- Учителю
- Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Зачеты.
Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Зачеты.
В помощь учителю математики. 10 класс.
Математике как учебному предмету присущи некоторые особенности, отличающие ее в общей системе школьных дисциплин. К этим особенностям относятся абстрактность математических понятий, сложность логических рассуждений, многообразие приемов и методов решения задач, широкая опора на ранее изученный материал. Специфика математики как учебного предмета определяет необходимость серьезной работы по формированию математических знаний и умений. Важным компонентом этой работы является контроль знаний и умений учащихся. Своевременно установленная обратная связь «ученик - учитель» позволяет внести необходимые коррективы в учебный процесс и организовать работу по устранению обнаруженных пробелов.
Наряду с традиционными формами контроля (контрольные и самостоятельные работы) удобно проводить контроль с помощью гибкой системы заданий, включающих элементы тестирования, так же данная система позволяет провести индивидуальную работу с каждым учеником 10 - 11класса и адресно, при необходимости, помочь решить те или иные затруднения в изученном материале. Такая система заданий позволяет при небольшой затрате времени проверять усвоение значительного по объему учебного материала.
Удобно проводить в старших классах контроль знаний с помощью зачетов. Это позволяет проверить и теоретические знания учащихся, и практические навыки решения задач по данной теме, а так же подготовить ученика к зачетной системе, которую используют в ВУЗах. Это является немаловажным, так как многим ребятам сложно перестроиться с требований, которые предъявляют в школе, к требованиям, которые им предъявляют в ВУЗах.
Индивидуальные задания, используемые во второй части зачета, позволяют увидеть подготовку непосредственно каждого ученика. А первая часть зачета -теоретическая, проводится в виде беседы, что способствует лучшему контакту учителя и ученика. Ребята после зачета имеют возможность пересдать одну из тем, чтобы повысить свою оценку. С психологической точки зрения это тоже является положительной стороной, т.к. в этом случае ученик работает над собой и своими знаниями, стараясь улучшить свои результаты. Конечно подготовка и проведение зачета требует больших затрат времени, но по своему опыту могу сказать, что ребята после зачета быстрее и лучше решают задачи и контрольную работу по данной теме пишут с более высокими результатами.
Зачеты, состоящие из разных уровней (устного и письменного), позволяют учителю в осуществлении дифференциации обучения учащихся.
Приведу некоторые темы алгебры и начала анализа, при изучении которых я использую зачетную систему: показательная функция (10 класс), показательные уравнения и неравенства (10 класс), определение логарифма, логарифмические уравнения и неравенства (10 класс), тригонометрия (10 класс), производная (11 класс), применение производной (11 класс), первообразная и интегралы, нахождение площадей криволинейных трапеций (11 класс) и др.
Надеюсь, что учителям-математикам, особенно работающим в старших классах, пригодится мое предложение по контролю качества знаний учащихся и их дальнейшей подготовке к контрольной работе.
ПРОВЕДЕНИЕ: зачет проводится в виде небольшого экзамена. Состоит из двух частей, что позволяет проверить как практические навыки ученика, так и его теоретические знания.
Первая часть зачета проводится в виде индивидуальной беседы с учеником. Устно он отвечает на вопросы по теории.
Вторая часть зачета - практическое задание. Каждый ученик получает индивидуальное задание, причем выбирает он его сам, т.к. задания выполнены в виде билетов.
Примечание: задачи подобраны таким образом (от простого к более сложному заданию), что ученик любого уровня подготовки может сделать несколько задач. Все задания индивидуальны, а значит исключается возможность списывания.
Основная цель зачета: дифференциация обучения учащихся, способность усвоения учащимися основных математических понятий, самостоятельное повторение изученного материала, проверка способности применять теоретические знания на практике, закрепление навыков решений, индивидуальный контроль качества знаний учащихся, подготовка к контрольной работе.
Приведу некоторые примеры тем и вариантов практических заданий.
10 КЛАСС.
Зачет по алгебре.
10 КЛАСС.
Зачет №1. .
ТЕМА: Показательная функция.
Цель зачета: подготовить учащихся к контрольной работе. Повторить и проверить теоретические знания учащихся по данной теме, проверить практические знания учащихся, навыки решения показательных уравнений и неравенств, построение графиков показательных функций, применение свойств показательной функции, повторение ранее изученного материала по другим темам алгебры и начала анализа, развитие индивидуальных качеств каждого ученика, развитие памяти и самоконтроля ученика.
Основные вопросы для устного зачета по алгебре.
-
основные свойства степени.
-
свойства показательной функции.
-
график показательной функции.
-
теорема, с помощью которой решаются показательные уравнения.
-
От чего зависит знак неравенства показательного неравенства?
Практическая часть зачета (индивидуальные задания).
№1.
