Методическая разработка «Первообразная и интеграл»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»

Методическая разработка

По дисциплине: «Математика»

Для студентов ССУЗов по разделу

«ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ»

Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

преподаватель математики

торгово-экономического факультета

среднего профессионального образования

АЛЬМЕТЬЕВСК 2013

Аннотация

на методическую разработку преподавателя

Хадеевой З.М.

Тема: «Первообразная и интеграл»

Методическая разработка выполнена на 27листах. Включает в себя:

а) введение, где автор ставит цели изучения темы

б) содержание раздела «первообразная и интеграл» в лекционной форме

с соответствующими чертежами и таблицами

в) таблица первообразных и три правила нахождения первообразных

г) Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона - Лейбница

д) Задачи с решениями на нахождении общего вида первообразной, площади фигур, ограниченных графиками функций, на нахождении закона движения тела.

е) вычисление площадей фигур ограниченных разными графиками функций

(квадратичные, иррациональные, кубическая парабола, тригонометрическая функция), геометрическая интерпретация формулы Ньютона - Лейбница,

Вычисление площади фигур, ограниченных графиками функций, содержащих модуль.

ж) для самостоятельной работы предлагается карточки инструкции, где

поэтапно указывается решения конкретной задачи

з) задачи с решениями на применение интеграла для вычисления объемов тел

и вычисления работы переменной силы.

и) предлагается для самостоятельной работы примеры

к) сведения из истории повышает интерес студентов к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы.

Содержание

Введение………………………………………………………...………… 6

Первообразная и интеграл. Основные свойства первообразной ………7

Таблица первообразных. Три правила нахождения первообразных………..9

Криволинейная трапеция и ее площадь. Формула Ньютона - Лейбница..10

Вычисление площадей с помощью интеграла…………………………….11

Задачи с решениями……………………………………………….….. …….14

Вычисление площадей фигур с помощью интеграла……………………....17

Карточки инструкции………………………………………………………....28

Применение интеграла……………………………………………………......31

Примеры для самостоятельных работ……………………………………….33

Исторические сведения…………………………………………………….....35

Литература…………………………………………………………………….37

Введение

В целях совершенствования преподавания математики целесообразно использовать обучение студентов решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнениями и делать соответствующие выводы.

Преподавание математики не может стоять на должном уровне, а знания обучающихся не будут достаточно полными и прочными, если в работе преподавателя отсутствует система повторительно - обобщающих уроков.

В этой работе рассмотрены темы: 1. Первообразная

2. Интеграл.

По каждой теме приведены теоретические материалы, исторические сведения, набор различных заданий с решениями. Например, задачи на нахождения площади фигур, ограниченными различными тригонометрическими, иррациональными, показательными функциями и вычисления интегралов с параметрами, интегралов содержащие модули. А также приведены задания для самостоятельных работ.

Работа имеет следующие цели:

• обобщить и систематизировать теоретический материал по указанным темам;

• отработать навыки вычисления первообразной функций;

• отработать навыки вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона- Лейбница;

• овладеть умением применения первообразной функции при вычислении площадей криволинейных трапеций и других плоских фигур;

• достичь аккуратности при выполнении записей, решений и чертежей.

Данная работа может помочь учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практике, развить умственные способности, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Тема: Первообразная и интеграл

Теоретическая часть. Объяснение темы в виде лекции.

1. Под дифференцированием функциимы понимаем нахождение производной .

2. Нахождение функции по заданной ее производной называют операцией интегрирования.

3. Таким образом, операция интегрирования обратно операции дифференцирования. Следовательно, операция интегрирования состоит в том, что по заданной производной находят (восстанавливают ) функцию .

4. Функцию называют первообразной для функции на заданном промежутке , если для всех х из этого промежутка F'(x)=f'(x).

5. Множество всех первообразных для функции f(x) можно представить в виде где C

Основные свойства первообразной функции.

