Поурочное планирование 8 класс

Повторение:
числовые и алгебраические выражения

Цели: повторить правила выполнения действий с обыкновенными и десятичными дробями, понятие процента, понятие и свойства степени, правила выполнения действий с одночленами и многочленами; рассмотреть решение заданий повышенной трудности и нестандартных заданий.

Ход урока

I. Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

II. Решение задач.

1) Повторить правила выполнения действий с десятичными дробями, вычислив рациональным способом:

Вспомнить правила выполнения действий с обыкновенными дробями:

Рассмотреть решение примеров, в которых встречаются и десятичные и обыкновенные дроби.

а)

б)

в)

= 22,5 - (3,5  4,4 - 3,4  3,5)  3,5 =22,5 - 3,5 (4,4 - 3,4)  3,5 =

= 22,5 - 3,5  3,5 = 22,5 - 12,25 = 10,25;

г)

2) Повторить определение процента, правила перевода десятичной дроби в процент и процента в десятичную дробь, правила нахождения процента от числа и нахождение числа по его проценту.

Затем рассмотреть решение задачи:

В результате инфляции цену товара увеличили на 25 %. В связи с низким спросом цену товара снизили на 10 %. На сколько процентов последняя цена стала больше первоначальной?

3) Повторить определение степени, её свойства, записать их на доске и в тетрадях.

Рассмотреть решение более сложных заданий на данную тему:

а) б)

Сильным учащимся можно предложить решение следующих заданий:

а) определите, делится ли выражение 8¹⁰ - 8⁹ - 8⁸ на 55;

б) определите, делится ли выражение 12⁸ 9¹² на 6¹⁶.

4) Вспомнить понятия одночленов и многочленов, повторить правила выполнения действий с ними.

Сильным учащимся предлагается задание:

а) Какое наименьшее целое число надо прибавить к произведению
(x - 3)(x - 7), чтобы оно стало положительным при любом x?

б) Чему равно (a + b)³, если имеет место следующее равенство a² - 4a + + 5 + b² = 0?

Закрепить навык разложения многочленов на множители.

III. Подведение итогов.

Домашнее задание.

Повторение: графики функций

Цели: повторить понятия координатной прямой и координатной плоскости, симметрии; закрепить навык решения задач на проценты и навык работы с формулами сокращенного умножения; развивать умение строить графики на координатной плоскости.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1) На доске или на карточках записать примеры для устного вычисления:

а) 1,7  3,8 + 1,7  6,2; б) 2,3  1,2 - 1,2  2,2;

в) г)

д)

2) Разобрать решение следующих задач:

а) Торт был разрезан на 12 кусков. Оля съела 25 % всего торта. Сколько кусков осталось?

б) Ваня, Степа и Саша собирали грабы. Степа собрал 15 грибов, что составило 10 % всех собранных грибов. Сколько всего было собрано грибов? Сколько грибов собрал Саша, если в его корзине 60 % всех грибов?

3) Заменить звездочки числами или одночленами так, чтобы равенство стало верным:

а) (2x + *)² = 4x² + 12x + *;

б) 9c² - * = (3c - 2a)(3c + *);

в) (3b - *)² = *- 30bc + *;

г) (5x + *)² = * - * + 9y².

III. Обучающая самостоятельная работа.

Ответы проверяются тут же на уроке. Если решение какого-либо примера не получилось у большинства учащихся, то его решение рассматривается на доске.

Варианты заданий:

а)

б)

в)

г)

д) 12а² (3a² + 4) - 3  4a (12a - 13) = 36a⁴ + 48a² - 144a² + 156a =

= 36a⁴ - 96a² + 156a.

е) 5a²(3a² + 4) + 12a²(12a - 13) - 4a(a² - a + 1) = 15a⁴ + 20a² +

+ 144a³ - 156a² - 4a³ + 4a² - 4a = 15a⁴ + 140a³ - 132a² - 4a.

ж)

з)

IV. Решение задач.

1) Повторить понятие числового промежутка на координатной прямой.

2) Повторить правила работы с координатной плоскостью, рассмотрев следующее задание:

В прямоугольной системе координат отметить точки A(-2; 7), B(-5; -2), C(-6; 6), D(3; 0), E(2; -3), F(-2; -4),. Построить прямые AB, CD, EF и выписать координаты точек пересечения данных прямых.

Затем повторить понятие симметрии относительно прямой.

3) При наличии времени можно построить по координатам рисунок:

(-8; 10), (-7; 9), (-6; 7), (-5; 3), (8; 3), (9; 2), (14; -4), (9; 0), (9; -3),
(11; -5), (11; -8), (10; -10), (8; -10), (9; -8), (8; -5), (6; -4), (5; -2), (3; -3),
(-5; -3), (-5; -8), (-6; -10), (-8; -10), (-7; -8), (-7; -2), (-9; -1), (-8; 5),
(-9; 6), (-12; 6), (-13; 8), (-10; 8), (-10; 9), (-8; 10).

Рисунок собаки на координатной плоскости

V. Подведение итогов.

Домашнее задание.

Повторение:
линейные уравнения и системы уравнений

Цели: закрепить умение работать с координатной плоскостью; повторить понятия уравнения, корней уравнения, системы уравнений; развивать умение решать уравнения, системы уравнений и задачи с их использованием.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Провести фронтальный опрос. На доске построить координатную плоскость и ответить на следующие вопросы:

а) отметьте точку A(2; 3) на координатной плоскости;

б) отметить точку B симметричную точке A относительно оси Ox;

в) отметить точку C симметричную точке A относительно оси Oy;

г) отметить точку D симметричную точке A относительно прямой x = -1;

д) отметить точку E симметричную точке A относительно прямой y = 2;

е) относительно какой прямой симметричны точки D и C?

ж) симметричны ли точки B и E? если да, то относительно какой прямой?

III. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) В прямоугольной системе координат отметить точки A, B, C, D, E, F с заданными координатами. Построить прямые AB, CD, EF и выписать координаты точек пересечения данных прямых.

A(5; 2), B(2; -7), C(1; -3),
D(-5; 0), E(-6; -3), F(0; 1).

A(0; 7), B(6; -5), C(-4; 1),
D(5; 4), E(-3; -1), F(5; -3).

2) Построить в одной системе координат графики данных функций и выписать координаты точки их пересечения.

y = 2x + 1 и y = 6x -7

y = 4 + 2x и y = 7x -1

О т в е т ы:

Вариант 1

Вариант 2

1) (6; 5), (- 3; - 1), (3; - 4).

1) (2; 3), (- 7; 0), (5; - 3).

2) (2; 5)

2) (1; 6)

Самостоятельную работу можно проверить тут же по данным ответам.

IV. Решение задач.

1) Вспомнить понятия уравнения, правила решения уравнений, понятие корней уравнения. Рассмотреть случаи, когда уравнение не имеет корней, имеет множество корней.

Сильным учащимся предлагаются задания повышенной трудности.

Решить уравнения:

а)

б)

Р е ш е н и е.

а) 6x² - 2x + 21x - 7 - 5x² - 15x + x + 3 = x² + 2x + 1,

6x² - 5x² - x² - 2x + 21x - 15x + x - 2x = 1 + 4.

3x = 5,

x =

б) x³ - 6x² + 12x - 8 + x³ + 6x² + 12x + 8 = 2(x² - 3).

2x³ + 24x = 2x³ - 54.

24x = -54,

4x = -9,

x = -2,25.

2) Повторить понятие системы уравнений, решения системы уравнений.

Для сильных учащихся предлагается отдельное задание.

Решить систему уравнений:

О т в е т: x = 9; y = -3; z = 1; u = 5.

3) Решить задачи на составление уравнений и систем уравнений.

а) Пусть было запасено х кг картофеля, а израсходовали 0,245x кг.

Имеем уравнение 0,245 х = 78,4

х = 320

О т в е т: 320 кг.

б) Пусть в корзине было х кг винограда, а в ящике у кг. Получим уравнение 2х = у.

После того, как в корзину добавили виноград, в ней стало (х + 2) кг, получаем еще одно уравнение: х + 2 = у + 0,5.

Имеем систему уравнений:

О т в е т: 1,5 кг.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание.

Обобщающее повторение

Цели: проверить умение учащихся решать задания по повторенному материалу. Рассмотреть сложные и нестандартные задания на темы: «многочлены», «линейные уравнения и их системы», «графики линейных функций».

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Действие с многочленами.

1) Фронтальный опрос по следующим вопросам:

1. Какое выражение является одночленом?

2. Что такое многочлен?

3. Расскажите правила умножения одночленов.

4. Расскажите правила умножения многочленов.

5. Какие формулы сокращенного умножения вам известны?

6. Какие способы разложения на множители известны?

2) Представьте в виде многочлена:

а)

б)

3) Разложите на множители следующие выражения:

а)

б)

в)

г)

III. Графики линейных функций.

Рассматривается линейная функция y = ax + b.

При каких значениях a и b ее график:

а) проходит через начало координат;

б) проходит через начало координат и точку M (-1; 3);

в) параллелен графику функции y = 3x + 5;

г) отсекает на осях координат равные отрезки;

д) является биссектрисой координатного угла третьей четверти;

е) проходит через точки M (3; 8) и N (-3; 7);

ж) проходит только через те точки, координаты которых имеют один знак?

IV. Понятие процента.

1) Устно разобрать следующие задания:

а) переведите проценты в десятичные дроби:

45 %, 2 %, 60 %, 7 %, 82 %, 200 %;

б) переведите десятичные дроби в проценты:

0,63; 0,81; 0,09; 0,3; 1,5; 0,7;

в) найдите процент от числа:

10 % от 70, 50 % от 16, 20 % от 80, 3 % от 120.

2) Решить следующие задачи:

а) В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г ее 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

б) Цену на товар сначала повысили на 20 %, а затем понизили на 20 %. На сколько процентов изменилась первоначальная цена?

в) Что больше: 20 % от 10 % данного числа или 10 % от его 20 %?

V. Решение уравнений и их систем.

1) Последовательно решить следующие уравнения и системы уравнений и на координатной плоскости отметить заданные точки.

1)

2) (x; y);

3) (x; y);

4)

5) (x; y);

6)

О т в е т ы:

Рисунок флага на координатной плоскости

1) Пусть взяли х т стали с 5%-ным содержанием никеля и у т - с 40%-ным содержанием.

Получим уравнение: х + у = 140.

2) (0,05х + 0,4у) т - количество никеля в получившемся сплаве.

Так как оно составляет 140  0,3 = 42 т, то получим второе уравнение: 0,05х + 0,4у = 42.

3) Имеем систему уравнений:

Решим эту систему:

О т в е т: 40 т; 100 т.

Сильным учащимся можно предложить тестовые задания.

VI. Тестирование.

В а р и а н т 1

1) Вычислите

а) 10; б) 0,4; в) 20; г) 2; д) 0,2.

2) Представьте в виде многочлена

(a + b)(a - b + 1) - (a - b)(a + b - 1).

а) 2b; б) 2a - 2b; в) 2a;

г) 2a² + 2b²; д) 2b² - 2a.

3) Для экскурсии надо было собрать определенную сумму денег. Если каждый экскурсант внесет 750 рублей, то на оплату не хватит 1200 рублей, а если каждый экскурсант внесет 800 рублей, то сверх нужной суммы останется 1200 рублей. Сколько человек должны были принять участие в экскурсии?

а) 38; б) 48; в) 45; г) 46; д) 47.

4) Первый раз цену товара увеличили на 25 %, а второй раз цену товара увеличили еще на 20 %. На сколько процентов надо снизить последнюю цену товара, чтобы его цена стала равной первоначальной?

а) 45; б) 48; в) 50; г) д) 42.

5) Чему равно ab, если a - b = 1 и (a² - b²)(a - b) = 9?

а) 19; б) 22; в) 21; г) 20; д) 24.

6) Разложите на множители b² + ab - 2a² - b + a.

а) (a - b)(2a - b); б) (a + b)(2a - b - 1);

в) (a - b)(2a - b - 1); г) (b - 2a)(a - b + 1);

д) (b - a)(2a + b - 1).

В а р и а н т 2

1) Вычислите

а) 0,9; б) 0,7; в) 0,8; г) 0,6; д) 0,5.

2) Представьте в виде многочлена выражение

(a + 3b)(a + b + 2) - (a + b)(a + 3b + 2).

а) 2a - b; б) a - 2b; в) 4a + 2b;

г) 4b; д) 6ab.

3) У отца двое сыновей. Он старше старшего сына в 3 раза и старше младшего на 40 лет. Старший сын старше младшего брата вдвое. Сколько лет старшему брату?

а) 16; б) 10; в) 12; г) 15; д) 18.

4) Выпуск продукции на предприятии увеличился в первый год на 20 %, а во второй год на 10 %. На сколько процентов (по отношению к первоначальному уровню) увеличился выпуск продукции?

а) 50; б) 28; в) 30; г) 32; д) 36.

5) Вычислите a³ + 3a² - 9a - 27, если a² + 6a + 9 = 0.

а) 0; б) 3; в) 1; г) 4; д) - 1.

6) Разложите на множители a³ + 9a² + 27a + 19.

а) (a + 1)(a² - 3a + 19); б) (a + 1)(a² + 3a + 19);

в) (a + 1)(a² + 8a + 19); г) (a - 1)(a² + 3a + 19);

д) (a - 1)(a² + 8a + 19).

О т в е т ы:

VII. Подведение итогов.

Домашнее задание.

Повторение: алгебраические дроби

Цели: провести анализ контрольной работы; повторить правила выполнения действий с алгебраическими дробями; рассмотреть различные примеры на упрощение выражений различной сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Выставить оценки за контрольную работу.

В а р и а н т 1

Задание 5*.

Найдите область определения данной функции:

Р е ш е н и е:

Чтобы найти область определения данной функции, надо определить при каких значениях x дробь имеет смысл. Необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и в знаменателе не было 0.

x² + 3x - 10 ≥ 0;

x² + 3x - 10 = 0;

x₁ = -5, x₂ = 2;

x (-∞; -5][2; +∞).

x + 5 ≠ 0, x ≠ -5.

Область определения данной функции: (-∞; -5)[2; +∞).

В а р и а н т 2

Задание 5*.

Найдите область определения данной функции:

Р е ш е н и е:

Для дроби необходимы условия:

2 - 5x - 3x² ≥ 0

x + 2 ≠ 0

3x² + 5x - 2 ≤ 0;

x + 2 ≠ 0, x ≠ -2.

Область определения данной функции

III. Решение задач.

1) Повторить на примере элементарных примеров правила выполнения действий с алгебраическими дробями:

а) б)

в) г)

2) Рассмотреть простые выражения на все действия с алгебраическими дробями:

а) б)

в) г)

3) Рассмотреть более сложные выражения на упрощение:

а)

б)

в)

4) Повторить правила упрощения выражений с отрицательными целыми степенями. Рассмотреть упрощение выражений на данную тему (подставить и вычислить в заданных примерах):

а)

б)

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: упростить

Повторение: решение уравнений

Цели: повторить правила решения линейных, квадратных, рациональных, иррациональных уравнений; развивать умение решать различные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Вспомнить понятие уравнения, его корней и решения. Решить данные уравнения устно (по карточкам):

5x = 35; -7x = 14; x² = 100; x² + x = 0; x² + 9 = 0.

III. Решение задач.

1) Повторить правила решения и оформления полных и неполных квадратных уравнений:

а) 4 - 36x² = 0; б) 4x² - x = 0;

в) x² - 5x - 1 = 0; г) 5x² - 7x + 2 = 0;

д) -x² - 2x + 15 = 0; е) x(2x + 1)3x + 4.

2) Повторить правила решения уравнений с помощью замены переменной:

а) x⁴ - 7x² + 12 = 0; б) (x² - 3x)² - 2(x² - 3x) = 8.

3) Рассмотреть решение рациональных уравнений:

а) б)

4) Повторить правило решения иррациональных уравнений:

а) б)

в) г)

д) е)

5) Повторить правила решения уравнений, содержащих модуль:

а) |2x - 3| = 7; б) x² - 2|x| - 8 = 0.

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить уравнение:

а) б) x⁴ + 5x² - 36 = 0;

в)

Повторение: решение неравенств

Цели: повторить понятие неравенства, его свойства; развивать умение решать различные неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

1) Сравните значение a и b, если известно:

а) a - b = -3,1; б) a - b = 0,1; в) a - b = (-0,3)⁴.

2) Докажите неравенство:

а) (a - 4)(a + 7) < (a + 5)(a - 2); б)

3) Известно, что a > b. Сравните значения следующих выражений:

а) a - 10 и b - 10; б) 7a и 7b; в) -11a и -11b.

III. Решение задач.

1) Повторить правила решения линейных неравенств:

а) 5(x + 2) < x - 2(5 - x); б) 2 - 5(x - 1) ≤ 1 + 3x;

в) 17 - (x + 2) > 12x - 11; г) 3x - (2x - 7) ≤ 3(1 + x).

2) Закрепить правила решения и оформления квадратных неравенств:

а) x² - 121 < 0; б) x² + 3x - 4 > 0;

в) x² + 5x ≥ 0; г) 2x² - 3x - 2 > 0.

3) Рассмотреть решение неравенств со знаменателем:

а) б)

4) При каких значениях y имеет смысл выражение:

а) б)

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить неравенство:

а) 3 - 4(x + 1) < 8 + 5x; б) -x² + 3x + 4 > 0; в) x² - 10x ≤ 0.

Повторение: решение задач

Цели: повторить правила решения задач с помощью уравнений или неравенств; развивать умение решать задачи различного уровня сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Решение задач.

Данные задачи лучше приготовить на карточках в нескольких экземплярах, а учеников рассадить по группам. Таким образом, чтобы учащиеся все задачи разбирали в группах, совещались. А в заключении урока каждая из групп должна показать свои решения, а кто-нибудь из группы несколько задач объясняет на доске, после чего происходит обсуждение задач всем классом.

1) Одно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330.

2) Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм.

3) Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

4) Первый велосипедист проехал из поселка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км большей скорости первого, а возвращался в поселок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?

5) От города до поселка автомобиль доехал за 3 часа. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, то проехал бы это расстояние за 2 часа. С какой скоростью ехал автомобиль и чему равно расстояние от поселка до города?

6) Бабушка старше мамы на 20 лет, а мама старше дочери в 2,5 раза. Вместе им 116 лет. Сколько лет каждой из них?

7) Лодка может проплыть расстояние между двумя селениями, стоящими на берегу реки, за 4 часа по течению реки и за 8 часов против течения. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки и расстояние между селениями.

8) Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется столько же времени, что и при наполнении через вторую и третью трубы одновременно. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна через каждую трубу, если через первую наполняют бассейн на 16 часов быстрее, чем через третью, и на 4 часа быстрее, чем через вторую?

III. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 27.33; 34.38.

Итоговое Повторение

Цели: провести анализ контрольной работы; рассмотреть решение заданий, различного уровня сложности и проверяющие умения: вычислять различные числовые выражения, выполнять действия с алгебраическими дробями, решать неравенства и уравнения, выполнять построение графиков.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Выставить оценки за контрольную работу. Задания, с которыми не справилось большинство учеников, разбираются на доске всем классом.

III. Решение задач.

1) Найдите значение выражения при значениях x = 0,2; y = -6.

2) Докажите, что при всех значениях a ≠ ±1 значение данного выражения не зависит от переменной a:

3) Постройте графики данных функций и устно расскажите об их свойствах:

а) y = -(x - 3)² + 2; б) в)

4) Упростите выражения, вспоминая свойства квадратного корня:

а) б) в)

5) Упростите выражение

6) Освободитесь от знака корня в знаменателе:

а) б) в)

7) Докажите неравенства:

а) (x + 7)² > x(x + 14); б) y² + 5 ≥ 10(y - 2).

8) Известно, что a > 5. Оцените следующие выражения:

а) 13a; б) a - 12; в)

9) Известно, что 1 < x < 2,5. Оцените следующие выражения:

а) 5x; б) x + 12,3; в) -10x; г)

10) Преобразуйте выражения:

а) б) в)

11) Пусть x₁ и x₂ корни уравнения x² - 10x + 9 = 0. Не вычисляя корней данного уравнения, найдите значение выражения

IV. Подведение итогов.

Основные понятия

У р о к 1

Цели: провести анализ тестирования; ввести понятие алгебраической дроби и допустимых значений для дроби; формировать умение определять область допустимых значений для любой дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ тестирования.

Выставить оценки за тестирование. Задания, с которыми учащиеся плохо справились, разобрать на доске. Желательно разобрать 5 и 6 задания обоих вариантов.

В а р и а н т 1

Задание 5.

Чему равно ab, если a - b = 1 и (a² - b²)(a - b) = 9?

Р е ш е н и е:

Теперь составим систему уравнений и решим ее

О т в е т: 20.

Задание 6.

Разложите на множители b² + ab - 2a² - b + a.

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

Задание 5.

Вычислите a³ + 3a² - 9a - 27, если a² + 6a + 9 = 0.

Р е ш е н и е:

О т в е т: 0.

Задание 6.

Разложите на множители a³ + 9a² + 27a + 19.

Р е ш е н и е:

О т в е т:

III. Объяснение нового материала.

Вспомнить понятие дроби и выписать несколько дробей на доске. Затем ввести понятие алгебраической дроби.

1) Определить, является ли данная дробь алгебраической:

2) Рассмотреть дробь и найти ее значения при заданных переменных:

а) x = 1, y = 1; б) x = 2, y = 3; в) x = 3, y = -1.

Сделать соответствующие выводы: нельзя найти значение данной дроби при переменной х = 2 и при переменной у = -1, так как знаменатель дроби обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Ввести понятие области допустимых значений.

Допустимые значения дроби - это такие значения, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

IV. Закрепление нового материала.

1) Решить задания 1.2; 1.3 (а); 1.4 (г); 1.5; 1.8.

2) Сравнить значения алгебраических дробей и при заданных значениях переменных:

а) a = 8, b = 3; б) a = 1, b = 3; в) a = 50, b = 8.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать и изучить теорию из учебника на с. 7-10. Решить задачи 1.1; 1.3 (б, г); 1.4 (а, в);1.10.

У р о к 2

Цели: закрепить понятие алгебраической дроби; объяснить составление математической модели для задачи; развивать умение находить значения алгебраических дробей, находить область допустимых значений для дробей; сформировать умение составлять математические модели для задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четырем учащимся даются индивидуальные задания на карточках, остальная часть класса проверяет домашнее задание.

Карточка 1

Найдите значение выражения при x = -2.

Карточка 2

При каких значениях дробь не имеет смысла?

Карточка 3

При каких значениях значение дроби равно нулю?

Карточка 4

Сравните значения дробей и при a = 3, b = 5.

Учащиеся, выполнившие индивидуальные задания, сдают свои работы.

III. Актуализация знаний.

1) Найти значение выражения, заполнить таблицу:

2) Придумайте алгебраическую дробь с двумя переменными. Для нее найдите область допустимых значений, значения переменных, при которых значение дроби равно нулю.

3) Разобрать решение заданий 1.6, 1.7, 1.12, 1.20, 1.26.

Для выполнения этих заданий учащимся потребуется широкий круг опорных знаний и умений, сформированных ранее:

- умение выполнять числовые подстановки в буквенные выражения;

- умение решать линейные уравнения;

- использовать для решения некоторых уравнений условие равенства произведения нулю;

- выполнять действия с положительными и отрицательными числами;

- применять формулы сокращенного умножения.

Общей алгоритм рассуждений таков: находят значение переменной, при которых знаменатель дроби обращается в нуль, и затем исключают эти значения из множества всех чисел.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель объясняет составление математической модели на примере задачи, разобранной в учебнике на странице 9-10.

Учитель поясняет, что уравнение, составленное по условию задачи, представляет собой математическую модель. Решение задачи состоит из трех этапов:

- составление математической модели;

- работа с составленной моделью;

- ответ на вопрос задачи.

В некоторых задачах используется только первый этап (1.16; 1.17)

№ 1.17.

где х - скорость второй группы (км/ч).

Вопрос учащимся:

- Почему мы не можем использовать второй и третий этапы?

№ 1.19.

1 э т а п. Составление математической модели.

Пусть х км/ч - скорость автобуса, тогда скорость автомобиля - (х + 30) км/ч.

- время, затраченное автобусом.

- время, затраченное автомобилем.

Так как они затратили одинаковое время, то получим уравнение:

2 э т а п. Работа с составленной моделью.

Используем свойство пропорции:

160 (x + 30) = 280x

160x + 4800 = 280x

12x = 4800

x = 40

3 э т а п. Ответ на вопрос задачи.

Скорость автобуса равна 40 км/ч.

О т в е т: 40 км/ч.

V. Закрепление нового материала.

1) Решить задачи № 1.16; 1.19; 1.21.

В классах с высоким уровнем подготовки можно разобрать одну или несколько сложных задач № 1.33; 1.38.

2) При наличии времени рассмотреть несколько нестандартных заданий:

1. Какое из данных выражений всегда будет целым, если a является натуральным числом:

а) б) в)

г) д)

2. Если x, y, z, t - следующие друг за другом натуральные числа, то какое из данных выражений обязательно является четным числом:

а) б) в)

г) д)

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить теорию из учебника §1. Решить задачи 1.15; 1.18; 1.27.

Основное свойство алгебраической дроби

У р о к 1

Цели: повторить основное свойство дроби, рассмотреть это свойство для алгебраических дробей; формировать умение самостоятельно работать с книгой, сокращать дроби и приводить дроби к одинаковому знаменателю.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) Установите, при каких значениях переменной, алгебраическая дробь не имеет смысла:

№ 1.5 (а, г)

№ 1.5 (б, в)

2) Найдите значение алгебраической дроби при заданной переменной:

№ 1.22 (б)

№ 1.22 (в)

3*) Творческое задание:

№ 1.39 (а, г)

№ 1.39 (б, в)

Данную самостоятельную работу проверить тут же на уроке по ответам.

III. Объяснение нового материала.

Новый материал изучается учениками самостоятельно. Чтобы учащимся было удобно работать с книгой, дается алгоритм данной работы:

1) Внимательно прочитать текст;

2) перечитать текст, отмечая на полях карандашом главное по тексту и правила;

3) выписать правила в тетрадь;

4) разобрать примеры, приведенные в учебнике;

5) самостоятельно выполнить задания, данные учителем, используя правила и разобранные примеры;

6) обсудить всем классом изученный материал;

7) провести проверку.

П р и м е р ы д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я:

1) Привести дробь к знаменателю 24, 80, 8y, 16x²y.

2) Привести к общему знаменателю данные дроби:

а) и б) и в) и

Проверка заданий происходит на доске.

IV. Закрепление нового материала.

1) Выполнить задания № 2.1; 2.2; 2.3 (г); 2.4; 2.6; 2.9.

2) В классах с высоким уровнем обученности можно выполнить задания:

1. Сократить дробь

2. Упростите дробь и найдите ее значение:

а) при

б) при x = -0,1.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 2, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 2.3 (а - в); 2.5; 2.8.

У р о к 2

Цели: закрепить умения применять основное свойство дроби; проверить умение сокращать дроби и приводить их к наименьшему знаменателю.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске для самостоятельного решения заданий вызываются четыре ученика.

Карточка 1

Сократить дроби:

Карточка 2

Найдите значения выражений:

Карточка 3

Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

и и

Карточка 4

Приведите дроби к общему знаменателю:

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы остальные учащиеся класса проверяют домашнее задание и выполняют № 2.10, 2.15, решение которых комментируется.

Затем проверяются задания, выполненные на доске.

IV. Решение задач.

Перед выполнением заданий необходимо обратить внимание учащихся на следствие из основного свойства дроби:

и на преобразования типа:

(a - b)² = (b - a)².

1) Решить задания № 2.12.

а)

б)

2) Для сильных учащихся предлагаются следующие задания:

1. Сократить дроби:

а) О т в е т:

б) О т в е т:

в) О т в е т:

2. Упростите дробь и найдите ее значение:

при a = -1; 3. О т в е т: a(a + 3); -2; 18.

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) При каких значениях x дробь не имеет смысла?

1) При каких значениях a дробь равняется нулю?

2) Сократите данные дроби:

а)

б)

в)

а)

б)

в)

3) Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

О т в е т ы:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

1

0,5

-5,5

2 (а)

2 (б)

2 (в)

3

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание.

Сложение и вычитание алгебраических дробей
с одинаковыми знаменателями

У р о к 1

Цели: повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями; объяснить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; формировать умение выполнять действия сложения и вычитания с алгебраическими дробями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. На доске разобрать задания, которые вызвали затруднения при решении.

В а р и а н т 1

Задание 2(в).

Сократить дробь

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

Задание 2(в).

Сократить дробь

Р е ш е н и е:

О т в е т:

Учащимся, получившим неудовлетворительные оценки, дается домашнее задание, аналогичное проведенной самостоятельной работе.

1) При каких значениях x дробь не имеет смысла?

2) Сократить данные дроби:

а) б)

в)

3) Привести дроби к одинаковому наименьшему знаменателю:

III. Объяснение нового материала.

1) Повторить правила сложения и вычитания числовых дробей с одинаковыми знаменателями. Затем устно решить следующие примеры:

2) Вспомнить правила сложения и вычитания многочленов и письменно на доске выполнить следующие упражнения:

3) Учащиеся должны предложить правила выполнения следующих примеров, записанных на доске:

Решение примеров обсуждается. Правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями записываются в тетрадь.

IV. Закрепление нового материала.

1) Решить задания № 3.1 (устно), 3.3; 3.4; 3.7; 3.12; 3.14.

2) При наличии времени решаются задания:

1. Докажите, что выражение при всех значениях a ≠ 2 принимает положительные значения.

2. Представьте в виде суммы или разности целого выражения и дроби дробь:

а) б) в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать §3 учебника, выучить правила. Решить задачи № 3.2; 3.6; 3.11; 3.10.

У р о к 2

Цели: повторить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; развивать умение выполнять действия с алгебраическими дробями; рассмотреть более сложные задания на сложение и вычитание алгебраических дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четыре ученика выполняют на доске самостоятельную работу, предложенную на карточках.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы проверяется решение домашних заданий. Устно выполняется задание № 3.2. Затем проверяются индивидуальные задания, решенные на доске.

Письменно в тетрадях, комментируя решения, учащиеся выполняют задание № 3.9.

IV. Решение задач.

1) Решить задачи № 3.8; 3.18; 3.19. Для сильных учащихся предлагаются № 3.26; 3.27.

2) Выполнить сложение и вычитание дробей:

а) б)

в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 3.15; 3.17; 3.22.

Сложение и вычитание алгебраических дробей
с разными знаменателями

У р о к 1

Цели: закрепить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями; объяснить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями; формировать умение выполнять действия с алгебраическими дробями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

1) Повторить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Проверить ответы домашнего задания, если возникли вопросы по каким-либо примерам, разобрать их на доске. Письменно на доске или с устными комментариями решить в тетради задания № 3.20.

2) Вспомнить правила приведения алгебраических дробей к одинаковому знаменателю:

а) и б) и в) и

г) и д) и)

III. Объяснение нового материала.

Учитель объясняет правила сложения и вычитания алгебраических дробей на следующих примерах:

а) б) в)

Вместе с учащимися нужно выработать алгоритм выполнения действий сложения и вычитания дробей.

1. Знаменатели дробей разложить на множители.

2. Найти наименьший общий знаменатель для дробей.

3. Привести все дроби к найденному знаменателю.

4. Сложить или вычесть дроби по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотреть пример:

1.

2. Наименьший общий знаменатель a(2a + 1)(2a - 1).

3.

4.

IV. Закрепление нового материала.

1) Решить задания № 4.3; 4.7; 4.9.

2) Сильным учащимся предлагается решить задания:

1. Докажите тождество

2. Зная, что найдите значение дроби:

а) б) в)

3. При каком значении переменной b выражение тождественно равно дроби

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 4, выучить правила. Решить задачи № 4.4; 4.6.

У р о к 2

Цели: закрепить умение складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями; рассмотреть решение заданий различной сложности с выполнением действий сложения и вычитания.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для выполнения заданий на карточках.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы у доски остальные учащиеся проверяют домашнее задание. Затем проверяются индивидуальные задания. После этого проводится устная работа.

Назовите общий знаменатель дробей:

а) и б) и в) и

г) и д) и е) и

Письменно всем классом решаются задания № 4.17.

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть решение задач № 4.18; 4.26; 4.25.

2) Так же разбирается решение нестандартных заданий:

1. Вычислить:

а) О т в е т:

б) О т в е т:

2. Найдите a и b из тождества:

а) О т в е т:

б) О т в е т: a = 0,4; b = -0,4.

3. Упростите выражение:

.

О т в е т:

V. Обучающая самостоятельная работа.

Предлагаются следующие варианты:

Вариант 1

Вариант 2

№ 4.10 (а, г), 4.17 (б, в), 4.35 (а, г)

№ 4.10 (б, в), 4.17 (а, г), 4.35 (б, в)

Данные задания проверяются тут же на уроке, оценки выставляют выборочно. Если есть задания, не решенные учениками, то они разбираются на доске.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 4.37.

У р о к 3

Цели: повторить правила сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями; проверить умение учащихся складывать и вычитать алгебраические дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

На доске рассмотреть примеры на сложение и вычитание алгебраических дробей, при решении повторить этапы выполнения данных действий.

а) б)

III. Решение задач.

1) Рассмотреть решение задач № 4.49; 4.53; 4.54.

2) Выполнить сложение и вычитание дробей:

а)

б)

в)

1 э т а п.

Разложим знаменатели на множители:

xy - x - 4y + 4 = x(y - 1) - 4(y - 1) = (y - 1)(x - 4).

Общий знаменатель: (y - 1)(x - 4).

2 э т а п.

Выполним преобразования:

3) Сильным учащимся предлагаются для решения следующие задания:

1. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю.

2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения неотрицательно.

3. Найдите ab из тождеств:

а) б)

IV. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Выполнить действия:

1.

2.

3.

1.

2.

3.

О т в е т ы:

Задание

1

2

3

Вариант 1

Вариант 2

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 4.50; 4.55.

Умножение и деление алгебраических дробей

Цели: повторить правила умножения и деления числовых дробей; объяснить правила умножения и деления алгебраических дробей.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. На доске разобрать задания, которые вызвали затруднения при решении.

В а р и а н т 1

Задание 3.

Выполнить действия

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

Задание 3.

Выполнить действия

Р е ш е н и е:

О т в е т:

Учащимся, плохо справившимся с самостоятельной работой, дать для домашнего решения задания, аналогичные самостоятельной работе.

Выполнить следующие действия:

1)

2)

3)

III. Объяснение нового материала

1) Вспомнить правила умножения и деления числовых дробей. Затем устно решить следующие примеры:

2) Повторить правила сокращения дробей, выполнив несколько примеров:

3) Поэтапно решить следующие примеры:

Примеры и решение записывается на доске. Лучше, если оформление и решение последнего примера покажет сам учитель.

IV. Закрепление нового материала.

1) Решить примеры № 5.4; 5.7; 5.12; 5.16; 5.19.

2) При наличии времени в классе с высоким уровнем подготовки можно предложить следующие задания:

Упростите выражения:

а) б)

в) г)

д)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материал параграфа 5, выучить правила. Решить задачи № 5.2; 5.6; 5.11; 5.17.

Умножение и деление алгебраических дробей.
Возведение алгебраической дроби в степень

У р о к 1

Цели: закрепить правила умножения и деления алгебраических дробей; повторить свойства степени и объяснить правила возведения в степень алгебраической дроби; развивать умения выполнять действия с алгебраическими дробями; рассмотреть задания различного уровня сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четырем учащимся даются индивидуальные задания на карточках. Затем эти работы сдаются учителю

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы с остальными учащимися проверяется устно домашнее задание.

Вопросы учащимся:

- сформулируйте основное свойство алгебраической дроби;

- сформулируйте и запишите правила умножения и деления алгебраических дробей;

- запишите свойства степени с натуральным показателем;

- вычислить:

2⁶ 5⁶, (3²)²; ; ; ; -2²; (-2)²; (0,1)².

- устно выполнить № 5.9; 5.14.

Затем решаются примеры № 5.18 в тетрадях.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель формулирует правило возведения алгебраической дроби в степень с натуральным показателем:

объясняет, что все свойства степени, которые учащимся известны, применимы и для алгебраической дроби.

Умение использовать эти свойства проверяется на примерах.

Для закрепления рассматривается пример:

Р е ш е н и е.

V. Закрепление нового материала.

1) На доске разбирается решение следующих примеров № 5.26; 5.27; 5.43; 5.31; 5.33.

2) Так же можно рассмотреть решение сложных пропорций, в которых нужно выразить переменную x:

а)

Р е ш е н и е.

x = -(2a + 3).

б)

Р е ш е н и е.

x = a + b.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: разобрать материал параграфа 5, выучить правила. Решить задачи № 5.35; 5.36; 5.30.

У р о к 2

Цели: повторить правило возведения алгебраической дроби в степень; развивать умение выполнять действия с алгебраическими дробями; рассмотреть сложные задания на сокращение дробей и выполнение действий с алгебраическими дробями; проверить умение учеников умножать и делить алгебраические дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Индивидуальные задания получают четыре ученика.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы проверяется домашняя работа. После чего решаются устно примеры № 5.3; 5.13; 5.24; 5.25 и проверяются решения, выполненные на доске.