1. Решить показательное уравнение:
а) 4x-1 = 1 б) 2x = 8 -2/3 в) 4·3 x-1 + 3x+1 = 117
2. Решить показательное неравенство:
а) (2/3)x > 9/4 б) 5 x+1 +5x+5x-1≥ 31
3.Построить график показательной функции: y = 2x
№2
1. Решить показательное уравнение:
а) 0,3 3x-2 = 1 б) 27 1-x = 1/81 в) 5 x+1 +5x+5x-1=31
2. Решить показательное неравенство:
а) 3 x/2 > 9 б) 3 x +2 + 3x - 1 <28
3.Построить график показательной функции: y = (1/2)x
№3
1. Решить показательное уравнение:
а) 22x=2 4√3 б) 3 x +1 = 7 x + 1 в) 3 x - (1/3) x - 1 = 24
2. Решить показательное неравенство:
а) (1/2)x > 2 ; б) 8 2x+1> 0,125
3.Упростить выражение: a5/6b7/ 12 a- ¾b- 2/3
№4
1. Решить показательное уравнение:
а) 27 3x-2 = 1/3 б) 2 x = 6 x в) 3 2x-1 + 3 2x = 117
2. Решить показательное неравенство:
а) 3 x> 9 б) 2 x -1 + 2 x +3 > 17
3.Построить график показательной функции: y = 3 x
Зачет №2:
Тема: Логарифмы. Логарифмическая функция.
Цель зачета: подготовить учащихся к контрольной работе. Проверить и повторить теоретические знания учащихся по данной теме, проверить практические знания учащихся, навыки решения логарифмических уравнений и неравенств, построение графиков логарифмических функций, применение свойств логарифмов умение находить обратную функцию к данной функции. Проверить знания строгих математических определений и понятий. Развитие памяти и ответственности. Учить аргументировано и точно излагать свое мнение,
Основные вопросы для устного зачета.
-
основное логарифмическое тождество.
-
свойства логарифмов.
-
десятичный логарифм.
-
натуральный логарифм.
-
формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
-
логарифмическая функция, ее свойства и график.
-
правила нахождения обратной функции.
-
определение логарифма.
Практическая часть.
№1.
1. Вычислить:
а) log10 5 + log10 2; б) log 216 27 + log3616 + log6 3;
в) (log6 2+log6 3+2 log2 4 ) l og5 7 .
2. Построить график логарифмической функции: у = log 5 x
3.Найти обратную функцию к заданной функции:
а) y = 2x - 1; б) y = 5 x+1; в) у = log 2x.
и построить график функции а).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
№2.
1.вычислить:
а) log12 2 + log1272; б) log0,2125 : log1664·log3 81; в) (3log7 2-log7 24):( log7 3 + log79) .
2. Сравнить : log0,2 3 и log0,25
3.Найти обратную функцию к заданной функции: log0,2 3 и log0,25
а) y = 2 x ; б) y = -2x + 1; в) y = (2x - 1)/3
и построить график функции б).
№3.
1. вычислить:
а) log1/354 - log1/32; б) log1/39·log 21/8 : 7 2log49 2 ;
в) (log,224 - ½ log272) : (log318 - 1/3log372)
2. Построить график логарифмической функции: у= log2x.
3.Найти обратную функцию к заданной функции:
а) y = 2 x + 1 ; б) y = 3/x в) y = 7 - 3x.
и построить график функции в).
№4
1. вычислить:
а) log215 - log215/16 ; б) log1/216 ·log51/25 : 9log3 2; в) (3lg2 + lg0,25):( lg14 - lg7) .
2. Построить график логарифмической функции: у= log3 x.
3.Найти обратную функцию к заданной функции:
а) y = ¼ ·x - 7 ; б) y = x3- 1; в) y = 1/(x - 7)
и построить график функции а).
№5.
1.вычислить:
а) log316 + log3 3/2; б) log812 - log815+ log8 20;
в) (log6 2+log6 3+2 log2 4 )log5 7 .
2. Сравнить: log2 0,7 и log21,2;
3.Найти обратную функцию к заданной функции:
а) у = logx3. б) y = 5 - ¼·x; в) y = 6 3x - 7
и построить график функции б).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
№6.
1. вычислить:
а) log575 - log5 3; б) log915 + log918 - log910;
в) (log212 - log23+3 log3 8 )lg 5 .
2. Сравнить: log57 и log50,2;
3.Найти обратную функцию к заданной функции:
а) у = log7 (x+1 ); б) y = (x - 1) ³ в) y = (3x - 1)/2
и построить график функции в).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Зачет №3.
Тема: Тригонометрические уравнения и неравенства.
Цель: проверить знания некоторых тригонометрических формул, общее и частные решения уравнений cosx = a, sinx = a, tgx = а, определения arcos a , arcsin а, arctg a.
Проверить умения учащихся применять теоретические знания на практике. Подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе. Воспитание самостоятельности и ответственности, развитие индивидуальных качеств каждого ученика.
Основные вопросы для устного зачета:
-
основное тригонометрическое тождество, зависимость между cosα, sinα, tgα и сtgα.
-
формулы сложения.
-
формулы двойного угла.
-
формулы приведения.
-
5.формулы для угла (-α).
-
сумма и разность косинусов, сумма и разность синусов.
-
7.определения arcos a , arcsin а, arctg a.
-
общая формула нахождения корней уравнений cosx = a, sinx = a, tgx = а.
-
частные случаи решения уравнений cosx = a, sinx = a.
-
основные условия существования решений тригонометрических уравнений cosx = a, sinx = a, tgx = а.