Урок по алгебре для 10 класса на тему Степень с рациональным показателем

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Поводимовская средняя общеобразовательная школа»

Дубенского муниципального района Республики Мордовия

НЕСТАНДАРТНЫЙ УРОК

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

В 10 КЛАССЕ

Подготовила: учитель математики

Бровцева А.В.

2011 год.

Цели урока:

• Научить выполнять простейшие преобразования выражений, содержащие степени с дробным показателем;

• Закрепить свойства степени с рациональным показателем в ходе выполнения упражнений;

• Формировать навыки самоконтроля учащихся;

• Создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;

• Воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Оборудование:

• карточки с ответами для устного счёта;

• карточки с заданиями, дешифраторами для каждого учащегося;

• мультимедиа;

• презентация Microsoft Excel.

Результативность:

• Оттачивается навык применения свойств степени с рациональным показателем при вычислении выражений;

• Развиваются вычислительные навыки, повышается вычислительная культура;

• Через связь заданий урока с историческими фактами повышается интерес к их выполнению;

• Выявляется степень освоенности материала.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель. Мы заканчиваем изучение темы "Степень с рациональным показателем и её свойства". Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач.

2. Актуализация знаний учащихся.

Учитель. Для начала вспомним свойства степеней с рациональным показателем на конкретных примерах.

Задание: представить в виде степени с рациональным показателем.

а) г) ж)

б) д) ()² з) ( ) ^-2

в) ()^1,4 е) и)

III. Закрепление изученного материала.

1. Учитель. Один великий русский ученый в свое время сказал: "Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь". Кому принадлежат эти слова, мы узнаем, когда выполним следующие задания.

   1. -

   2. -

   3. -

   4. -

   5. -

   6. -

   7. -

   8. -

   9. -

ЛОМОНОСОВ

Михаил Васильевич Ломоносов своим высказыванием указал на важность степеней для науки и человечества.

2. Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов.

1. 1. Задание. Упростив и вычислив следующие выражения, используя дешифратор, вы узнаете имя ученого, который положил начало буквенных записей степени.

1. -

3. -

4. -

5. -

6. -

7. -

ДИОФАНТ

Учитель. Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта "Арифметика", в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком Δ с индексом r; куб - знаком k c индексом r и т.д.

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

3. Учитель. Выполнив это задание, вы узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин - "показатель степени".

1. 1. Для выполнения следующего задания, вспомним формулы сокращенного умножения:

   5. Задание.

   6. Вынести общий множитель за скобки:

1. -

2. -

1. 1. Пользуясь тождеством разложить на множители:

3. -

1. 1. Разложить на множители, используя тождество или :

5. -

6. -

7. -

ШТИФЕЛЬ

Учитель. Немецкий математик М.Штифель (1487-1567 гг.) дал определение а⁰=1 при a≠1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» (лат. exponens), причём подробно анализировал и целые, и дробные показатели. Опубликовал правило образования биномиальных коэффициентов и составил их таблицы до 18-й степени. Штифель переработал (фактически написал заново) книгу алгебраиста (коссиста) Кристофа Рудольфа, и использованные там современные обозначения арифметических операций с этого момента укоренились в математике (1553).

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C - для первой, второй и третьей степеней.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616-1703) и Исаака Ньютона (1643-1727).

Но современные обозначения (типа а⁴, а⁵) в XVII в ввел Рене Декарт.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616-1703) и Исаака Ньютона (1643-1727).

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.

4. Подведение итогов.

1. 1. Учитель. Сегодня на уроке мы закрепили понятие степени с рациональным показателем и ее свойства, а также применили эти свойства при решении различных упражнений. На протяжении всего урока мы знакомились с историческими фактами, свидетельствующими о развитии степени.

4. Домашнее задание.

1. 98. §4, п.1, № 71-73 (четн), 84, 86 (2)