IV. Решение задач.

1) Разбираются задания № 5.21; 5.37; 5.44; 5.45.

2) Сильным учащимся предлагается разобрать следующие задания:

1. Выполните действия:

а)

б)

2. Выполнить деление:

а) О т в е т:

б) О т в е т:

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Выполнить действия:

1.

2.

3.

1.

2.

3.

О т в е т ы:

Задание

1

2

3

Вариант 1

Вариант 2

1

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 5.20; 5.29; 5.39.

Преобразование рациональных выражений

У р о к 1

Цели: объяснить правила преобразования рациональных выражений; развивать умение упрощать выражения, доказывать тождества.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Рассмотреть задания, которые вызвали затруднения при решении.

В а р и а н т 1

Задание 2.

Выполнить действие

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

Задание 3.

Выполнить действие

Р е ш е н и е:

О т в е т: 1.

Учащимся, не справившимся с данной самостоятельной работой, дать домашнее задание.

Выполнить действия:

1) 2)

3)

III. Объяснение нового материала.

Данный материал изучается учащимися самостоятельно на с. 23-26.

После изучения параграфа 6 учащиеся должны уметь ответить на вопросы:

1) Какие числа называются натуральными, целыми, рациональными?

2) Дать понятие алгебраического выражения.

3) Какое выражение называется целым?

4) Какое выражение называется дробным?

5) Какое выражение называется рациональным?

6) Что значит доказать тождество?

7) Какие способы доказательства тождества можно назвать?

Затем на доске разбираются решения заданий:

1) Упростить выражение:

2) Доказать данное тождество:

Для доказательства тождества выбираем первый способ: преобразуем левую часть.

Р е ш е н и е.

Итак, 8 = 8.

Тождество справедливо лишь для допустимых значений переменной у.

IV. Решение задач.

На доске решить задания № 6.4; 6.8; 6.11.

а)

1)

2)

3)

б)

Учащимся предлагается право самостоятельного выбора: выполнять преобразования цепочкой или по действиям.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материал параграфа 6. Решить задачи № 6.3; 6.5 (сильным учащимся № 6.15).

У р о к 2

Цели: повторить правила выполнения всех действий с обыкновенными дробями, правила преобразования рациональных выражений, развивать умение упрощать выражения и доказывать тождества.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

У доски работают четыре ученика по карточкам.

Карточка 1

Карточка 2

Карточка 3

Карточка 4

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы проверить домашнее задание, а затем предложить учащимся самостоятельно в тетрадях разобрать по вариантам задания № 6.6 (а, б) с последующей проверкой.

Проверяются индивидуальные задания.

IV. Решение задач.

Разбираются задания № 6.7; 6.9 (а, г); 6.16; 6.20. С сильными учащимися можно разобрать задания № 6.23; 6.24.

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Упростить выражения:

1.

2.

1.

2.

О т в е т ы:

Задание

1

2

Вариант 1

2m + 1

Вариант 2

6 - 2n²

Сильным учащимся можно предложить для самостоятельной работы задание № 6.10 по вариантам.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 6.2; 6.9 (б, в), 6.12 (для сильных учеников так же предлагается задание № 6.14).

Первые представления
о решении рациональных уравнениЙ

Цели: повторить правила решения линейных уравнений; объяснить правила решения рациональных уравнений; формировать умение решать уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. На доске разобрать задания, которые вызвали затруднения при решении, обязательно разобрать задания № 6.10 с полным объяснением.

Задание № 6.10.

а) Доказать тождество

Р е ш е н и е:

О т в е т: a - 1 = a - 1.

б) Доказать тождество

Р е ш е н и е:

О т в е т: - b - 4.

Учащимся, не справившимся с самостоятельной работой предлагается дополнительная домашняя самостоятельная работа.

Выполнить следующие действия:

1)

2)

III. Объяснение нового материала.

Учащимся предлагается ответить на следующие вопросы:

- Какое выражение называется рациональным? Привести пример рационального алгебраического выражения.

- В каком случае дробь не имеет смысла? Что называется областью допустимых значений дроби.

- Каково условие равенства алгебраической дроби нулю?

Далее учитель вводит определение рационального уравнения. На примерах разбираются способы решения уравнений.

Первое и второе уравнения на доске решают учащиеся, комментируя каждый этап (учитель только помогает). Решение третьего уравнения лучше выполнить учителю с привлечением учащихся.

1)

2)

3)

1) Преобразуем данное уравнение.

2) Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля.

Значит, -m - 1 = 0; m = -1.

При m = -1, знаменатель m - 5 = -1 - 5 = - 6  0.

О т в е т: m = -1.

IV. Закрепление нового материала.

1) Решить уравнения № 7.8; 7.12; 7.28.

2) В классах с сильными учащимися предлагается разобрать решение следующих уравнений:

а)

б)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материал параграфа 7, выучить правила. Решить задачи № 7.5; 7.14; 7.29.

Степень с отрицательным целым показателем

У р о к 1

Цели: повторить понятие свойства степени с натуральным показателем; ввести понятие и свойства степени с отрицательным целым показателем; формировать умение работать со степенями с целым показателем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Вспомнить понятие степени с нулевым и натуральным показателями и устно вычислить:

2³; (-3)²; (1 - 4)¹; ; 2² + 5²; 1⁵; (6 - 4)³; 3,1⁰; (-3)⁰ и т. д.

Также предлагается вспомнить свойства степени с натуральным и нулевым показателями и выписать их на доску.

III. Объяснение нового материала.

Учитель вводит понятие степени с отрицательным целым показателем:

Показывает на доске правила вычисления.

Например:

IV. Закрепление нового материала.

1) Из учебника решить задания на вычисление степени № 8.2; 8.3; 8.4; 8.6; 8.11.

2) Вычислить значение выражений:

а) б) в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 8 на с. 30-33, выучить правила. Решить задачи № 8.5; 8.7; 8.10; 8.12.

У р о к 2

Цели: повторить понятие степени с отрицательным целым показателем; формировать умение работать с различными степенями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для самостоятельной работы по карточкам:

Карточка 1

Запишите в виде степени с положительным показателем:

Карточка 2

Представьте дроби в виде произведения степеней:

Карточка 3

Расположите в порядке возрастания числа:

Карточка 4

Найти значение выражения:

III. Актуализация знаний.

Пока на доске решаются задания с карточек, остальные учащиеся самостоятельно разбирают задание № 8.13.

Затем проверяется индивидуальная и самостоятельная работа.

IV. Объяснение нового материала.

Показать правила упрощения выражений, содержащих отрицательную целую степень, на примере:

V. Закрепление нового материала.

1) Закрепить свойства степени с отрицательным целым показателем, выполнив № 8.15; 8.17.

2) Рассмотреть упрощение выражений различной сложности № 8.19; 8.20; 8.30.

3) Также рассмотреть следующие примеры:

а) б)

4) Расположите данные числа в порядке убывания:

а) б)

Р е ш е н и е:

а)

так как при значении 0 < a < 1 выполняется условие aⁿ < a, n N.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 8.14; 8.16; 8.18; 8.21.

Подготовка к контрольной работе

Цели: систематизировать и обобщить знания о выполнении действий с алгебраическими дробями, решении уравнений и задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Учащимся, которые не справились с работой, предложить следующие задания.

1)

2)

III. Решение задач.

1) Учащиеся повторяют основные понятия и правила, которые были изучены в главе 1. Для этого используется раздел учебника «Основные результаты» (с. 33).

2) Затем необходимо выполнить задания № 2.35; 5.34.

3) Рассмотреть преобразование рациональных выражений:

а)

б)

в)

Так же предлагается рассмотреть задания из домашней контрольной работы (с. 51-53) задачника.

4) Закрепить правила решения уравнений на примере № 7.31 из задачника.

5) Решить задачи на составление уравнения № 7.26, повторить правила оформления таких задач.

IV. Тестирование.

Подготовку к контрольной работе можно провести и как самостоятельное тестирование по вариантам.

В а р и а н т 1

1) При каких значениях переменной x дробь не имеет смысла?

а) 10; б) 10 и -10; в) 0; г) 0 и 6.

2) Найдите значение алгебраической дроби при данном значении переменной a = 2.

а) 2; б) 0,5; в) 1; г) 5.

3) Упростите выражение:

а) б)

в) г)

4) Упростите

а) a - 4; б) 1; в) 2; г)

5) Найти корни данного уравнения

а) 35; б) 34; в) 36; г) 30.

6) Решите уравнение

а) -2; б) -1; в) 2; г) 1.

В а р и а н т 2

1) При каких значениях переменной a значение дроби равно нулю.

а) 8; б) 8 и -8; в) 0; г) 0 и 3.

2) Найдите значение алгебраической дроби при данном значении переменной b = 5.

а) 6; б) 2; в) 3; г) 5.

3) Упростите выражение:

а) б) в) г)

4) Упростите

а) 1; б) в) г)

5) Найти корни данного уравнения

а) 6; б) 7; в) 13; г) 37.

6) Решите уравнение

а) -2; б) 2; в) 1; г) -1.

О т в е т ы:

Ответы проверяются на уроке, выборочно выставляются оценки. Те задания, которые вызвали затруднения, разбираются на доске.

В а р и а н т 1

Задание 4.

Упростите

Р е ш е н и е:

О т в е т: Б.

Задание 6.

Решите уравнение

Р е ш е н и е:

О т в е т: В.

В а р и а н т 2

Задание 4.

Упростите

Р е ш е н и е:

О т в е т: А.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить из задачника № 5.22; 6.12; 7.32; 7.27.

рациональные числа

Цели: провести анализ контрольной работы; ввести понятие множества натуральных, действительных, рациональных чисел; формировать умение различать множества чисел.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Рассмотреть задания, с которыми не справилось большинство учащихся.

В а р и а н т 1

Задание 4.

Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч?

Р е ш е н и е:

Пусть собственная скорость катера x км/ч, тогда составим таблицу:

V (км/ч)

t (ч)

S (км)

по течению

x + 3

5

против течения

x - 3

12

по озеру

x

18

Так как время, затраченное катером по течению и против течения равно времени, которое катер бы затратил на расстояние 18 км по озеру, то составим уравнение:

5x² - 15x + 12x² + 36x = 18x² - 162;

-x² + 21x + 162 = 0;

x² - 21x - 162 = 0;

D = 441 + 648 = 1089 = 33²;

D > 0, имеем два действительных корня.

x₁ = 27, x₂ = -6.

-6 не подходит по условию задачи (время всегда положительно), значит собственная скорость движения катера 27 км/ч.

О т в е т: 27 км/ч.

Задание 5*.

Не решая уравнения 2x² - 3x + 6 = 0, найти значение выражения

Р е ш е н и е:

Для использования теоремы Виета необходимо, чтобы первый коэффициент квадратного уравнения был равен единице:

значит

О т в е т:

III. Объяснение нового материала.

Учитель систематизирует знания учащихся о рациональных числах, вводит обозначение множества чисел.

1) Натуральные числа - это множество чисел, употребляемых при счете.

Обозначается это множество буквой N. Для сокращения записи математических утверждений используют математические символы. 2 N (число два принадлежит множеству натуральных чисел).

Целые числа - это множество натуральных чисел, им противоположных и ноль. Обозначаются буквой z.

Рациональные числа (Q) - это множество чисел вида (где n - натуральные числа, m - целые числа).

Для более четкого понятия математической ситуации N Z Q проводится игра «хлопушки».

Учитель зачитывает утверждения - ученики хлопают в том случае, если утверждение верно:

● 5 является целым числом;

● 11,5 является натуральным числом;

● -1,5 является целым числом;

● 2,7 является рациональным числом;

● -2 является целым и рациональным числом;

● - является рациональным и натуральным числом;

● 100 - является натуральным, целым и рациональным числом.

Затем вводится понятие бесконечной периодической дроби, периода. На конкретных примерах показывается, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число и любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

IV. Закрепление нового материала.

1) Устно разобрать задания № 9.3; 9.4; 9.7; 9.9.

2) Письменно рассмотреть задачи № 9.10; 9.12; 9.13; 9.14; 9.16; 9.20 (а, г); 9.22 (а, г); 9.24.

3) В классе с высоким уровнем подготовки можно решить примеры, включающие в себя периодические дроби:

а)

б)

4) Решить уравнение

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материалы параграфа 9. Решить задачи № 9.8; 9.15; 9.20 (б, в); 9.22 (б, в).

Понятие квадратного корня
из неотрицательного числа

У р о к 1

Цели: провести анализ контрольной работы; ввести понятие квадратного корня; рассмотреть правила вычисления квадратного корня из неотрицательного числа; формировать умение вычислять квадратный корень из чисел и выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Рассмотреть на доске решение заданий, с которыми не справилось большинство учащихся.

III. Объяснение нового материала.

Учитель объясняет тему согласно параграфу учебника. Учащимся в тетрадь надо выписать определения квадратного корня, подкоренного числа, извлечения квадратного корня.

В классах с высоким уровнем подготовки учитель объясняет доказательство того, что дроби , для которой выполняется равенство не существует.

IV. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть задания № 10.2; 10.3; 10.5; 10.6; 10.8; 10.10; 10.12; 10.13; 10.18; 10.30.

2) Вычислить:

а) б)

в) г)

3) Найти значение выражения при значениях

а) a = 70, b = 6; б) a = 38, b = -43;

в) г) a = 0,93; b = 0,57.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 10, выучить правила. Решить задачи № 10.1; 10.4; 10.7; 10.14; 10.17.

У р о к 2

Цели: повторить понятие квадратного корня и правила его вычисления; развивать умение вычислять квадратный корень; формировать умение решать уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика, которые получают индивидуальные задания.

III. Актуализация знаний.

1) Пока на доске выполняются индивидуальные задания, остальные учащиеся класса устно проверяют домашнюю работу. Затем следует проверка заданий, выполненных на доске.

2) После этого проводится устная работа:

Вычислить:

3) Самостоятельно учащимися выполняются задания № 10.19; 10.20. Проверяются ответы и решения. На доске с объяснением учащимися разбирается решение задания № 10.31.

IV. Решение задач.

1) Выполнить задания (можно по вариантам) № 10.15; 10.16.

Учитель вводит понятие кубического корня и показывает его использования на примере задания № 10.43.

2) При каких значениях имеет смысл выражение:

а) б) в) г)

д) е) ж)

3) Показать правила решения и оформления различных видов уравнений на примерах № 10.21 (г); 10.22 (г); 10.23 (г).

а) Решить уравнения x² = 25, 25 > 0.

x₁ = и x₂ =

б) x² = 17, 17 > 0

x₁ = и x₂ =

в) 3x² - 72 = 0,

3x² = 72,

x² = 24,

x₁ = и x₂ =

Также решаются следующие уравнения:

а) б) в)

Сильным учащимся предлагаются следующие уравнения:

а) б)

4) При наличии времени выполнить № 10.25; 10.26 (а, г).

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить уравнения (а, в) из заданий № 10.22; 10.23.

Иррациональные числа

Цели: повторить понятия натуральных, целых и рациональных чисел; закрепить умение переводить периодические дроби в обыкновенные дроби; ввести понятие иррациональных чисел; развивать умение различать множества чисел.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Учитель зачитывает утверждения, а ученики выписывают с помощью символов только те, которые являются верными. Один из учеников записывает диктант на доске. По окончании диктант проверяется.

● Число 6 является целым;

● число - 4 является рациональным;

● число 6,5 является рациональным;

● число 10,1 является натуральным;

● число 13,(7) является рациональным;

● число -14,101 является целым;

● число 73 является натуральным и рациональным;

● число 3,7(2) является целым и рациональным.

III. Объяснение нового материала.

После математического диктанта вспомнить понятия натурального множества чисел, множества целых чисел и множества рациональных чисел.

Попросить учащихся распределить данные числа по изученным множествам:

У учащихся возникнут затруднения при распределении данных чисел. После этого вводится понятие иррационального числа. Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

IV. Закрепление нового материала.

1) Учитель проводит игру «Стрельба по мишени».

4 - множество иррациональных чисел;

3 - множество рациональных чисел;

2 - множество целых чисел;

1 - множество натуральных чисел.

Называется фамилия ученика и цель, а ученик должен назвать три числа, которые являются выстрелами, и которые должны попасть по цели - множеству.

Например: если целью является 2, то ученик может назвать числа - 4, - 12, - 200. (Если он называет число 67, то попадает в множество 1, а его цель 2.) Задание можно по ходу усложнять.

2) Разбираются задания № 11.2; 11.3; 11.4; 11.6; 11.7; 11.8 (а); 11.11; 11.16.

3) Дана зависимость f(x) = x² - 8x + 7, определите, каким является результат (иррациональным, рациональным, натуральным) в каждом из случаев:

а) f(-4); б) f(0,1); в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материал параграфа 11 на с. 49-52. Решить задачи № 11.5; 11.8 (б); 11.12.

Множество действительных чисел

Цели: повторить понятия натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел; ввести понятие и обозначение множества действительных чисел.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются ученики для самостоятельного выполнения заданий по карточкам.

Карточка 1

Вычислить:

1,(2 - 0,(8) + 2,4(9)

Карточка 2

Решить уравнение:

x : 2,0(6) = 0,(27) : 0,4(09)

Карточка 3

Найдите значение выражения и определите множество, которому принадлежит результат:

Карточка 4

Определите вид числа, являющегося результатом для данного выражения:

III. Актуализация знаний.

Пока учащиеся работают у доски, остальные самостоятельно выполняют задание № 9.29. Затем проверяются задания на доске и результаты самостоятельной работы. Так же предлагается проверить домашнее задание. Проводится стрельба по мишени (аналогичная прошлому уроку).

IV. Объяснение нового материала.

Вводится понятие действительных чисел.

Учитель объясняет правило сравнения действительных чисел. Объяснение данного материала происходит согласно учебнику.

V. Закрепление нового материала.

1) Устно рассмотреть задачи № 12.1; 12.8; 12.9; 12.13.

2) Разбираются задания № 12.2; 12.5; 12.7; 12.10; 12.11; 12.17; 12.19.

VI. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) Вычислить:

1) Вычислить:

Вариант 1

Вариант 2

2) Расставить в порядке убывания числа:

2) Расставить в порядке возрастания:

О т в е т ы:

VII. Подведение итогов.

Домашнее задание: изучить материал параграфа 12 на с. 52-55. Решить задачи № 12.4; 12.16; 12.18; 12.20.

Функция её свойства и график

У р о к 1

Цели: закрепить умение вычислять квадратный корень из чисел; ввести функцию и показать правила построения графика данной функции; ввести понятие выпуклости и области значения; повторить правила построения графика функции f(x + 1) + m, если известен график функции f(x); формировать умение строить графики функций вида , и по графику определять свойства функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Во время данной самостоятельной работы, учитель отвечает на все вопросы, возникающие по ходу решения. Ответы проверяются на уроке, в журнал оценки выставляются выборочно.

