема), словесную и формульную форму записи алгоритмов.

В качестве примера, иллюстрирующего процесс алгоритмизации как средство обучения, можно указать на решение задач методом уравнений. Примером графического алгоритма является блок-схема для отыскания количества решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см. Рисунок 1).

Табличную форму алгоритма можно продемонстрировать на примере таблицы, составляемой для исследования функций и дальнейшего построения графиков (см. Рисунок 2).

Пример формульного способа - последовательность нахождения компонентов при составлении уравнения касательной к графику той или иной функции (см. Рисунок 3).

Алгоритм решения линейных уравнений (6 класс)

(х - 4 )∙5= -6х+2

2. Раскрыть скобки в каждой части уравнения (если нужно).

5х -20= -6х+2

3. Неизвестные перенести в левую часть уравнения, известные в правую часть уравнения. ( При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую знаки менять на противоположные ( «+» меняем на " -", а знак " - " на «+».)

5х+6х=20+2

4. В каждой части уравнения привести подобные слагаемые.

11х=22

5. Найти неизвестный множитель

( произведение поделить на известный множитель).

х=22:11

6.Записать ответ

х = 2

Алгоритм решения квадратных уравнений ( 8 класс)

х ²- 2х-3=0

2. Найти значение дискриминанта по формуле

D =b²-4∙a∙c.

D=2²-4∙1∙(-3)=16

3. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

Если D<0, то корней нет.

Если D=0, то

Если D>0, то

D>0

4. Записать ответ

х ₁= 1, х₂= -3

Словесный алгоритм используется практически во всех правилах выполнения действий, например, правило сложения чисел с разными знаками, нахождение НОД и НОК, построение графика квадратичной функции и др.

Алгоритм сложения чисел с разными знаками.

1. Поставить знак большего модуля.

2. Из большего модуля вычесть меньший модуль.
   
   Пример: -8+6 = - (8-6)= -2.

Алгоритм построения графика квадратичной функции: у=ах²+вх+с

1. Найти абсциссу вершины параболы х_в= -в/2а

2. Найти ординату вершины параболы у_в= у(х)

3. Построим вершину параболы в системе координат и проведем ось симметрии через нее х=х_в, определив по первому коэффициенту направление ветвей

4. Выбираем слева или справа от оси симметрии значение х

5. Вычисляем значение функции в этой точке (точках)

6. Строим данную точку и ей симметричную относительно оси симметрии параболы

7. Соединяем непрерывной плавной линией точки.

Наиболее благоприятный материал для алгоритмизирования:

1. Словесное правило

Пример: 7-й класс. «Степень произведения равна произведению степеней множителей».

-Установить все множители произведения.

-Найти данную степень каждого из них.

-Результат второго шага перемножить.

2.Правило-формула

Пример: 8-й класс. Формула корней квадратного уравнения ах² + bx + c = 0.

-Проверяем условие: a ≠ 0

-Находим D = b² - 4ac; проверяем: D > 0.

-Если это условие выполнено, то вычисляем корни по формуле:

-D=0, то вычисляем корни по формуле:

-D<0, то нет корней

3. Правило-тождество

Пример: 7-й класс. (a + b)² = a² + 2ab + b².

-Найти первый член двучлена.

-Найти второй член двучлена.

-Возвести первый член двучлена в квадрат.

-Возвести второй член двучлена в квадрат.

-Найти произведение первого и второго членов двучлена.

-Результат 5-го шага удвоить.

-Результаты 3, 4, 6-го шагов сложить.

4. Правило-теорема

Пример: 8-й класс. Теорема: «Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и длина её равна полусумме длин оснований».

1. Установить длину оснований.

2. Найти их сумму.

3. Полученную сумму разделить на 2.

5.Правило-определение

Пример: 9-й класс. «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».

-Определить, какой (по номеру) член прогрессии предшествует искомому.

-Узнать значение этого предшествующего члена.

-Найти разность прогрессии.