6.Теорема . Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на промежутке X то при любой постоянной функция F(x)+C также является первообразной для функции f(x) на промежутке X . любую первообразную функции f(х) на промежутке Х можно записать в виде F(x)+C.

7. Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции f (x) получаются с помощью параллельного переноса любого из этих графиков вдоль оси ОУ.

Таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных.

Правило1. Если F есть первообразная для f , а G- первообразная для g , то F+G есть первообразная для f+g.

Правило2. Если F есть первообразная для f , а k - постоянная, то функция kF-первообразная для kf.

Правило3. Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b -постоянные, причем k 0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b) .

Криволинейная трапеция и ее площадь

Определение. Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке функции f, ОХ и прямыми х=а и х =b.

Теорема . Пусть f -непрерывная и неотрицательная на отрезке функция, а S - площадь соответствующей криволинейной трапеции . Tогда если F есть первообразная для f на интервале , содержащем отрезок ,то S=F(b)-F(a).

Формула Ньютона -Лейбница

1. Интегралом от а до b функции f называют приращение первообразной F этой функции , т.е. F(b)-F(a).

2. Интеграл от а до b функции f обозначается так: , числа a и b

называют пределами интегрирования , a- нижним, b- верхним пределом. Знак называют знаком интеграла, функцию f- подынтегральной функцией, х- переменной интегрирования.

3. -это равенство называют формулой Ньютона - Лейбница.

4. Формулу для вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла можно записать таким образом:

Формула верна для любой функции f , непрерывной на отрезке .

Вычисление площадей с помощью интеграла

1. Пусть функция f непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

2. В том случае, когда непрерывная функция f(x) неположительна на отрезке , для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу S=

3. Пусть функция f(x ) непрерывна на отрезке и принимает на этом отрезке как положительные ,так и отрицательные значения. Тогда нужно разбит отрезок на такие части, в каждой на которых функция не изменяет свой знак, затем вычислить по приведенным выше формулам соответствующие этим частям площади и эти площади сложить.

Например, площадь фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле

4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций и и двумя прямыми х=а и х=b, где на отрезке , находится по формуле

Практическая часть.

Задачи с решениями

Задача 1.Найти все первообразные функции

а) г)

б) д

в) е)

ж)

Пользуясь таблицей первообразных элементарных функций и свойствами первообразных решим :

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Задача 2. Найти первообразную для функции )= график которой проходит через точку P(9; 1)

Решение: Представим в виде степени с рациональным показателем и воспользуемся формулой для первообразной степенной функции

Так как то решим уравнение относительно С

,

Ответ:

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

, ,

Решение:

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков этих функции

, , ,.

, , ,

,

..

(кв.ед).

Ответ:(кв.ед).

Задача 4.( Физическая задача). Тело движется прямолинейно со скоростью, изменяющейся по закону . Найти закон движения тела, если известно, что за первые две секунды оно прошло15м.

Решение. Множество всех первообразных функций , будет

, так как, Согласно условию

4+C=15, откуда С=11. Таким образом , искомый закон движения тела будет

Вычисление площадей фигур с помощью интеграла.

Задача 1.Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой

Решение. Находим пределы интегрирования : , тогда

(кв.ед)

Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми осью и графиком функции .

a=1 , b=8 , = .

Решение: f(x)= , a=1 , b=8

Задача 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, проходящей через точки (4;0) , (0;4) .

Решение: Запишем уравнение прямой, проходящей через точки (4;0) и (0;4).

Подставив в уравнение прямой координаты заданных точек, получим систему уравнений

, найдем

Следовательно, уравнение прямой имеет вид .

Абсциссы общих точек прямой и параболы определим :

, ,

Искомую площадь вычислим как разность площадей криволинейной трапеции

и треугольника .

Итак, площадь искомой фигуры

Задача 4.Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.

Решение. Уравнение касательной к графику проходящей через его точку Так как то уравнение касательной имеет вид или

По условию, начало координат принадлежит касательной, поэтому откуда .