III. Объяснение нового материала.

Учитель на доске показывает построение графика функции . Вместе с учащимися записывает свойства данной функции:

1. Область определения [0, +).

2. y = 0 при x = 0, y > 0 при x > 0.

3. Функция является непрерывной на луче [0, +).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. y_min = 0 при x = 0; y_max не существует.

6. Данная функция возрастает на интервале [0, +).

Далее учитель объясняет понятие выпуклости, области значений. К свойствам функции добавляется еще два:

7. Данная функция выпукла вверх.

8. Область значений данной функции: луч [0, +).

IV. Закрепление нового материала.

1) Разобрать решение заданий № 13.2; 13.3 (г); 13.7 (г); 13.9 (а, г).

2) Повторить правила построения функции f(x + 1) + m, если известен график функции f(x) на примере построения графиков следующих функций:

Затем разобрать решения заданий № 13.10; 13.16; 13.17.

3) В классах с высоким уровнем подготовки объяснить правило сравнения выражений, содержащих знак корня; разобрать примеры на сравнение:

а) 2 и б) и в) и

г) и д) и е) и

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 13, выучить свойства функции . Выполнить решение примеров (б, в) из заданий № 13.9; 13.18.

У р о к 2

Цели: повторить свойства функции , закрепить умение строить график данной функции; рассмотреть решение заданий различного уровня сложности; развивать умение строить графики функций вида и решать уравнения графическим способом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для самостоятельного выполнения заданий:

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы остальные учащиеся выполняют самостоятельно задания.

Затем всем классом проверяются индивидуальные задания, домашняя работа и задания, решенные в тетрадях.

IV. Решение задач.

1) Разобрать решение заданий № 13.11 (а, г); 13.13; 13.15.

2) В классах, в которых разбиралось сравнение выражений содержащих корень, рассмотреть следующее задание:

а) Расположить в порядке убывания числа:

б) Расположите числа в порядке возрастания:

3) Двое учащихся выходят к доске для выполнения заданий, остальные ученики выполняют данное построение в тетрадях по вариантам.

а)

б)

О т в е т ы:

а) б)

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) Вычислить значения выражений:

а) б)

в)

а) б)

в)

2) Построить график функции и описать ее свойства:

3) Решить уравнение графическим способом:

О т в е т ы:

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 13.11; 13.12.

Свойства квадратных корней

У р о к 1

Цели: доказать свойства квадратных корней и показать их применение; формировать умение вычислять квадратные корни, используя свойства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Для того, чтобы облегчить выполнение работы над ошибками, в классе выполняются задания подобные тем, которые был в самостоятельной работе.

1) Вычислить:

2) Построить график данной функции и записать ее свойства.

3) Графическим способом решить уравнение + 2 = х - 1.

Р е ш е н и е.

Строим графики функций:

y = + 2,

y = x -1.

Решением данного уравнения является число, соответствующее абсциссе точки пересечения построенных графиков.

III. Объяснение нового материала.

Учитель на доске выписывает свойства корней, доказывает эти свойства и показывает их применение:

1)

Например:

2)

Например:

3) - натуральное число.

Например:

IV. Закрепление нового материала.

1) Разобрать решение заданий, с использованием свойств корня «слева направо» № 14.3; 14.5; 14.6.

Разобрать задания, с использованием свойств «справа налево».

Рассмотреть решение общих заданий на свойства квадратного корня № 14.8; 14.13.

2) Так же предлагается вычислить:

а) О т в е т: 150.

б) О т в е т: 50.

3) В классах с высоким уровнем подготовки предлагается задание: упростить следующее выражение и найти его значение при заданных переменных:

О т в е т: (a² - b² )²; 36.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 14, выучить свойства квадратного корня. Решить задания № 14.2; 14.4; 14.12.

У р о к 2

Цели: повторить свойства квадратных корней; развивать умение пользоваться свойствами квадратных корней.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для работы по карточкам:

Карточка 1

а)

б)

в)

Карточка 2

а)

б)

в)

Карточка 3

а)

б)

Карточка 4

а)

б)

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы остальные учащиеся устно проверяют задания из домашней работы. После этого самостоятельно решают задания № 14.1; 14.11.

Затем всем классом проверяются индивидуальные задания и задания, выполненные в тетрадях.

IV. Решение задач.

1) Разобрать решение заданий № 14.7; 14.29; 14.30; 14.33.

2) Найти значения следующих выражений:

а) б)

3) Упростить выражения:

а)

б)

в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 14.32; 14.35.

Преобразование выражений,
содержащих операцию извлечения
квадратного корня

У р о к 1

Цели: повторить свойства квадратных корней; объяснить правила вынесения множителя из-под знака корня, внесения множителя под знак корня, преобразования подобных членов; рассмотреть примеры на преобразование различной сложности; развивать умение пользоваться свойствами квадратных корней.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Вариант 1

Вариант 2

1) Вычислить квадрантный корень из заданных выражений:

2) Найти корень квадратный из произведения чисел 16 и 0,01.

2) Найти квадратный корень из произведения чисел 25 и 0, 0004.

3) Вычислить произведение корней квадратных чисел 20 и 5.

3) Найти частное квадратных корней 192 и 75.

4) Вычислить квадратный корень разности квадратов 13 и 12.

4) Вычислить квадратный корень разности квадратов 41 и 40.

Проверить ответы на уроке. Разобрать, какие свойства были использованы, выписать свойства на доску.

III. Объяснение нового материала.

Учитель показывает и объясняет на доске решение следующих примеров:

1)

Рассмотреть, какие свойства из выписанных на доске свойств применялись при решении данного примера.

2) Рассмотреть пример на вынесение множителя из-под знака корня:

3) Показать пример на внесение множителя под знак корня:

4) Упростить данное выражение:

IV. Закрепление нового материала.

1) Разобрать решение заданий (из них некоторые по вариантам)
№ 15.5; 15.8; 15.10; 15.13; 15.15; 15.16; 15.20; 15.23 (б).

2) Для сильных учеников предлагаются уравнения для решения:

а)

Р е ш е н и е:

2x = 4;

x = 2,

О т в е т: 2.

б)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть материала параграфа 15, выучить правила. Решить задания № 15.2; 15.12; 15.18; 15.23.

У р о к 2

Цели: повторить свойства квадратных корней; рассмотреть решение уравнений и преобразование выражений; развивать умение пользоваться свойствами квадратных корней.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Проверить ответы на уроке. Если у учеников при решении данных заданий возникают вопросы, то учитель отвечает на них. Оценки выставляются выборочно.

III. Решение задач.

1) Рассмотреть решение заданий № 15.25; 15.24; 15.26; 15.29; 15.30.

2) Докажите, что значение данных выражений, является числом натуральным:

а)

б)

3) Рассмотреть решение данных уравнений:

а)

б)

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 15.23 (а); 15.30.

У р о к 3

Цели: рассмотреть преобразование выражений, содержащих квадратный корень, с использованием формул сокращенного умножения; вывести правило избавления от иррациональности в знаменателе; рассмотреть примеры на преобразование различного уровня сложности; развивать умение пользоваться свойствами квадратных корней.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Карточка 1

Вынести множитель из-под знака корня:

Карточка 2

Внести множитель под знак корня:

Карточка 3

Упростить:

а)

б)

в)

Карточка 4

Упростить:

а)

б)

в)

Для выполнения данных заданий к доске вызываются четыре ученика. Выполненные задания проверяются всем классом после проверки домашней работы.

III. Актуализация знаний.

Пока выполняются задания индивидуальной работы, остальные учащиеся проверяют задания домашней работы. Затем на доске учащимися решаются задачи № 15.28; 15.31.

IV. Новый материал.

1) Вспомнить формулы сокращенного умножения, попросив учащихся продолжить записи:

а) a² - b² = …;

б) a³ + b³ = …;

в) (a - b)² = …

Далее ученики вспоминают, какие еще формулы сокращенного умножения есть, и выписывают их на доске.

2) Пользуясь формулами сокращенного умножения рассмотреть упрощение следующих примеров:

а) Выполнить умножение

Р е ш е н и е:

б) Раскрыть скобки

Р е ш е н и е:

в) Упростить

Р е ш е н и е:

с помощью умножения многочленов

с помощью формулы сокращенного умножения

г) Разложить на множители 1 - x.

Р е ш е н и е:

д) Разложить выражение на множители a² - 7.

Р е ш е н и е:

3) Учитель вводит правило избавления от иррациональности в знаменатели дроби и показывает его применение на примерах:

а)

б)

V. Закрепление нового материала.

С использованием новых знаний разобрать решение заданий № 15.33; 15.51; 15.57; 15.40; 15.44.

VI. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1

2

1) Упростить выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

а)

б)

в)

г)

д)

Окончание табл.

1

2

2) Разложите данные выражения на множители:

а)

б) x² - 13.

а)

б) 9 - a.

О т в е т ы:

VII. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 15.37; 15.38; 15.43.

У р о к 3

Цели: вывести алгоритм упрощения сложных выражений; рассмотреть примеры на преобразование выражений различной сложности; развивать умение упрощать выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Если учащиеся плохо справились с данной работой, то разобрать данные задания в классе на доске:

1) Упростить:

а) б)

в) г)

2) Разложить на множители:

а) б) в) 5 - x².

III. Объяснение нового материала.

На доске разбираются следующие задания.

1) Сократить дробь:

2) Упростить выражение:

Формулируется алгоритм упрощения сложных выражений.

IV. Закрепление нового материала.

1) Разобрать решение заданий № 15.60; 15.63; 15.65; 15.45; 15.70; 15.72; 15.78.

2) Для класса с высоким уровнем подготовки предлагаются следующие задания:

а) Вычислить

Р е ш е н и е:

б) Вычислить О т в е т: 4.

в) Вычислить О т в е т:

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 15.64; 15.42; 15.73; 15.76.

Модуль действительного числа

У р о к 1

Цели: ввести понятие модуля действительного числа, рассмотреть свойства и разъяснить геометрический смысл модуля. Ввести функцию y = |x|; правила построения графиков, содержащих функцию y = |x|, правила решения и оформления уравнений, содержащих модуль; формировать умение работать с модулем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Если самостоятельную работу в целом написали хорошо, то данные задания даются домой только тем учащимся, которые получили отрицательные оценки. Если же с работой не справились многие, то эти задания разбираются в классе.

1) Найти значение выражения:

Р е ш е н и е:

О т в е т: 72,5.

2) Сравнить числа: а) и 24; б) и

3) Расставить числа в порядке убывания:

III. Объяснение нового материала.

1) Учитель прелагает вспомнить понятие модуля и найти значение выражения:

|34|, |-90|, |-0,3|.

2) Далее вводится понятие модуля действительного числа, свойства модуля.

3) Разъясняется геометрический смысл модуля на геометрической модели - числовой прямой.

S(a, b) = |a - b|.

Модуль - это расстояние.

4) График функции y = |x| на доске строит один из учеников класса. Построение графика функции выполняется по точкам.

Выписать свойства данной функции:

1. Область определения (-; +).

2. y = 0 при x = 0, y > 0 при

3. Функция y = |x| является непрерывной.

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. y_min = 0 при x = 0; y_max не существует.

6. Данная функция убывает на интервале (-; 0] и возрастает на интервале [0; +).

7. Область значений данной функции луч [0; +).

5) Решение уравнения |x - 2| = 3 представить двумя способами:

а) Переведем аналитическую модель |x - 2| = 3 на геометрический язык:

на числовой прямой находим точки, которые удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Значит, уравнение имеет два корня: -1 и 5.

б) Построим на одной координатной плоскости два графика у = |x - 2| и у = 3.

Абсциссы точек пересечения: -1 и 5.

IV. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть решение заданий № 16.2; 16.3; 16.4; 16.12; 16.16 (а, г); 16.19.

2) Повторить правила решения уравнений с модулями. Решить из учебника уравнения № 16.21; 16.23.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 16, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 16.6; 16.11; 16.22.

У р о к 2

Цели: повторить понятие модуля, правила построения графиков, содержащих функцию модуля, правила решения и оформления уравнений; рассмотреть свойство модуля и его значение для упрощения выражений; развивать умение работать с модулем.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для выполнения заданий с карточек.

Карточка 1

Найдите значение выражения при a = -0,2; b = -8

Карточка 2

Постройте график функции y = |x| и найдите наименьшее и наибольшее значения на отрезке [-3; 2].

Карточка 3

Решите уравнение

|x - 5,7| = 9,7.

Карточка 4

Решите уравнение

|2x - 3,2| = 4,2.

III. Актуализация знаний.

Пока учащиеся готовят ответы на доске, остальные в тетрадях самостоятельно решают задание № 16.8.

Затем проверяются задания, решенные на доске, в тетрадях и из домашней работы.

Устно найти значения выражений (приготовить карточки):

а) |9,1|; б) |6+1,1|; в) |-100|;

г) |4,7 - 8,9|; д) -|-35|; е) 2  |5 - 16|.

IV. Объяснение нового материала.

На доске выписывается свойство и доказывается учителем. Показывается применение данного свойства при упрощении выражений.

Например:

так как Значит

V. Закрепление нового материала.

1) Из задачника разобрать задания № 16.26; 16.28.

2) Вспомнить правила построения графиков функции f(x + l) + m, если известен график функции f(x). Затем на доске построить графики № 16.20.

3) Найдите значение выражений:

а) при

б) 3b² - 2b - 1 при

в)

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 16, выучить свойство модуля. Решить задачи № 16.18; 16.26.

Подготовка к контрольной работе

Цели: повторить понятие квадратного корня и его свойства; развивать умение упрощать выражения, вычислять квадратные корни, решать уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Проверить домашнее задание. Разобрать задания из домашней работы, которые вызвали у учащихся затруднения.

После провести небольшую устную работу: вычислить заданные выражения:

III. Решение задач.

Для подготовки к контрольной работе вспомнить правила решения и оформления следующих заданий:

1) Вычисление выражений, содержащих квадратный корень, повторить, выполнив задания № 10.40.

2) Повторить правила решения уравнений графическим способом, разобрав на доске решение уравнения:

Повторить решение систем уравнений.

3) Повторить правила упрощения выражений и упростить выражения № 15.21; 15.25; 15.29; 15.36.

4) Вспомнить, как избавиться от иррациональности в дроби, и применить данные правила для примеров № 15.39; 15.46.

5) В классах с высоким уровнем подготовки разобрать примеры различной сложности на упрощение выражений № 15.71; 15.93.

IV. Тестирование.

Подготовку к контрольной работе, можно провести и как самостоятельное тестирование по вариантам.

В а р и а н т 1

1) Найти значение выражения

а) 12; б) 18; в) 24; г) 6.

2) Вычислить значение при значении a = 0,1.

а) б) в) 0,5; г) 5.

3) Сколько корней имеет уравнение

а) один; б) ни одного; в) два; г) неограниченное множество.

4) Упростите выражение

а) б)

в) г)

5) Расставить данные значения в порядке возрастания.

а) б)

в) г)

6) Найдите максимальный множитель, который можно вынести за скобки в данном выражении

а) б) в) г)

7) На какой множитель надо умножить дробь чтобы избавиться от иррациональности.

а) б) в) г)

8) Упростите выражение где a ≥ 0.

а) б) в) -а⁷; г) -а¹⁰.

9) Упростите выражение

а) б) в) г)

В а р и а н т 2

1) Найти значение выражения

а) 21; б) 18; в) 24; г) 6.

2) Вычислить значение при значении b = 3.

а) 18; б) 54; в) 5,4; г) 1,8.

3) Сколько корней имеет уравнение

а) один; б) ни одного; в) два; г) неограниченное множество.

4) Упростите выражение

а) 23; б)

в) г) 60.

5) Расставить данные значения в порядке убывания.

а) б)

в) г)

6) Найдите максимальный множитель, который можно вынести за скобки в данном выражении

а) б) в) г)

7) На какой множитель надо умножить дробь чтобы избавиться от иррациональности.

а) б) в) г)

8) Упростите выражение где b ≥ 0.

а) б) в) г) b¹⁰.

9) Упростите выражение

а) б) в) г)

О т в е т ы:

Ответы проверяется на уроке. Те задания, которые вызвали затруднения, разбираются на доске. Оценки выставляются выборочно.

В а р и а н т 1

Задание 3.

Сколько корней имеет уравнение

Р е ш е н и е:

так как - 2 < 0, то данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: Б.

Задание 9.

Упростите выражение

Р е ш е н и е:

О т в е т: Г.

В а р и а н т 2

Задание 5.

Расставить данные значения в порядке убывания.

Р е ш е н и е:

О т в е т: В.

Задание 9.

Упростите выражение

Р е ш е н и е:

О т в е т: Г.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 10.33; 15.37; 15.47; 15.77.

Функция y = kx², ее свойства и график

У р о к 1

Цели: провести анализ контрольной работы; вспомнить свойства функций y = kx + b и y = x², их графики; объяснить свойства функции y = kx² и показать построение графика данной функции; формировать умение строить графики функций y = kx + b и y = kx², и по графику определять свойства данных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Выставить оценки за контрольную работу. Разобрать задания, с которыми не справилось большинство учащихся.

В а р и а н т 1

5*. Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

В а р и а н т 2

5*. Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

III. Актуализация знаний.

1) Повторить понятие линейной функции, её свойства и построение графика данной функции. Закрепить знания о том, что графиком линейной функции является прямая, для построения которой необходимы координаты двух точек, а свойства зависят от коэффициента k.

На доске разобрать построение графика функции

По графику функции определить свойства.

2) Повторить построение графика функции y = x².

IV. Объяснение нового материала.

На доске, на координатной плоскости пунктирной линией построить график функции y = x² и сплошной линей графики функций y = 3x², y = -3x² и После этого вместе с учащимися сделать выводы.

Если коэффициент перед переменной x больше 1, то график функции y = kx² круче графика функции y = x². Если коэффициент меньше 1, то график функции y = x² круче графика функции y = kx². Если же коэффициент является отрицательным числом, то ветви параболы направлены вниз.

Затем учитель показывает общую схему построения графиков функций y = kx², если k > 1 и 0 < k < 1.

Записываются свойства данной функции при данных условиях учителем на доске, учениками в тетрадях.

1. Область определения (-; +).

2. у = 0 при х = 0, у > 0 при х  0.

3. y = kx² является непрерывной функцией (понятие непрерывности рассматривается только на графике - сплошная линия).

4. y_min = 0 при х = 0; y_max не существует.

5. Возрастает данная функция
y = kx² при x ≥ 0; убывает при x ≤ 0.