-К значению предшествующего члена прибавить разность прогрессии.

-Полученная сумма и будет искомым членом.

Алгоритмы ускоренных вычислений.



Как возвести в квадрат число, близкое к 50? Покажем теперь, как в уме возвести в квадрат двузначное число, близкое к 50. Назовите любое число, близкое к 50, но большее, чем 50 (скажем, число 58). Записываем ответ: 58² = 3364.

Еще пример (называете, скажем, 63): 63² = 3969.

Как же мы так быстро произвели вычисления?

Мы пользовались определенным алгоритмом. Найти его нам поможет алгебра.

Пусть нужно возвести в квадрат число х, близкое к 50, но большее 50. Число это запишем так: х = 50+а, где а-избыток числа х над 50.

Например: 58 = 50 + 8, х = 58, а = 8;

63 = 50+ 13, х = 63, а = 13.

Итак, х = 50 + а, а = х - 50. х² = (50 + а)² = 2500 + 100а + а² = (25 + а)·100 + а² = (25 + х - 50)·100 + а² = (х - 25)·100 + а².



Отсюда следует алгоритм:

если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

-вычти из этого числа 25,

-припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры.

1) 58² = 3364.

Объяснение. 58 - 25 = 33, 8² = 64, 58² = 3364.

2) 64² = 4096.

Объяснение. 64 - 25 = 39, 64 - 50 = 14, 14² = 196,

64² =(39+1)96 = 4096.



Пользуясь алгеброй, придумайте алгоритм для быстрого

умножения двух трехзначных чисел, близких к 1000. Проиллюстрируйте его на примере: 997·936.

Придумайте алгоритм для быстрого возведения в квадрат

трехзначных чисел, близких к 100.

То же - для двузначных чисел, близких к 100. алгоритм, который позволяет перемножить в уме два двузначных числа, близкие к 100.

Если спросить шестиклассника, какие двузначные числа труднее всего перемножить, то он, вероятно, скажет: "Числа, близкие к 100, например: 98·97". На самом же деле такие двузначные числа очень легко умножить даже в уме. Назовите каких-либо 2 числа, близких к 100. Пусть назвали 94 и 97.

Пишем: 94·97= 9118 (девяносто один - восемнадцать).

Как мы произвели умножение? Узнаем, каков недостаток первого сомножителя (94) до 100. Это будет 6. Недостаток второго сомножителя (97) до 100 равен 3. Затем из одного сомножителя (94) вычитаем недостаток (3) второго сомножителя до 100; получаем 91. Приписываем к результату произведения 3·6, то есть 18.

В старших классах работа становится разнообразней и содержательней, появляется возможность включать упражнения разного типа и уровня сложности, предполагающее, что приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Они состоят из большого числа действий, выполнение которых приводит к применению алгоритмов на отдельных этапах работы.

Использование алгоритмов в учебном процессе способствует более систематичному и сознательному усвоению материала. На уроках математики у детей формируется умение последовательно, шаг за шагом выполнять определенные действия для получения результата. Согласно исследованиям психологов, на начальном этапе обучения алгоритмической деятельности учащимся необходимо обдумывать каждый шаг и переходить от одного шага к другому с помощью рассуждений и размышлений, основанных на теоретическом материале. Дальнейшее применение алгоритмов приводит к автоматизации действий. Хотя может показаться, что при этом обучение математике становится формальным процессом, но чтобы избежать этого, следует использовать такую систему упражнений, которая сочетает разные формы задания алгоритмов, как словесную, так и письменное представление последовательности действий.

Применение алгоритмов в старших классах, по мнению некоторых учителей, отбивает творческий подход к решению задач, но с другой стороны, твердое знание основных задач курса и умение их решать, является твердым фундаментом для активизации самостоятельной и творческой работы учащихся.

Поручая учащимся работать самостоятельно над составлением алгоритмов, можно добиться у них концентрации внимания, развития четкой математической речи, умения выделять главное, развития математических навыков.