Значение соответствует касательной точка касания . Значение соответствует касательной

точка касания . Площадь искомой фигуры равна сумме площадей криволинейных треугольников

Искомая площадь равна

Задача5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение: Находим точки пересечения данных линий.

1). Уравнение равносильно системе ,

2) . , Корень находим подбором (или по чертежу). - общая точка графиков функции

и .

3).Уравнение имеет единственный корень который находим подбором. Других корней быть не может.

Итак , общая точка графиков функций и

Искомую площадь найдем как сумму треугольника площадей трех фигур:

криволинейной трапеции и фигуры

Площадь фигуры равна разности площадей криволинейной трапеции и прямоугольного треугольника

Искомая площадь:

Задача 6. (Тригонометрические функции). Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

, осью и прямыми

Решение. Данная функция состоит из двух криволинейных трапеций, расположенных в разных полуплоскостях относительно оси .

Таким образом

Задача7. Найти площадь фигуры ,ограниченной линиями

Решение. Пределы интегрирования ; На отрезке; Значения функции не меньше соответствующих значений функции

Воспользуемся формулами

Ответ:

Задача 8. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

, .

Решение. Используем формулу: .

Пределы интегрирования .

Ответ:

Задача 9.(Геометрическая интерпретация формулы Ньютона -Лейбница)

В случае, когда для подынтегральной функции не удается найти первообразную. Можно использовать геометрический смысл интеграла и вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией на.

Вычислить интеграл

Решение:

Ответ:

Задача 10. Вычислить интеграл:

Решение:

Ответ:

Задача 11. (С модулю ) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Функцию можно переписать так

Построим графики заданных функций на одной координатной плоскости

Найдем пределы интегрирования, решим уравнение:

Возведем обе части уравнения в квадрат

, отсюда

)

Ответ:

Задача 12.(с модулю) Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций

Решение:

Найдем пределы интегрирования:

На отрезке значения функции не меньше соответствующих значений функции

Воспользуемся формулами

Ответ:

Задача 13.(С параметрами) Найти все числа a (a для каждого из которых выполняется неравенствo

Решение:

Поэтому, ,

,

Учитывая получим, что .

Ответ:

Задача 14. Найти все такие a, что

Решение:

Задача 15 .При каких a интеграл

1)Если

Получим a

2) Если

Ответ: a.

Карточки-инструкции.

Карточка 1 ( Нахождение общего вида первообразных).

Задание 1. Найдите общий вид первообразных функции

Инструкция по выполнению задания:

1.Выявите структуру правой части формулы, задающей функцию.

2.Примените известные правила нахождения первообразных в зависимости от выявленной структуры, используйте таблицу первообразных.

3. Запишите общий вид первообразных

Вариант объяснения решения:

1.Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух функций: и .

2. Для поиска первообразной нужно применять правило нахождения первообразной суммы двух функций, первообразную каждой из которых можно найти по известной таблице первообразных. Первообразная первой функции первообразная второй функции

, а первообразная суммы

3. Общий вид первообразных:

Задание 2.(самостоятельная работа).

Найти общий вид первообразных функций:

а) .

б)

в)

Карточка 2 (Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными функциями).

Задание1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Инструкции по выполнению задания:

Схематично изобразите заданные линии на координатной плоскости.

2. Выделите фигуру, ограниченную этими линиями.

3.Определите, является ли полученная фигура криволинейной трапеции или нет.

4. Если фигура является криволинейной трапецией, то подумайте, сумму или разности площадей каких криволинейных трапеций или других фигур нужно рассмотреть для получения ответа.

Вариант объяснения решения:

На координатной плоскости схематично изобразим указанные линии:

Заштрихуем фигуру, ограниченную снизу графиком функции

сверху- прямой

Заштрихованная фигура не является криволинейной трапецией. Но ее площадь легко вычисляется как разности площадей: из площади прямоугольника нужно вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции.

Для вычисления указанных площадей найдем абсциссы точек. Решим уравнение

.