6. Данная функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

Затем учитель показывает общую схему построения графиков функции y = kx² при значениях -1 < k < 0 и k < -1.

Учащиеся самостоятельно записывают свойства функции y = kx² при заданном условии k < 0. Затем следует проверка.

V. Закрепление нового материала.

1) Схематично изобразить графики данных функций относительно графика y = x² : y = 6x², y = -2x², y = 2x²,

2) Разобрать задания № 17.4 (г); 17.5 (г); 17.15; 17.16; 17.20; 17.23; 17.24.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 17, выучить правила. Решить задачи № 17.3; 17.4 (г); 17.25.

У р о к 2

Цели: закрепить знания о свойствах функции вида y = kx² и умение строить ее график; ввести правила решения уравнений графическим способом; показать способ построения графиков функций, заданных несколькими условиями; развивать умение строить графики известных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске для самостоятельного выполнения заданий вызываются четыре ученика.

Карточка 1

Построить на координатной плоскости график функции y = 4x², найти наибольшее значение данной функции на отрезке [-1; 1]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 2

Построить на координатной плоскости график функции y = -3x², найти наименьшее значение данной функции на интервале [-1; 1). Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 3

Построить на координатной плоскости график функции найти наименьшее значение данной функции на интервале [0; +). Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 4

Построить на координатной плоскости график функции y = -0,4x², найти наименьшее значение данной функции на интервале (-; 0]. Сформулировать свойства данной функции.

III. Актуализация знаний.

Во время выполнения индивидуальной работы остальные учащиеся класса проверяют домашнее задание.

Затем устно выполняются задания № 17.1; 17.6; 17.7; 17.19; 17.21. При наличии времени можно выполнить задание № 17.24.

Индивидуальные задания проверяются всем классом.

IV. Объяснение нового материала.

1) Учитель на доске показывает графическое решение уравнения
x² = 3x - 2.

Р е ш е н и е:

Для графического решения данного уравнения необходимо построить графики функций y = x² и y = 3x - 2 на одной координатной плоскости.

Графиком функции y = x² является парабола, с вершиной в точке (0; 0). Ветви параболы направлены вверх. Парабола проходит через точки (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (-2; 4).

Графиком функции y = 3x - 2 является прямая. Для построения прямой необходимы координаты двух точек. Для данной функции это точки: (1; 1), (0; -2).

Теперь строятся графики.

Графики данных функций имеют точки пересечения (1; 1) и (2; 4). Решением заданного уравнения являются абсциссы точек пересечения - числа 1 и 2.

О т в е т: 1; 2.

2) Один из сильных учеников класса, с помощью учителя, показывает на доске графическое решение системы уравнений

3) Строится график кусочной функции y = f(x), где:

V. Закрепление нового материала.

Решаются задания № 17.28 (а, г), 17.31; 17.43; 17.35 (а, б).

С сильными учащимися при наличии времени разбирается решение задания № 17.62.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть примеры решения из учебника. Решить задачи № 17.28 (б); 17.30; 17.43; 17.35 (в, г).

Функция ее свойства и график

У р о к 1

Цели: повторить алгоритм графического решения уравнений и систем уравнений; ввести понятие гиперболы; показать правила построения графика функции и рассмотреть свойства данной функции; развивать умение строить графики известных функций; формировать умение строить графики функций вида .

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Для индивидуальной работы по карточкам к доске вызываются четыре ученика.

Карточка 1

Решить графически уравнение

x² = -4x.

Карточка 2

Решить графически уравнение

-x² = x.

Карточка 3

Решить графически систему уравнений

Карточка 4

Постройте график функции y = f(x), где

III. Актуализация знаний.

1) Во время выполнения индивидуальной работы остальные учащиеся класса выполняют самостоятельно задания № 17.42. После проверки индивидуальной работы проверяются данные задания.

2) Построить на доске и в тетрадях графики данных функций:

Для построения к доске вызываются одновременно четыре ученика. Затем всем классом формулируются свойства этих функций.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель на доске показывает построение графика функции

Построение выполняется поточечное, согласно материалу из учебника на с. 84-88. Дает название данному графику - гипербола, а так же каждой части в отдельности - ветви гиперболы, рассматривается понятие асимптоты.

Затем к доске вызывается один из сильных учеников класса для построения графика функции

Учащиеся делают выводы: ветви гиперболы располагаются в I, III четвертях.

Чем больше значение коэффициента k, тем дальше ветви гиперболы от осей координат.

Записываются свойства данной функции:

1. Область определения (-; 0) (0; +).

2. y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0.

3. является непрерывной функцией на промежутках (-; 0) и (0; +), имеет точку разрыва x = 0.

4. У данной функции нет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения.

5. Данная функция убывает на промежутках (-; 0) и (0; +).

6. Данная функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

Затем на доске строится график функции если достаточно времени - график функции

Учащиеся самостоятельно выписывают свойства функции при заданном условии: k < 0. затем происходит проверка.

V. Закрепление нового материала.

Для закрепления данного материала разобрать решение заданий
№ 18.2; 18.9 (в); 18.10 (в); 18.12.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть материал параграфа 18, правила выучить. Решить задачи № 18.9 (а); 18.10 (а); 18.11.

У р о к 2

Цели: закрепить знания о свойствах функции и умение строить график данной функции; вспомнить правила решения уравнений и систем уравнений графическим способом; проверить умение строить графики функции, решать уравнения и системы уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске для самостоятельного выполнения заданий вызываются четыре ученика, им раздаются карточки с заданиями.

Карточка 1

Построить на координатной плоскости график функции найти наибольшее значение данной функции на отрезке [-4; -2]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 2

Построить на координатной плоскости график функции найти наибольшее значение данной функции на интервале [2; +]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 3

Построить на координатной плоскости график функции найти наименьшее значение данной функции на интервале (-; -3]. Сформулировать свойства данной функции.

Карточка 4

Построить на координатной плоскости график функции найти наименьшее значение данной функции на отрезке [1; 5]. Сформулировать свойства данной функции.

III. Актуализация знаний.

Во время индивидуальной работы остальные учащиеся проверяют домашнее задание, решают № 18.1; 18.3; 18.4; 18.5.

Затем проверяются индивидуальные задания.

IV. Решение задач.

1) Разбираются решения следующих зданий № 18.15 (а, в); 18.16 (а, в); 18.19 (а, в); 18.22; 18.25.

2) При наличии времени выполнить следующие задания:

а) Сколько точек, у которых абсцисса равна ординате, имеет график функции Найдите координаты всех таких точек.

б) Постройте график функции

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1

2

1) Построить графики и записать свойства данной функции:

y = 3x²

2) Графически решить данное уравнение:

3) Графически решить систему уравнений:

Окончание табл.

1

2

4) Построить график функции y = f(x), если

О т в е т ы:

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть примеры решения из учебника на с. 104-107. Решить задания № 18.15 (б, г); 18.23.

Как построить график функции y = f(x + l),
если известен график функции y = f(x)

Цели: провести анализ самостоятельной работ; повторить правила построения параболы и гиперболы; объяснить правила построения графика функции y = f(x + l), если известен график функции y = f(x); развивать умение строить графики различных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Подвести итоги самостоятельной работы. Задания, с которыми не справилось большинство учащихся, разобрать на доске.

В а р и а н т 1

Задание 2.

Графически решить уравнение

Р е ш е н и е:

Для решения данного уравнения построить графики функций y = 4x² и на одной координатной плоскости.

Графиком функции y = 4x² является парабола с вершиной в точке (0; 0). Ветви данной параболы направлены вверх. Парабола проходит через точки (1; 4), (-1; 4),

Графиком функции является гипербола, проходящая через точки (1; 4), (2; 2), (-1; -4), (-2; -2).

Точкой пересечения данных графиков является точка (1; 4). Решением уравнения является абсцисса точки пересечения: 1.

О т в е т: 1.

В а р и а н т 2

Задание 3.

Графически решить систему уравнений

Р е ш е н и е:

Для решения данной системы графики функций и y = -x строятся на одной координатной плоскости.

Графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0). Ветви параболы направлены вверх. Парабола проходит через точки (2; 2), (4; 8),
(-2; 2), (-4; 8).

Графиком функции y = -x является прямая. Для построения прямой необходимы две точки (1; -1) и (0; 0).

Решением системы уравнений являются координаты точек пересечения графиков (0; 0), (-2; 2).

О т в е т: (0; 0), (-2; 2).

Учащимся, плохо справившимся с самостоятельной работой, на дом дается задание.

1) Построить график функции y = 5x², описать свойства данной функции.

2) Графическим способом решить систему уравнений

3) Построить график функции y = f(x), если

III. Объяснение нового материала.

Учитель, с помощью учащихся, на доске на координатной плоскости производит поточечное построение графика функции y = x² (пунктирной линией), графиков функций y = (x + 2)² и y = (x - 1)² (сплошной линией). Ученики самостоятельно делают выводы о сдвиге (параллельном переносе) параболы.

Чтобы закрепить сделанные выводы, нужно рассмотреть построение на одной координатной плоскости графиков следующих функций Построение выполняют ученики.

Учитель формулирует правило построения графика функции y =
= f(x + l), если известен график функции f(x). Учащиеся записывают правило в тетрадь.

Чтобы построить график функции y = f(x + l), если известен график функции f(x), надо график функции f(x) сдвинуть по оси Ox на |l| единиц вправо, если l < 0 или влево, если l > 0.

IV. Закрепление нового материала.

1) Для закрепления материала учитель на доске работает с помощью шаблона функции y = x². На координатной плоскости данный шаблон переносится в разные позиции относительно оси Ox (вершина лежит на оси Ox в позиции 3, -1, 2, 4, -5), а учащиеся должны назвать функцию, определяющую данный график.

2) Разобрать задания № 19.1; 19.6; 19.7 (г); 19.8 (г); 19.14; 19.30 (в, г); 19.32 (в, г); 19.37; 19.55.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 19, выучить правила параграфа. Решить задачи № 19.5; 19.13; 19.30 (а); 19.32 (а). Приготовить шаблоны графиков функций y = x², y = 2x², y = 0,5x²,

Как построить график функции y = f(x) + m,
если известен график функции y = f(x)

Цели: повторить правило построения графика функции y = f(x + l), если известен график функции y = f(x); объяснить правило построения графика функции y = f(x) + m, если известен график функции f(x); формировать умение строить графики различных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четырем учащимся даются индивидуальные задания на карточках.

Карточка 1

Построить графики заданных функций:

y = -3x², y = -3(x - 1)², y = -3(x + 2)².

Карточка 2

Построить графики заданных функций:

Карточка 3

Решить уравнение графическим способом:

2(x + 2)² = 2x + 4

Карточка 4

Решить уравнение графическим способом:

III. Актуализация знаний.

Пока учащиеся у доски выполняют свои задания, остальные проверяют домашнюю работу.

При проверке каждого задания повторяется правило построения функции y = f(x + l), если известен график функции f(x).

После этого выполняются № 19.11; 19.12; 19.33.

Учащиеся, выполнившие индивидуальные задания, сдают свои работы.

IV. Объяснение нового материала.

На доске на одной координатной плоскости пунктирной линией построить график функции y = -x², сплошной линей построить графики функций y = -x² + 1 и y = -x² - 3. На другой координатной плоскости пунктирной линией строится график функции а сплошной линией график функции Построения (поточечное) выполняются учениками. После всех построений ученики самостоятельно делают выводы, и стараются сформулировать правило построения графика функции y = f(x) + m, если извете график функции f(x). Помогает им правило прошлого урока.

Чтобы построить график функции y = f(x) + m, если известен график функции y = f(x), надо график функции f(x) сдвинуть по оси Oy на |m| единиц вверх, если m > 0 или вниз, если m > 0.

V. Закрепление нового материала.

1) Для закрепления материала учитель на доске работает с помощью шаблона функции y = x². На координатной плоскости данный шаблон переносится в разные позиции относительно оси Ox и относительно оси Оу, а ученики должны назвать функцию, определяющую данный график.

2) Разобрать задания № 20.2; 20.5; 20.7 (г); 20.8 (г); 20.17; 20.20; 20.25. При наличии времени решить задачи № 20.26; 20.39.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 20, выучить правило. Решить задачи № 20.1; 20.6; 20.16; 20.19.

Как построить график функции y = f(x+ l) + m,
если известен график функции y = f(x)

У р о к 1

Цели: повторить правила построения графиков функций y = f(x + l) и f(x) + m, если известен график функции y = f(x); объяснить правило построения графика функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x); развивать умение строить графики различных функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются два ученика. Первый из них вместе с классом выполняет задание с карточки № 1, а второй (самостоятельно) - с карточки № 2. После того, как решена первая задача, разбирается решение второй. Затем, таким же образом, проводится работа по карточкам 3 и 4.

Карточка 1

Построить графики функций:

y = 4x², y = 4(x - 1)², y = 4(x + 2)².

Карточка 2

Построить графики функций:

Карточка 3

Построить графики данных функций:

y = 4x², y = 4x² - 5, y = 4x² + 1

Карточка 4

Построить графики заданных функций:

III. Актуализация знаний.

Для самостоятельного решения прелагаются № 20.11; 20.12.

Учащиеся формулируют правило построения графиков функций
y = f(x + l) и y = f(x) + m, если известен график функции y = f(x).

IV. Объяснение нового материала.

Учащимся предлагается построить график функции y = 4(x - 1)² + 2. Проходит обсуждение построения данного графика. Формулируется правило построения графика функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x).

Чтобы построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x), надо график функции f(x) сдвинуть по оси Ox на |l| единиц вправо, если l < 0 или влево, если l > 0, а затем сдвинуть получивший график по оси Oy на |m| единиц вверх, если m > 0, вниз, если m < 0.

Используя полученное правило, учитель показывает на доске построение график функции (в тетрадях данный график строится с помощью шаблонов).

Затем учитель предлагает учащимся более рациональный способ решения подобных задач, т. е. использование вспомогательной системы координат.

Для функции y = 4(x - 1)² + 2:

1) выбираем вспомогательную систему координат с началом в точке (1; 2) (пунктирные прямые х = 1; у = 2).

2) Привяжем функцию y = 4x², к новой системе координат таким образом: выбираем контрольные точки для функции y = 4x², например, (0; 0); (1; 4); (-1; 4). Строим их в новой системе координат. Затем через полученные точки проведем параболу.

Получили второе правило построения графика функции y = f(x + l) + m.

Чтобы построить график функции y = f(x + l) + m, нужно перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые x = -l, y = m. Затем к новой системе привязать график функции y = f(x).

V. Закрепление нового материала.

1) Для закрепления материала учащимся предлагается построить с помощью шаблонов графики следующих функций:

а) y = x², y = (x - 3)², y = (x - 3)² - 4;

б) y = -2x², y = -2x² + 5, y = -2(x - 1)² + 5;

в)

Для выполнения данного задания к доске вызываются трое учащихся, каждый из них выполняет построение на отдельной координатной плоскости. Учащиеся класса выполняют данное построение в тетрадях. При выполнении задания можно использовать любое правило.

2) Разобрать задания № 21.6; 21.7 (с помощью шаблонов), 21.16.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 21, выучить правило. Решить задачи № 21.5; 21.9; 21.8.

У р о к 2

Цели: закрепить умение строить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x); повторить правило выделения квадрата двучлена; развивать у учащихся умение строить графики различных функций и решать уравнения графическим способом; проверить умение строить графики различных функций с помощью шаблонов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четыре ученика выходят к доске для построения графиков функций, заданных на карточках:

III. Актуализация знаний.

1) Пока на доске проходит индивидуальная работа, остальные учащиеся класса, проверив домашнее задание, работают по карточкам.

Известно, что используются только две функции y = x² и По данным на карточках графикам нужно назвать функции (карточки готовятся на отдельных листах).

О т в е т: y = (x + 2)² - 1. О т в е т: y = (x + 2)² - 4. О т в е т:

О т в е т: О т в е т: y = -(x -3)². О т в е т:

2) Решаются задания № 21.12; 21.13; 21.24.

3) Повторить формулы сокращенного умножения, выписать на доску формулы квадрата суммы и разности.

Заменить звездочки числами таким образом, чтобы равенства стали верными:

а) в)

в) г)

4) Выделить полный квадрат из трехчлена:

а) x² - 8x + 14 = (x² - 2  4  x + 16) - 16 + 14 = (x - 4)² - 2.

б) z² + 6x + 10 = (x² - 2 - 3  x + 9) - 9 + 10 = (x + 3)² + 1.

IV. Объяснение нового материала.

Задания для учащихся:

Построить график функции у = x² - 6x + 8.

Один ученик на доске выполняет преобразования по выделению полного квадрата: y = (x² - 2  3  x + 9) - 9 + 8 = (x - 3)² - 1

Другой ученик строит график функции y = (x - 3)² - 1.

(Можно использовать любой алгоритм: сдвиг или вспомогательную систему координат.)

Делается вывод:

Для построения графика функции y = ax² + bx + c нужно сначала преобразовать функцию, то есть выделить полный квадрат, а затем построить график.

V. Закрепление нового материала.

Разобрать решение заданий № 21.27, в классах с высоким уровнем подготовки № 21.28 (а, г).

VI. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

На координатной плоскости с помощью шаблонов построить графики данных функций

1) y = 2x² - 1;

2)

3)

4) y = x² - 2x - 1.

1)

2) y = 0,5(x + 2)²

3) y = -(x - 3)² + 6;

4) y = x² + 2x + 2.

VII. Подведение итогов.

Домашнее задание: выполнить задания № 21.15; 21.23; 21.26.

Функция y = ax² + bx + c,
её свойства и график

У р о к 1

Цели: ввести алгоритм построения графика функции y = ax² + bx + c; рассмотреть свойства данной функции; формировать умение строить график данной функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Учащимся, получившим неудовлетворительные оценки, задается домашняя самостоятельная работа.

Построить графики функций:

1) y = x² + 2; 2) y = -0,5(x + 2)²;

3) 4) y = x² + 4x - 1.

III. Объяснение нового материала.

Объяснить тему урока по следующему плану:

1) Дать определение квадратичной функции.

2) Доказать теорему:

Графиком квадратичной функции y = ax² + bx + c является парабола, которая получается из параболы y = ax² параллельным переносом.

3) Показать правило нахождения оси симметрии параболы.

4) Выписать формулы нахождения координат вершины параболы.

5) Определить направление ветвей параболы.

Построение графика рассмотреть на примере функции y = -x² + 8x - - 10.

1) Дана функция квадратичная, так как -1 ≠ 0, причем a = -1, b = 8, c = -10.

2) Уравнение оси симметрии т. е.

3) Координаты вершины данной параболы (4; 6), так как x₀ = 4, y₀ = = -4² + 8  4 - 10 = - 16 + 32 - 10 = 6.

4) Ветви параболы направлены вниз, так как -1 < 0.

5) График данной функции получается с помощью параллельного переноса параболы y = -x² так, чтобы вершина оказалась в точке (4; 6).

Для того чтобы построить данную параболу, так же нужны координаты хотя бы двух точек, симметричных относительно x = 4.

Например:

x = 5, y = -25 + 40 - 10 = 5;

x = 3, y = -9 + 24 - 10 = 5;

IV. Закрепление нового материала.

1) Устно определите, какая из данных функций является квадратичной (для квадратичной функции найдите значения коэффициентов a, b, c):

а) y = 7x² - 2x + 1; б) в) y = x² - 1;

г) y = 5x + 2; д) y = 5x² + 3x; е) y = 6x³ - 5x² + 7.

2) Разобрать решения примеров № 22.7; 22.9.

3) Построить графики данных функций и найти координаты точек пересечения получившихся парабол с осями координат:

а) y = x² - 4x; б) y = 2x² - 2; в) y = x² - 2x - 3.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 22, выучить алгоритм построения квадратичной функции. Решить задачи № 22.8; 22.10.

У р о к 2

Цели: повторить правила построения графика функции y = ax² + bx + + c; рассмотреть свойства данной функции; развивать умение строить график квадратичной функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

К доске вызываются четыре учащихся для построения графиков данных функций:

III. Актуализация знаний.

Пока идет работа у доски, остальные учащиеся устно разбирают задания № 22.1; 22.2; 22.3; 22.4.

После проверки индивидуальных заданий, домашней работы, рассмотреть № 22.12, предварительно проведя фронтальный опрос:

1) Какая функция является квадратичной?

2) Приведите примеры квадратичных функций.

3) Параллельным переносом параболы можно получить график функции y = 2x² - 3x, y = -x² + 3x - 7, какой функцией задается эта парабола?

4) Куда направлены ветви данных парабол y = x² - 4, y = 2x² - 5x, y = -3x² - 6x, y = 4x² + 5x + 1?

5) Назовите числовые коэффициенты a, b, c следующих функций
y = 2x² - 6x + 1, y = x² - 12x, y = 2x - x² - 1?

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть решения задач № 22.14; 22.16; 22.26 (а, г); 22.28 (б); 22.29 (б); 22.32; 22.41.

2) Найдите коэффициенты p и q у функции y = x² + px + q, зная, что ее график проходит через точки A (2; -5) и B (-1; 16).

При наличии времени предложить задание: с помощью функций составить рисунок рожицы на координатной плоскости:

Голова:

Рот:

Нос:

y = -x² + 2, -1 ≤ x ≤ 1.

Глаза:

y = -x² + 4x, 1 ≤ x ≤ 3; (-2; 3);

y = -x² - 4x, -3 ≤ x ≤ -1; (2; 3);

Для данной рожицы ученики сами могут попробовать дорисовать шапку и записать функцию, соответствующую графику.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 22.15; 22.26 (б, в); 22.31; 22.44.

Графическое решение квадратных уравнений

У р о к 1

Цели: закрепить умение строить графики различных функций; формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Предлагаются следующие варианты:

Во время работы учитель помогает тем учащимся, которые не могут справиться с заданиями. Сложные для учеников задания рассматриваются на доске.

III. Объяснение нового материала.

Учитель показывает на доске решение квадратного уравнения x² + 4x - - 5 = 0 различными способами:

1) Для решения данного уравнения можно построить на координатной плоскости параболу функции y = x² + 4x - 5 и найти точки пересечения данной параболы с осью Ox. Решением уравнения будут являться числа, соответствующие абсциссам точек пересечения. Решение показано на рисунке.

2) Можно часть выражения перенести на другую сторону таким образом, чтобы с одной стороны выражение составляло квадратичную функцию, а с другой стороны - линейную функцию.

Например x² + 4x = 5, или x² = 5 - 4x, или x² - 5 = -4x. В этом случае нужно на одной координатной плоскости построить график квадратичной функции - параболу и график линейной функции - прямую. Значения абсцисс точек пересечения получившихся графиков и будут являться корнями данного уравнения.

3) Так же можно данное выражение разделить на переменную x, получив выражение В данном случае можно выражение разделить на две части, таким образом, чтобы с одной стороны осталось выражение, соответствующее линейной функции, тогда с другой стороны останется функция вида

Например или На рисунке показано решение с помощью построения прямой y = x + 4 и гиперболы

IV. Закрепление нового материала.

Рассмотреть решение уравнений № 23.1 (а, г); 29.2 (а, г); 23.5; 23.8 (а, г); 23.12 (а, г).

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задание № 23.4, пример (в) из заданий № 23.1; 23.2; 23.8; 23.12.

У р о к 2

Цели: развивать умение строить графики различных функций и решать квадратные уравнения графическим способом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Четыре ученика выходят к доске для решения квадратных уравнений графическим способом:

Карточка 1

Решить уравнение с помощью построения параболы:

x² - 3x = 0

Карточка 2

Решить уравнение с помощью построения прямой и параболы:

x² - x - 6 = 0

Карточка 3

Решить уравнение с помощью построения параболы:

x² - 16 = 0

Карточка 4

Решить уравнение с помощью построения гиперболы и прямой:

x² + 4x + 3 = 0

III. Актуализация знаний.

Пока у доски выполняют задания с карточек, остальные учащиеся проверяют домашнюю работу. Затем проверяются решения уравнений на доске, разбирается решение задания № 23.7.

IV. Решение задач.

Выполнить задания № 23.10; 23.13; 23.15; 23.16; 23.20; 23.21.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: разобрать решение задач № 23.9; 23.14; 23.19; 23.20.

Подготовка к контрольной работе

Цели: закрепить умение построения графиков различных функций, умение решать уравнения и системы уравнений графическим способом.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

1) Проверить устно домашнее задание. Разобрать задания, которые вызвали у учащихся затруднения.

2) Назовите координаты вершин параболы:

а) y = 2x²; б) y = -3(x - 1)²; в) y = 2(x + 3)² - 5;

г) y = x² - 2x + 7; д) y = x² + 3; е) y = -x² + 2x + 3.

3) Какое из данных чисел - 2, 1, 3, 0, - 1 является корнем для уравнения:

а) x² - 2x = 0; б) x² - 4x + 3 = 0; в)

г) д) x² - 1 = 0; е) x² + 4x - 5 = 0.

III. Решение задач.

Повторить правила решения и оформления следующих заданий по данной теме:

1) Постройте график данной функции и запишите ее свойства (по вариантам):

а) y = 2x² - 3; б)

Так же ответить по получившимся рисункам на вопросы:

1. Возрастает или убывает функция на промежутке (-2; 1);

2. Найдите минимальное значение функции на интервале [1; +∞);

3. Найдите максимальное значение функции на отрезке [-2; 0].

(Учащимся, быстро справившимся с данным заданием, предлагается решить задание № 19.57.)

2) Повторить правила решения уравнений и систем уравнений графическим способом, рассмотрев задания № 17.27 (а, г); 17.33 (а, г); 18.17 (а, г); 19.47 (а, г); 22.23; 23.22.

3) Рассмотреть построение графиков различных функций на примерах № 17.44; 18.36; 21.29.

IV. Тестирование.

Подготовку к контрольной работе можно провести и как самостоятельное тестирование по вариантам.

В а р и а н т 1

1) В каких четвертях располагается график функции y = -2x²?

а) I и II; б) II и III; в) III и IV; г) I и IV.

2) Как изменяется график функции ?

а) возрастает; б) убывает;

в) возрастает на промежутке (-∞; 0), убывает на промежутке (0; +∞);

г) убывает на промежутке (-∞; 0), возрастает на промежутке (0; +∞).

3) Найдите ординату точки, ограничивающей функцию y = 3x² - 4 снизу.

а) 3; б) 4; в) - 4;

г) данная функция снизу не ограничена.

4) Найдите координаты вершины параболы, заданной функцией y = = -4(x - 1)² - 3.

а) (-1; -3); б) (1; 3); в) (-1; 3); г) (1; -3).

5) Ветви какой параболы направлены вверх?

а) y = x² - 2x - 5; б) y = 2x - x² - 5;

в) y = 5 - 2x - x²; г) y = -x² + 2x + 5.

6) Найдите наименьшее значение функции на интервале (-∞; 0].

а) не существует; б) - 1; в) 0; г) 1.

7) Найдите координаты вершины параболы, заданной функцией y = = -2x² - 16x + 1.

а) (4; - 95); б) (- 4; 33); в) (8; - 255) г) (- 8; 1).

8) Выберите график функции y = x² - 2x - 2.

В а р и а н т 2

1) В каких четвертях располагается график функции ?

а) I и II; б) I и III; в) II и IV; г) I и IV.

2) Как изменяется график функции y = -3x²?

а) возрастает; б) убывает;

в) возрастает на промежутке (-∞; 0), убывает на промежутке (0; +∞);

г) убывает на промежутке (-∞; 0), возрастает на промежутке (0; +∞).

3) Найдите ординату точки, ограничивающей функцию y = 4 + 3x² сверху.

а) 3; б) 4; в) - 4;

г) данная функция сверху не ограничена.

4) Найдите координаты вершины параболы, заданной функцией y = = 2(x + 5)² - 1.

а) (-5; -1); б) (5; -1); в) (-1; 5); г) (1; -5).

5) Ветви какой из заданных парабол направлены вниз?

а) y = x² + 2x - 5; б) y = 2x + x² - 5;

в) y = 5 + 2x - x²; г) y = -5 + x² - 2x.

6) Найдите наибольшее значение функции y = 0,5(x + 1)² + 1 на интервале [-1; +∞).

а) не существует; б) - 1; в) 0; г) 1.

7) Найдите координаты вершины параболы, заданной функцией y = = 3x² + 18x + 25.

а) (3; 106); б) (- 3; - 2); в) (- 3; - 56) г) (3; 49).

8) Выберите график функции y = -x² - 2x + 1.

О т в е т ы:

Ответы проверяются на уроке, выборочно выставляются оценки. Те задания, которые вызвали затруднения, разбираются на доске.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 19.47 (б, в); 17.45; 21.25; 23.23.

Основные понятия

У р о к 1

Цели: провести анализ контрольной работы; ввести понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; показать решения квадратных уравнений; формировать умение решать квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Выставить оценки за контрольную работу. Рассмотреть задания, с которыми не справилось большинство учащихся.

В а р и а н т 1

Задание 5*.

Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т: 2а.

В а р и а н т 2

Задание 5*.

Упростить выражение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

III. Актуализация знаний.

Из данных уравнений выбрать квадратные.

а) x² - 1 = 0; б) x³ + 2x - 1 = 0; в)

г) 3x = 0; д) 2x² - 5x + 6 = 0; е) 7x - x² + 3 = 0.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель вводит понятия:

- квадратного уравнения, его коэффициентов;

- полного и неполного квадратного уравнения;

- приведеннного и неприведенного квадратного уравнения;

- корня квадратного уравнения;

- решения квадратного уравнения.

Учитель вместе с учащимися рассматривает три вида неполных квадратных уравнений: ax² = 0, ax² + bx = 0, ax² + c = 0 и способы их решения.

x² - 1 = 0; x² - x = 0;

x² = 1; x(x - 1) = 0;

x_{1, 2} = ±1. x₁ = 0, x₂ = 1.

V. Закрепление нового материала.

1) Из написанных на доске уравнений учащиеся должны выбрать квадратные уравнения и определить значения их коэффициентов:

а) 2x² + 3x - 5 = 0; б) -x² + 4x + 1 = 0;

в) 3x³ + 2x² + x = 0; г) 5x - 3x² + 2 = 0;

д) x + 3 = 0; е) 3 -5x² - x = 0;

ж) з) 7x - 2 - x² = 0.

Указать приведенные квадратные уравнения. Из квадратных уравнений выбрать неполные и решить их на доске (решают учащиеся).

2) Решить задания № 24.4; 24.8; 24.22.

3) Определить, какие из данных уравнений не имеют корней:

а) x² - 9 = 0; б) |-3x| + 2,1 = 0

в) - 2 = 0; г) (x - 2)² + 4 = 0;

д) (x - 9)² = 0; е) (x + 1)² - 4 = 0.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 24, выучить понятия и правила данного параграфа. Решить задачи № 24.5; 24.7; 24.9.

У р о к 2

Цели: повторить понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения; рассмотреть решение уравнений различного уровня сложности; развивать у учащихся умение решать квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для самостоятельного решения заданий с карточек.

Карточка 1

Из данных уравнений выбрать квадратные, определить их коэффициенты и вид уравнения:

а) 2x² - 3 + x = 0; б) 3x² + 4 = 0;

в) 7x - x² = 0; г) -x² + x - 1 = 0;

д) x + 2 = 0; е) x³ + 3 - 3 = 0.

Карточка 2

Привести данные уравнения к стандартному виду: ax² + bx + c = 0.

а) x(2x - 1) + 3(x - 2) = 0;

б) (x - 2)(3 - 4x) + 4x(x - 5) = 0.

Карточка 3

Для какого из данных уравнений корнями являются числа - 1, 3, 2:

а) x² - 4x + 3 = 0; б) 5x - x² - 6 = 0; в) x² - 5x + 6 = 0.

Карточка 4

Решить уравнения:

а) x² - 49 = 0; б) x² - 9x = 0; в) 2x² + 50 = 0.

III. Актуализация знаний.

Пока у доски проходит индивидуальная работа, остальные учащиеся самостоятельно выполняют задание № 24.6.

Затем проверяется домашнее задание, задания из тетради и задания, решенные на доске. После этого всем классом устно выполняются задания № 24.1; 24.10; 24.11.

IV. Решение задач.

Повторяются ранее известные способы решения квадратных уравнений на конкретных примерах (7 способов).

x² + 4x + 3 = 0

1) Графический способ.

а) Построим график функции x² + 4x + 3 = 0. Корнями уравнения x² + 4x + 3 = 0 служат абсциссы точки пересечения с осью Ох: (-3; 0); (-1; 0).

Итак: х₁ = -3; х₂ = -1.

б) Преобразуем уравнение x² = -4x - 3. Построим в одной системе координат графики функций y =x² и y = -4x - 3.

Они пересекаются в точках А (-1; 1), В (-3; 9), х₁ = -3; х₂ = -1.

в) Преобразуем уравнение x² + 3 = -4x. Построим графики функций y = x² + 3 и y = -4x.

Найдем абсциссы точек пересечения.

г) Преобразуем уравнение к виду:

x² + 4x + 4 - 4 + 3 = 0;

(x + 2)² - 1 = 0;

(x + 2)² = 0.

Построим в одной системе координат графики и у = (x + 2)² и у = 1 найдем абсциссы точек пересечения.

д) Разделим обе части уравнения на:

Построим в одной системе координат графики функции у = х + 4 и Найдем абсциссы точек пересечения.

2) Аналитический способ.

Используется два способа разложения на множители:

а) выделение полного квадрата

x² + 4x + 3 = 0;

x² + 4x + 4 - 4 + 3 = 0;

(x + 2)² - 1 = 0;

(x + 2 - 1) (x + 2 + 1) = 0;

(x + 1) (x + 3) = 0;

x + 1 = 0 или x + 3 = 0;

x = -1 или x = - 3.

б) x² + 4x + 3 = 0;

x² + 3x + х + 3 = 0;

х(x + 3) + (x + 3) = 0;

(x + 3) (x + 1) = 0;

x + 3 = 0 или x + 1 = 0;

x = -3 или x = - 1.

1) Разобрать решения заданий № 24.24; 24.26; 24.31; 24.34.

2) С сильными учащимися разобрать решение уравнения методом введения новой переменной:

2(3x - 5)² = 9(3x - 5);

t = 3x - 5; 2t² = 9t;

2t² - 9t = 0;

t(2t - 9) = 0;

t₁ = 0; t₂ = 4,5.

При t = 0;

3x - 5 = 0;

При t = 4,5;

3x - 5 = 4,5;

О т в е т:

Разобрать аналогичным способом решения следующих уравнений:

а) (2x - 1)² = 2 - 4x; б) 4 - 9(2 - 5x)² = 0.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 24.25; 24.33.

У р о к 3

Цели: повторить понятия квадратного уравнения, корня квадратного уравнения, правила решения неполных квадратных уравнений; развивать умение решать квадратные уравнения различного уровня сложности; проверить знания учащихся по теме «квадратные уравнения».

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Данный диктант проводится для закрепления пройденной темы. Один вариант, в ответе записывается только «да» или «нет».

1) Является ли уравнение 2x² - 3x + 4 = 0 квадратным?

2) В уравнении 3x² + 3x - 3 = 0 число 3 является свободным членом?

3) Является ли уравнение 2 - 4x + x² = 0 приведенным?

4) Является ли полным уравнение 5x + x² - 1 = 0?

5) Является ли число 0 корнем уравнения x² - x = 0?

6) Может ли квадратное уравнение не иметь корней?

7) Правда ли, что число 0 является корнем для любого квадратного уравнения?

8) У любого ли квадратного уравнения коэффициент a равен нулю?

Затем диктант разбирается всем классом и на вопросы учителя ученики отвечают с полным объяснением.

III. Решение задач.

1) Разобрать решение заданий № 24.2; 24.21; 24.35; 24.38 (г); 24.39.

2) Сколько корней может иметь квадратное уравнение, и какие уравнения не могут иметь корней?

Докажите, что данные уравнения не могут иметь корней:

а) x² + 10 = 0; б)

в) г)

3) Повторить правила решения уравнений с помощью введения новой переменной:

а) (2x - 1)² = 3(2x - 1); б) (5x + 3)² - 16 = 0.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) Привести квадратные уравнения к виду ax² + bx + c = 0, выписать его коэффициенты и определить вид уравнения:

а) 2x - x² + 1 = 0;

б) 3x² - 5 = 0.

а) 7x² - 2 + 3x = 0;

б) 3x + 4x² = 0.

2) Какие из чисел -2, 2, 5 являются корнями уравнения:

а) x² - 3x - 10 = 0;

б) x² - 5x = 0.

а) x² - 6x + 8 = 0;

б) x² - 4 = 0.

3) Решить данные уравнения:

а) 5x² - 2x = 0;

б) x² + 5 = 0;

в) x² - 12x + 36 = 0.

а) 3x² - 12 = 0;

б) 3x - 4x² = 0;

в) x² + 10x + 25 = 0.

О т в е т ы:

Задание

2 (а)

2 (б)

3 (1)

3 (б)

3 (в)

I

- 2, 5

5

0; 0,4

нет корней

6

II

2

- 2; 2

- 2; 2

0; 0,75

- 5

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 24.29; 24.32; 24.38 (а, в).