Таким образом, (кв.ед),

=

Задание2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

, . (Выполните задание самостоятельно).

Применение интеграла.

Вычисление объемов тел с помощью интеграла.

Задача1. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

.

Решение: Изобразим тело вращения. Вычислим объем тела вращения с помощью определенного интеграла:

Пределы интегрирования

Задача 2. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Искомый объем равен разности двух объемов: , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями , и объема , для которого вращаемая фигура ограничена линиями

Задача 3.( Применение интеграла для вычисления работы переменной силы). Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10см, если сила 50Н растягивает пружину на 5см?

Решение. Согласно закону Гука, упругая сила ,действующая на пружину, возрастает пропорционально растяжению пружины, т. е.

Здесь перемещение выражено в метрах, а сила в ньютонах.

Для определения коэффициента пропорциональности согласно условию задачи полагаем при=0,05м. Отсюда 50=k т.е. k=1000 , следовательно, F=1000x. Искомая работа на основании формул:

равна

Примеры для самостоятельных работ.

Вычислите:

1. (отв. 8)

2. ( отв. )

3. ( отв. )

4. ( отв.)

5. (

6. (отв.

7. (отв. 0)

8. (

9. ( от)

10. (отв.9)

Вычислите площади фигур, ограниченной линиями

4.

5.

6.

7.

8.

9. .

Исторические сведения.

В первой половине XVII в. Операцию интегрирования записывали словами:

«совокупность всех неделимых», а затем - « все линии» (omnes lineae).

Такой способ выражения широко распространился благодаря сочинению Кавальери «Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota». (геометрия, развития некоторым новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин», 1635).

Точно так же писал Лейбниц в своих сохранившихся заметках (1675).

Ради сокращения записи он вместо omn вводит начальную букву слова

Summa, которая по начертанию того времени писалась как наш знак интеграла. Первоначально Лейбниц писал но уже через месяц он стал писать - это уже не сумма неделимых, а сумма площадей бесконечно малых прямоугольников. В печати современное обозначение появилось в 1686г. В это же время И. Бернулли обозначал операцию интегрированию буквой I по первой букве введенного им названия «интегральное исчисление». В английской литературе знак появился в 1693г., затем в 1701г. и был принят немедленно.

Слово «интеграл» употребил впервые Я. Бернулли в 1690 г. Возможно, термин образован от латинского integer - «целый». По другому предположению, Я. Бернулли произвел термин от integro -«приводить в

прежнее состояние», «восстанавливать» (действительно, восстанавливается первообразная функция). Как бы то ни было, термин был обсужден И.Бернулли и Лейбницем и «принят» в 1696г. Тогда же И. Бернулли предложил название «интегральное исчисление» (calculus integralis) Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило болеераннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797г.) Латинское слово primitives переводится как «начальный»:

- начальная (или первоначальная, или первообразная) для

, которая получается из дифференцированием.

В современной литературе множество всех первообразных для функции

, называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

называют определенным интегралом. (обозначение ввел

К. Фурье (1768 - 1830), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер).

Литература

1. А. Н. Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М.Ивлев, С. И. Шварцбурд . Алгебра и начала анализа, учебник для 10-11кл.,Москва
«Просвещение» 2001.

2. Л.Д. Лаппо, М.А.Попов . ЕГЭ. Математика. Эффективная методика, издательство «Экзамен» ,Москва, 2009.

3. Л.И.Звавич, В.К.Смирнова, И.И.Иванов. Алгебра ,11 кл. Решение Экзаменационных задач по алгебре. Москва, издательский дом «Дрофа» 1996.

4. Учебно - методическая газета «математика» , 2001-2009 , издательский дом «первое сентября».

5. А.Г.Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа, учебник для 11 кл.

Москва , 2007.

6. В.С. Крамор. Задачи с параметрами и методы их решения. Издательство

«Мир и образование» ,2007.

7. Г.И. Глейзер. История математики в школе .Москва «просвещение» ,1982.