Формулы корней квадратных уравнений

У р о к 1

Цели: показать способ решения полных квадратных уравнений с использованием формулы корней квадратного уравнения; формировать умение решать квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельно работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Учащимся, не справившимся с данной работой, домой даются задания:

1) Привести уравнения к стандартному виду и выписать их коэффициенты:

а) 3x + 5x² - 1 = 0;

б) 5x - 2 + x² = 0;

в) x² - 2 = 0.

2) Являются числа 3, 1, 0, -4 корнями уравнения x² + 3x - 4 = 0.

3) Решить уравнения:

а) x² - 3x = 0;

б) x² - 16 = 0;

в) x² - 2x + 1 = 0;

г) x² + 4 = 0.

III. Актуализация знаний.

Рассмотреть решение уравнений:

а) 3x² - 75 = 0;

б) x² - 14x + 49 = 0;

в) x² - x - 2 = 0.

IV. Объяснение нового материала.

Провести беседу с учениками и обсудить: всегда ли удобно решать уравнения графическим способом, сделать соответствующие выводы.

После этого учитель показывает способ решения квадратного уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения. Объяснение данной темы проходит согласно параграфу. Все формулы выписываются на доску. Для того, чтобы учащиеся лучше усвоили данную тему, можно приготовить плакат:

Для закрепления данного материала рассмотреть решение квадратного уравнения x² - x - 2 = 0 через дискриминант, обсудить удобство данного решения.

x² - x - 2 = 0;

a = 1, b = -1, c = -2;

D = b² - 4ac = 1² - 41(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²;

D = 9 > 0, значит имеем два действительных корня.

О т в е т: 2, -1.

V. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть решение уравнений № 25.4; 25.6; 25.8; 25.16; 25.18.

2) Сильным учащимся можно предложить следующие задания:

а) Найдите где x₁ и x₂ корни уравнения x² - 3x - 6 = 0.

Р е ш е н и е:

x² - 3x - 6 = 0;

a = 1, b = -3, c = -6;

D = b² - 4ac = 9 - 41(-6) = 9 + 24 = 33;

б) Один из корней уравнения 2x² - 3x - 2 = 0 является так же корнем уравнения 2x² - 5x + 2 = 0. На сколько этот корень меньше 5? (решения уравнений можно рассмотреть по вариантам).

в) При каком значении a уравнение имеет один корень?

Р е ш е н и е:

Чтобы дробь равнялась нулю, надо чтобы числитель дроби был равен нулю, а знаменатель - отличен от нуля. Решим уравнение:

x² - 3x + 2 = 0;

a = 1, b = -3, c = 2;

D = b² - 4ac = 9 - 8 = 1;

Уравнение имеет два корня при условии а ≠ 1; а ≠ 2. По условию требуется найти для данного уравнения только один корень. Чтобы остался только один корень уравнения, необходимо, чтобы один из корней не входил в область допустимых значений. Значит a = 2 или a = 1, так как на ноль делить нельзя.

О т в е т: a₁ = 2, a₂ = 1.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 25 и выучить правила на с. 138-147. Решить уравнения № 25.2; 25.5.

У р о к 2

Цели: повторить алгоритм решения полных квадратных уравнений, понятие и смысл дискриминанта; показать правила оформления решения задач с помощью квадратных уравнений; развивать умение решать квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для решения уравнений с карточек:

III. Актуализация знаний.

Пока на доске выполняются задания с карточек, остальные учащиеся решают уравнения № 25.10. Затем проверяются уравнения домашней работы, уравнения, решенные в тетради и на доске. При этом еще раз повторяются правила решения квадратных уравнений и формулы, помогающие решить их.

На доске решаются уравнения № 25.9; 25.20.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель показывает способ решения задач с помощью квадратного уравнения на примере задачи № 25.23.

V. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть задачи № 25.27; 25.30; 25.34; 25.42.

2) Учащимся предлагается самостоятельно решить по рядам уравнения и выписать соответствующие координаты (x_max, x_min):

I ряд

1. x² - 7x + 10 = 0, (5; 2)

2. x² - x = 0, (1; 0)

3. 2x² - 8x - 10 = 0, (5; - 1)

4. x² - 8x = 0, (8; 0)

5. 2x² - 12x - 14 = 0, (7; - 1)

6. -x² + 6x + 16 = 0, (8; - 2)

7. 3x² - 24x - 60 = 0, (10; - 2)

8. x² - 8x - 9 = 0, (9; - 1)

9. -x² + 7x + 8 = 0, (8; - 1)

10. -2x² + 20x = 0, (10; 0)

II ряд

11. x² - 10x - 11 = 0, (11; - 1)

12. 2x² - 28x - 30 = 0, (15; - 1)

13. 0,5x² - 7x - 16 = 0, (16; - 2)

14. x² - 17x - 38 = 0, (19; - 2)

15. x² - 17x - 18 = 0, (18; - 1)

16. 2x² - 30x - 32 = 0, (16; - 1)

17. -x² + 17x = 0, (17; 0)

18. 2x² - 36x = 0, (18, 0)

19. x² - 20x + 19 = 0, (19; 1)

20. x - 20x + 51 = 0, (17; 3)

III ряд

21. x² - 19x + 34 = 0, (17, 2)

22. -x² + 19x - 48 = 0, (16, 3)

23. 0,5x² - 9x + 16 = 0, (16, 2)

24. x² - 16x + 15 = 0, (15, 1)

25. x² - 15x + 14 = 0, (14, 1)

26. 2x² - 30x + 52 = 0, (13, 2)

27. -x² + 11x - 18 = 0, (9, 2)

28. x² - 9x + 8 = 0, (8, 1)

29. (5, 2)

На решение уравнений и запись координат дается некоторое время, затем проверяются координаты. По получившимся координатам на доске, на координатной плоскости, составляется рисунок.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 25.14; 25.24; 25.29.

У р о к 3

Цели: рассмотреть решение квадратных уравнений различного уровня сложности; развивать умение решать квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения:

1) x² - 13x + 40 = 0;

2) x² + 7x - 30 = 0;

3) x² - 3x(x - 5) = 15x - 18;

4)

1) x² - 3x - 10 = 0;

2) x² + 7x + 6 = 0;

3) (4x + 5)² - 13x² = 100 + 40x;

4)

Ответы самостоятельной работы проверяются на уроке. Задания, которые вызвали затруднения при решении, рассматриваются на доске. По ходу решения учитель помогает тем, кто испытывает затруднения.

III. Актуализация знаний.

После проверки самостоятельной работы (оценки выставляются выборочно) повторить пройденный материал:

1) При каком значении a данное уравнение имеет один корень:

а) x² + ax + 81 = 0;

б) x² - 4ax + a = 0.

2) Докажите, что не существует такого значения a, при котором уравнение x² - ax + a - 2 = 0 имело бы один корень.

Р е ш е н и е:

Чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы значение дискриминанта было равно нулю. Выразим из данного уравнения дискриминант.

x² - ax + a - 2 = 0;

a = 1, b = -a, c = a - 2;

D = b² - 4ac = a² - 41(a - 2) = a² - 4a + 8;

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение:

a² - 4a + 8 = 0;

D = b² - 4ac = 16 - 32 = -16 < 0.

Так как значение дискриминанта отрицательное, то данное уравнение не имеет корней. А значит, не существует такого значения переменной а, при котором уравнение x² - ax + a - 2 = 0 будет иметь один корень.

IV. Решение задач.

Сильным учащимся можно предложить задание: пусть х₁ и х₂ - корни уравнения ax² + bx + c = 0, где с ≠ 0. Выразите через коэффициенты a, b и c выражения:

а) б) в)

Р е ш е н и е:

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ас

а)

б)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 25.39; 25.40.

У р о к 4

Цели: закрепить умение решать квадратные уравнения; рассмотреть различные задания, решающиеся с помощью квадратного уравнения; проверить умение учащихся решать полные и неполные квадратные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Для выполнения заданий к доске вызываются по два ученика. На местах учащиеся выполняют одно (на выбор).

1) Решить уравнения:

а) x² - 13x + 22 = 0; б) (3x + 4)² + (5x - 1)² = 38 + x.

2) При каком значении a уравнение имеет один корень:

а) x² + ax + 9 = 0; б) x² + 3ax + a = 0.

3) Решить задачу:

а) Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа, если одно из них на 8 больше другого.

б) Площадь прямоугольника равна 480 дм². Найдите величины сторон данного прямоугольника, если его периметр равен 94 дм.

III. Решение задач.

1) Рассмотреть решение заданий № 25.37; 25.45; 25.44. Сильным учащимся предлагаются следующие задания:

2) При каком значении a данное уравнение

а) б) имеет только один корень?

3) Решить уравнение:

Р е ш е н и е:

О т в е т:

IV. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) 9x + 8x² = -1

2) 3 + 3x² = 4x

3) 25 - 10x + x² = 0

4) 4x - 4x² = 1

5) 3x² - 4 = 0

6) 9x² + 8 = 18x

7) 2x = -x² - 1

8) 20x + 25x² = -4

9) -1 - 4x² = 0

10) 0,3x - x² = 0

11) 12 - 17x - 5x² = 0

Вариант 2

1) 2 - 9x² = 0

2) -15 - 2x² = -11x

3) -0,36 - x² = 0

4) 16x + 64 = -x²

5) 13x + 3x² = -14

6) 7x² - 3x = 0

7) 5 = 2x - x²

8) 16 + x² = 8x

9) 1 - 4x² + 3x = 0

10) -12x + 4 = -9x²

11) 10x² - 2 = x

Вариант 3

1) 6 + 3x² = 8x

2) 25 + 4х² - 20х = 0

3) -2х² + 3x = 0

4) 8x + 1 = -7х²

5) 1 + х² = -2x

6) -х² = 9 - 6x

7) 7 = 6х² - 5

8) 13х - 14 + 3х² = 0

9) - 8x - 16х² = 1

10) -х² = 0,4

11) 2х² - 1 = 0

О т в е т ы:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

2

3

4

1

-1 и

нет корней

2

нет корней

3 и 2,5

нет корней

Окончание табл.

1

2

3

4

3

5

нет корней

0 и - 1,5

4

0,5

-8

-1 и

5

-2 и

-1

6

и

0 и

3

7

-1

нет корней

-0,5 и

8

-0,4

4

2 и

9

±0,5

1 и

-0,25

10

0 и 0,3

0 и 2,5

11

0,6 и -4

0,5 и -0,4

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 25.7; 25.43.

Рациональные уравнения

У р о к 1

Цели: повторить понятие алгебраической дроби; выработать алгоритм решения рациональных уравнений; формировать умение решать рациональные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Если с данной работой хорошо справилось большинство учащихся, то данные задания даются для домашнего выполнения тем, кто получил отрицательные оценки. Если самостоятельная работа написана плохо в целом, то задания разбираются в классе у доски.

Решить уравнения:

1) 3x² - 4 - 24 = 0; 2) 4x² = -4x - 1;

3) -25 = 10x + x²; 4) 6x² - 17x + 12 = 0;

5) -3x² = 4x; 6) 3x² - 7 = 4x;

7) 4 = 20x - 25x²; 8) 2x = x² + 1;

9) 21x + 10 = -9x²; 10) 36 = -4x².

III. Актуализация знаний.

Повторить понятие алгебраической дроби. На доске рассмотреть решение уравнения:

Затем повторить понятие области допустимых значений для дробей.

IV. Объяснение нового материала.

Предложить одному ученику класса на доске решить уравнение

Решение комментируется, контролируется учителем. После составляется алгоритм решения любого рационального уравнения (согласно учебнику с. 143).

V. Закрепление нового материала.

1) Какие из чисел 2, 5, -3, 1 не могут являться корнями уравнения:

а) б) в)

2) Рассмотреть решение уравнений № 26.3; 26.5; 26.7; 26.10; 26.12.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 26, выучить алгоритм решения рациональных уравнений. Решить уравнения № 26.2; 26.6; 26.9.

У р о к 2

Цели: повторить алгоритм решения рациональных уравнений; рассмотреть решение рациональных уравнений различного уровня сложности, а так же биквадратные уравнения и уравнения, решаемые с помощью замены переменной; развивать умение решать рациональные уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика, им раздаются карточки с уравнениями различной сложности для самостоятельного решения.

III. Актуализация знаний.

Пока у доски проходит индивидуальная работа, остальные учащиеся самостоятельно выполняют задание № 26.4.

Затем проверяются все задания, а также домашняя работа.

IV. Объяснение нового материала.

Ввести понятие биквадратного уравнения. Показать на доске решение уравнения:

x⁴ - 3x² - 4 = 0;

Пусть t = x², получим t² - 3t - 4 = 0.

a = 1, b = -3, c = -4;

D = b² - 4ac = 9 + 16 = 25 = 52;

D = 52 > 0. Значит имеем два действительных корня:

t₁ = 4, t₂ = -1.

При

При t₂ = -1 получим x² = -1, уравнение не имеет действительных корней.

О т в е т: ±2.

Так же рассмотреть решение уравнений с помощью замены переменных:

(x - 1)² - 10(x - 1) + 9 = 0;

Пусть t = x - 1, тогда уравнение примет вид t² - 10t + 9 = 0;

a = 1, b = -10, c = 9;

D = b² - 4ac = 100 - 36 = 64 = 8²;

D > 0, имеем два действительных корня:

При t₁ = 9, x₁ = t₁ + 1 = 10,

При t₂ = 1, x₂ = t₂ + 1 = 2.

О т в е т: 10, 2.

V. Закрепление нового материала.

1) Рассмотреть решение уравнений № 26.15; 26.22.

2) Рассмотреть решение уравнения, с помощью сложной замены:

(x - 1)⁴ - x² + 2x - 73 = 0;

(x - 1)⁴ - (x² - 2x + 1) - 72 = 0;

(x - 1)⁴ - (x - 1)² - 72 = 0.

Пусть t = (x - 1)², уравнение примет вид t² - t - 72 = 0;

D = b² - 4ac = 1 + 472 = 289 = 17²;

При (x - 1)² = 9, x - 1 = ±3.

При x₁ = 3 + 1 = 4, x₂ = -3 + 1 = -2;

(x - 1)² = -8 данное уравнение не имеет действительных корней.

О т в е т: 4, - 2.

Аналогичное уравнение (x + 3)⁴ - 13(x + 3)² + 36 = 0 на доске решает один из учеников класса.

3) Затем рассмотреть решение заданий № 26.18; 26.19, сильным ученикам предлагается решить задание № 26.20.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить уравнения № 25.14; 26.13; 26.17.

Рациональные уравнения
как математические модели реальных ситуаций

У р о к 1

Цели: закрепить умение решать рациональные уравнения различной сложности; объяснить правила оформления решения задач, решающихся с помощью рациональных уравнений; формировать умение решать и оформлять задачи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

При выполнении работы учитель помогает тем учащимся, которые испытывают затруднения при решении.

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения:

1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4)

III. Объяснение нового материала.

Учитель показывает правило решения и оформления следующей задачи на доске.

Две бригады должны были изготовить по 180 книжных полок. Первая бригада в час изготовляла на 2 полки больше, чем вторая, и потому закончила работу на 3 часа раньше. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Для решения данной задачи можно использовать таблицу. Обозначим за x часов, время затраченное 1 бригадой.

Окончание табл.

Так как производительность первой бригады на 2 полки в час выше, то составим уравнение:

-2x² - 6x + 540 = 0;

x² + 3x - 270 = 0;

D = 9 + 1080 = 1089 = 33²;

x₁ = 15, x₂ = -18.

Значение -18 не подходит по смыслу задачи (время всегда положительно), значит время работы первой бригады равно 15 часов, а второй - 18 часов.

О т в е т: первая бригада работала 15 часов, а вторая - 18 часов.

IV. Закрепление нового материала.

Рассмотреть на доске решение задач № 27.2; 27.7.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: рассмотреть решение задач на с. 153-165. Решить задачи № 26.13; 27.3.

У р о к 2

Цель: развивать умение решать и оформлять задачи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика, из них двое показывают на доске решение домашних задач, а двое других работают с карточками.

Карточка 1

Двое рабочих вместе могут убрать помещение за 2 часа. Если бы первый рабочий убирал помещение один, то ему понадобилось бы на 3 часа больше, чем второму. За какое время может убрать помещение первый рабочий?

Карточка 2

Два грузчика разгружали вагоны с продуктами. Первый разгружал на 50 ц в день больше второго и разгрузил 300 ц; при этом он работал на 2 дня меньше второго. Второй грузчик разгрузил 250 ц. Сколько дней работал каждый?

III. Актуализация знаний.

Пока на доске готовятся задачи, остальные ученики класса решают из учебника задачу № 27.1.

Затем проверяются все выполненные задачи.

IV. Решение задач.

Решить задачи № 27.2; 27.16; 27.23.

Сильным ученикам предлагается решить задачи № 27.27; 27.42.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 27.5; 27.11; 27.17.

У р о к 3

Цели: рассмотреть решение задач различной сложности; проверить умение учеников решать рациональные уравнения и задачи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Обучающая самостоятельная работа.

Учащимся предлагается самостоятельно выполнить следующие задания:

Вариант 1

Вариант 2

Решить № 27.8; 27.14; 27.18.

Решить № 27.9; 27.15; 27.19.

Проверяются задачи на уроке.

III. Решение задач.

На доске решить задачи № 27.4; 27.12; 27.20; 27.24; 27.26; 27.29.

Сильным ученикам предлагается решить задания № 27.43; 27.44.

Вариант 1

Вариант 2

1) Решить уравнения:

а)

б)

в)

а)

б)

в)

2) Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа.

Какова скорость течения реки?

2) Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 часа.

Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 27.13; 27.25; 27.30; 27.45.

Еще одна формула корней квадратного уравнения

У р о к 1

Цели: вывести формулы для решения квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом; развивать умение решать квадратные уравнения, используя различные формулы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Рассмотреть задания, с которыми не справилось большинство учеников. Тем учащимся, которые с самостоятельной работой справились плохо, домой задаются задания, аналогичные заданиям самостоятельной работы.

1) Решить уравнения:

а) б)

в) x⁴ - 7x² - 18 = 0.

2) Две машинистки, работая совместно, могут перепечатать рукопись за 8тчасов. Сколько времени потребовалось бы каждой из них на выполнение этой работы, если одной для этого потребуется на 12 часов больше, чем другой?

III. Объяснение нового материала.

На доске ученик класса решает уравнение: 7x² + 6x - 1 = 0.

Затем учитель дает новые формулы и показывает на решении данного уравнения их применение.

7x² + 6x - 1 = 0;

a = 7, c = -1;

Сравниваются ответы и делаются соответствующие выводы. Затем учитель обсуждает с учащимися удобство данного способа решения.

IV. Закрепление нового материала.

1) Разобрать решение уравнений и задач № 28.1 (а, б); 28.8; 28.10; 28.13; 28.16; 28.19; 28.25.

2) Также предлагается на доске рассмотреть решение сложных уравнений по данным формулам:

а)

б) x⁴ - 4x² - 1 = 0;

в) (x² - 5x)² + 10(x² - 5x) + 24 = 0.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 28.7; 28.12; 28.15.

У р о к 2

Цели: повторить формулы для решения квадратных уравнений; рассмотреть решение квадратных уравнений различного уровня сложности, с помощью разных формул; развивать умение решать квадратные уравнения и задачи с их применением.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для решения уравнений на карточках. Предлагается воспользоваться формулами для четного второго коэффициента.

III. Актуализация знаний.

Пока на доске решаются задания с карточек, остальные ученики в тетрадях выполняют самостоятельно решение уравнений № 28.1 (в, г) (можно по вариантам).

После истечения некоторого времени проверяются уравнения на доске, в тетрадях, а также проверяются задания домашней работы.

IV. Решение задач.

1) Разобрать решение заданий № 28.9; 28.14; 28.21(а, в); 28.26; 28.28.

2) Рассмотреть решение квадратных уравнений с помощью различных формул:

а) (3x + 4)(11x - 6) = 0; г)

б) (3x + 4)(11x - 6) = 1; д)

в) (3x + 4)(11x - 6) = 3x + 4;

V. Обучающая самостоятельная работа.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 28.11; 28.21 (б, г), 28.24, 28.27.

Теорема Виета

У р о к 1

Цели: повторить формулы для решения квадратных уравнений; доказать теорему Виета, показать ее применение; рассмотреть различные задания на применение теоремы Виета; сформировать умение использовать эту теорему.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

На доске рассмотреть решение уравнений по двум различным формулам, найти для каждого уравнения сумму и произведение корней:

а) x² - x - 6 = 0;

б) x² - 8x - 20 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Обратить внимание учеников на то, что объединяет решенные уравнения. Затем на доске записывается теорема Виета и доказывается учителем согласно параграфу.

IV. Закрепление нового материала.

1) Определить знаки корней данных уравнений:

а) x² - 9x - 10 = 0; б) x² + 5x + 6 = 0;

в) x² + 4x - 5 = 0; г) x² - 5x + 4 = 0.

Например: x² + 4x - 12 = 0.

В данном уравнении произведение корней равно -12, значит один из корней положительный, а другой отрицательный. Так как сумма корней данного уравнения равна -4, то отрицательное число больше по модулю.

2) Решить уравнения № 29.3; 29.5; 29.7; 29.10; 29.12; 29.14.

3) Один из корней уравнения равен -2. Найдите коэффициент a и второй корень уравнения:

а) x² + 5x + a = 0;

б) x² + ax - 20 = 0.

4) Для сильных учеников предлагается задание:

Пусть x₁ и x₂ корни уравнения x² + px + q = 0, найдите значения выражений (вспомнить, каким образом аналогичное задание решалось ранее, сделать выводы):

а) б) (x₁ + x₂)²; в)

Р е ш е н и е:

а)

По теореме Виета из уравнения x² + px + q = 0 следует

Значит,

в)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 29.2; 29.6; 29.9; 29.13.

У р о к 2

Цели: повторить терему Виета; объяснить правила разложения многочленов на множители; развивать умение решать квадратные уравнения различными способами, формировать умение раскладывать многочлены на множители, сокращать дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для выполнения различных заданий с помощью теоремы Виета.

Карточка 1

Решить уравнение и проверить его корни по теореме Виета:

x² + x - 20 = 0.

Карточка 2

Составить уравнение, для которого корнями будут являться числа 1 и -3.

Карточка 3

При каком значении переменной b один из корней уравнения x² - - bx + 15 = 0 равен 3.

Карточка 4

Не решая уравнения 3x² + x - 30 = 0 найти значение выражения где x₁ и x₂ являются корнями данного уравнения.

III. Актуализация знаний.

Во время проведения индивидуальной работы остальные учащиеся класса решают задание № 29.8.

После некоторого времени проверяются задания на доске, в тетрадях, уравнения из домашнего задания. После чего устно разбираются уравнения № 29.1; 29.4, письменно решается задание № 29.11.

IV. Объяснение нового материала.

Учитель доказывает теорему о разложении многочлена на множители согласно параграфу, и показывает ее применение на примерах:

1) Разложить на множители:

а) x² + 6x - 7;

б) 3x² + 2x - 5.

2) Сократить дробь

V. Закрепление нового материала.

1) Из учебника разобрать решение заданий № 29.16; 29.17; 29.20.

Сильным ученикам предлагается решить задания 1) № 29.29; 29.31; 29.37.

2) Не решая уравнения ax² + bx + c = 0, найдите:

а) б)

Вычислите значение данных выражений для уравнения 3x² - 2x - 3 = 0.

3) Не решая уравнения 2x² - 3x - 11 = 0, найдите где x₁, x₂ его корни.

Р е ш е н и е:

Для использования теоремы Виета нужно сделать уравнение приведенным:

тогда по теореме Виета

Ответ:

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 29.15; 29.19; 29.39; 29.48.

У р о к 3

Цели: повторить правила разложения многочлена на множители; развивать умение решать квадратные уравнения различными способами, раскладывать многочлены на множители, сокращать дроби.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика для самостоятельного решения заданий с карточек:

Карточка 1

Разложить на множители многочлен:

x² - 4x + 3.

Карточка 2

Разложить на множители многочлен:

5x² - 3x - 2.

Карточка 3

Сократить дробь:

Карточка 4

Сократить дробь:

III. Актуализация знаний.

Пока на доске решаются задания с карточек, остальные учащиеся самостоятельно разбирают задание № 29.18.

Затем комментируются решения заданий из тетрадей, проверяются индивидуальные задания и домашняя работа.

IV. Решение задач.

1) Разбираются задания № 29.21; 29.22; 29.24; 29.34; 29.40.

Задания для сильных учеников.

2) Пусть x₁ и x₂ корни заданного квадратного трехчлена. Найдите значения выражения f(x₁, x₂).

а) x² - 7x - 1,

б) x² - 4x - 1,

3) Пусть x₁ и x₂ корни заданного уравнения x² + 13x - 17 = 0.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа 2 - x₁ и 2 - x₂.

V. Самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

1) Решите данные уравнения:

а) x² + 4x - 12 = 0;

б) 3x² + 8x - 3 = 0;

в)

а) x² - 4x - 21 = 0;

б) 5x² - 8x + 3 = 0;

в)

2) Сократите дробь

2) Сократите дробь

3) Найдите коэффициент k для уравнения x² - kx - 3 = 0, если один из его корней равен 3.

3) Найдите коэффициент k для уравнения x² + 6x + k = 0, если один из его корней равен -2.

О т в е т ы:

Задание

1 (а)

1 (б)

1 (в)

2

3

I

2 и - 6

3

II

7 и - 3

1,8 и 1,4

2 и - 6

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 29.23; 29.25; 29.28; 29.33.

Иррациональные уравнения

У р о к 1

Цели: ввести понятие иррациональных уравнений, равносильных уравнений; объяснить правило решения иррациональных уравнений и показать оформление решения; формировать умение решать иррациональные уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ самостоятельной работы.

Выставить оценки за самостоятельную работу. Задания, по которым было допущено наибольшее количество ошибок, рассмотреть на доске.

В а р и а н т 1

Задание 3.

Найдите коэффициент k для уравнения x² - kx - 3 = 0, если один из его корней равен 3.

Р е ш е н и е:

По теореме Виета:

Один из корней равен 3, значит 3x₁ = -3; x₁ = -1.

Найдем коэффициент k = 3 + (-1) = 2.

О т в е т: k = 2.

В а р и а н т 2

Задание 3.

Найдите коэффициент k для уравнения x² + 6x + k = 0, если один из его корней равен -2.

Р е ш е н и е:

Применим теорему Виета:

x₁ + x₂ = -6;

x₂ = -6 - x₁ = -6 + 2 = -4.

Также с помощью теоремы Виета найдем неизвестный коэффициент:

О т в е т: k = 8.

Тем учащимся, которые получили отрицательные оценки, домой задаются аналогичные самостоятельной работе задания.

1) Решить уравнения:

а) x² - 4x - 32 = 0; б)

2) Сократить дробь:

3) Найдите коэффициент k для уравнения x² + kx + 15 = 0, если один из его корней равен -3.

III. Объяснение новой темы.

Данная тема объясняется согласно параграфу. Рассмотреть на доске решение иррационального уравнения:

4x² - 9x + 2 = x² - 4x + 4;

3x² - 5x - 2 = 0;

D = b² - 4ac = 25 + 24 = 49 = 7²;

Проверка:

1) При х = 2 получим 2) При получим

(неверно),

подкоренное значение не может быть

отрицательным

0 = 0 (верно). - посторонний корень.

О т в е т: 2

IV. Закрепление нового материала.

1) Какие из данных чисел 2, -3, 1, 0, 5 являются корнями уравнения:

а)

б)

в)

2) Какие из данных уравнений не имеют корней:

а) б)

в) г)

д) е)

3) Разобрать № 30.2; 30.4; 30.8; 30.10; 30.12; 30.16.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 30.1; 30.7; 30.11.

У р о к 2

Цели: повторить правила решения иррациональных уравнений; рассмотреть решение иррациональных уравнений различного уровня сложности; развивать умение решать иррациональные уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

К доске вызываются четыре ученика, которые самостоятельно решают иррациональные уравнения с карточек.

III. Актуализация знаний.

Учащиеся самостоятельно в тетрадях решают уравнения № 30.5.

Затем проверяются задания на доске, в тетрадях и домашняя работа.

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть решение уравнений № 30.3; 30.9; 30.14; 30.18; 30.20; 30.22 (а, г). Сильным ученикам предлагается решить уравнения № 30.23, с помощью замены переменной.

V. Обучающая самостоятельная работа.

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения:

1)

2)

3)

1)

2)

3)

Данная самостоятельная работа проверяется на уроке. Выставляются оценки только за хорошие работы.

VI. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить уравнения № 30.15; 30.19; 30.22 (б, в).

Тестирование

Цели: выявить пробелы в знаниях по теме «Квадратные уравнения».

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Тестирование.

Проводится самостоятельное тестирование, которое дается по вариантам.

В а р и а н т 1

1) Выберите приведенное квадратное уравнение из данных:

а) x² - 1 + x = 0; б) x - 2x² + 2 = 0;

в) 3x - 2x² + 1 = 0; г) x² - 2 = 0.

2) Какое из чисел является корнем уравнения 2x² - 3x - 14 = 0?

а) 3; б) -2; в) 2; г) -3.

3) Решите уравнение x² - 36 = 0.

а) 6 и 0; б) 6 и - 6; в) 0 и - 6; г) 6.

4) Сколько корней имеет уравнение x² + 10x + 25 = 0?

а) множество; б) один; в) два; г) ни одного.

5) Решите уравнение 6x² + 7x + 2 = 0.

а) и ; б) и 1; в) и 1; г) и - 1.

6) При каком значении переменной а уравнение x² - ax + 9 = 0 имеет один корень?

а) ±6; б) ±9; в) ±3; г) ±12.

7) Какие корни не могут быть корнями для уравнения

а) 3 и - 1; б) 2 и 3; в) 3 и - 2; г) 3 и 1.

8) Решите уравнение

а) 0 и - 1; б) 0; в) 0 и - 11; г) -1 и -11.

9) Найдите коэффициент k для уравнения x² + kx - 30 = 0, если один из корней равен -6.

а) 5; б) - 5; в) 1; г) - 1.

10) Решите уравнение

а) 7 и - 2; б) 7; в) - 2; г) 2 и - 7.

В а р и а н т 2

1) Выберите неполное квадратное уравнение из данных:

а) x² - 1 + x = 0; б) x - 2x² + 2 = 0;

в) 3x - 2x² + 1 = 0; г) x² - 2 = 0.

2) Какое из чисел является корнем уравнения -x² + 2x + 3 = 0?

а) 3; б) -2; в) 2; г) -3.

3) Решите уравнение 2x² - 12x = 0.

а) 6 и 0; б) 6 и - 6; в) 0 и - 6; г) 6.

4) Сколько корней имеет уравнение x² - 2x + 7 = 0?

а) множество; б) один; в) два; г) ни одного.

5) Решите уравнение 3x² - 11x + 8 = 0.

а) и б) и 1; в) и 1; г) и -1.

6) При каком значении переменной a уравнение x² + 2ax + 9 = 0 имеет один корень?

а) ±6; б) ±9; в) ±3; г) ±12.

7) Какие корни не могут быть корнями для уравнения

а) 3 и - 1; б) 2 и 3; в) 3 и - 2; г) 3 и 1.

8) Решите уравнение

а) 0 и -1; б) 0; в) 0 и -11; г) -1 и -11.

9) Найдите коэффициент k для уравнения x² - 3x - k = 0, если один из корней равен - 1.

а) 4; б) -4; в) 3; г) -3.

10) Решите уравнение

а) 4 и - 1; б) 4; в) - 1; г) 1 и - 4.

О т в е т ы:

III. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 25.13; 27.34; 29.38.

Подготовка к контрольной работе

Цели: повторить понятие квадратного уравнения; повторить различные способы решения квадратных, рациональных и иррациональных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ тестирования.

Выставляются оценки за тестирование. Задания, по которым допущено наибольшее количество ошибок, разбираются на доске.

III. Актуализация знаний.

Данные уравнения выписываются на доску или на альбомные листы. Ученики стараются решить уравнения устно, с помощью теоремы, обратной теореме Виета, если учащиеся не справляются, то уравнения решаются на доске.

IV. Решение задач.

Необходимо повторить правила решения и оформления следующих заданий:

1) Решить различные уравнения, с полным объяснением на доске:

а) 7x² + 9x + 2 = 0 с помощью первой формулы дискриминанта;

б) 3x² + 8x - 9 = 0 с помощью второй формулы дискриминанта;

в) x⁴ - 26x² + 25 = 0 - биквадратное уравнение;

г) (x² + 6x) + 5(x² + 6x) - 24 = 0 с помощью введения новой переменной;

д) - рациональное уравнение;

е) - иррациональное уравнение.

2) Затем выполняются задания из учебника № 25.19; 26.11; 29.26; 30.17.

В классах с высоким уровнем подготовки решаются уравнения № 29.51; 30.21.

3) Повторить правила решения и оформления задач на составление уравнений, выполнив № 25.26; 27.6; 27.21.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задания № 26.8; 27.22, для сильных учеников - 29.52.

Свойства числовых неравенств

У р о к 1

Цели: провести анализ контрольной работы; ввести свойства неравенства; формировать умение сравнивать числа и выражения, а так же умение пользоваться свойствами неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ контрольной работы.

Рассмотреть решение заданий, с которыми не справилось большинство учащихся, на доске.

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся вспоминают правила сравнения натуральных чисел, десятичных дробей и обыкновенных дробей.

Устно сравнить:

126 и 97; 12,6 и 12,61; 1,876 и 2,876; 4,1 и 4,099;

и и и и

Далее учитель формулирует свойства числовых неравенств, свойства выписываются на доску и в тетради.

1) Если a > b и b > c, то a > c.

2) Если a > b, то a + c > b + c.

3) Если a > b и m > 0, то am > bm; если a > b и m < 0, то am < bm.

4) Если a > b и c > d, то a + c > b + d.

5) Если a, b, c, d - положительные числа и a > b, c > d, то ac > bd.

6) Если a и b - неотрицательные числа и a > b, то aⁿ > bⁿ, где n - любое натуральное число.

В классах с высоким уровнем подготовки данные свойства доказываются.

IV. Закрепление нового материала.

1) Выполняется № 31.2; 31.4; 31.6; 31.7.

2) Свойства неравенств закрепляются на примерах № 31.12; 31.13; 31.15; 31.17.

3) Сравните числа a и b, если известно, что

а) a = b - 0,2; б) в) b + a = 1 + b².

4) Сравните выражения:

а) (a - 1)(a + 2) и (a + 4)(a - 3); б) a² + 25 и 10a;

в) (a - 2)² и 4(1 - a); г) 1 - a и где (a > 0).

Р е ш е н и е:

а) (a - 1)(a + 2) и (a + 4)(a - 3);

1 с п о с о б.

a² + a - 2 и a² + a - 12;

a² + a - выражение, которое содержится и в правой части и в левой, по свойствам неравенства уменьшим обе части на данное выражение, получится:

-2 > -12 (верно), значит (a - 1)(a + 2) > (a + 4)(a - 3).

2 с п о с о б.

Найдем разность данных выражений

a² + a - 2 - (a² + a - 12) = 10,

так как разность есть число положительное, значит уменьшаемое больше вычитаемого:

(a - 1)(a + 2) > (a + 4)(a - 3)

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: прочитать материал параграфа 31, выучить правила данного параграфа. Решить задачи № 31.1; 31.3; 31.16; 31.19.

У р о к 2

Цели: повторить свойства неравенства; развивать умение сравнивать числа и выражения, пользоваться свойствами неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Индивидуальная работа.

Карточка 1

Сравните значения выражений:

и 2,72; и

и 2,6 + 1,102.

Карточка 2

Сравните с нулем значения выражений:

(-9,9)⁶;

Карточка 4

Известно, что a > b. Сравните выражения:

1,3a и 1,3b;

a + 1,6 и b + 1,6;

a - 100 и b - 100.

Карточка 3

Какой знак имеет переменная a, если известно:

2a < 6a -3a > -a;

-5a < 5a.

Для выполнения заданий с карточек к доске вызывается четыре ученика.

III. Актуализация знаний.

Пока у доски работают ученики, остальные учащиеся самостоятельно выполняют задания № 31.5; 31.8.

Затем устно проверяются задания в тетрадях и на доске.

Устная работа по карточкам:

1) Определить знак данных выражений, если известно, что a > 0, b > 0, c < 0, d < 0 (условия надо записать на доске):

2) Положительными или отрицательными являются числа a и b, если известно, что:

IV. Решение задач.

1) Рассмотреть задания № 31.21; 31.22; 31.27; 31.29; 31.32. При решении данных заданий свойства степеней выписываются на доску, для того, чтобы ученики их лучше запомнили. Так же учитель должен остановиться на понятии оценки выражений.

2) Известно, что 1 < a < 2. Оцените значения выражений:

а) 3a; б) -a²; в) a² + 1;

г) a² - 6a + 10; д)

3) Оцените значение a, если известно, что:

а) a - b² = 1; б) a + |b| < 3; в) a - b² > 5.

4) Докажите, что:

а) если a > 4, b > 7, то 2a + 5b > 43;

б) если a > 5b, b > 2c, то a > 10c.

V. Подведение итогов.

Домашнее задание: решить задачи № 31.20; 31.23; 31.30; 31.35.

У р о к 3

Цели: повторить свойства неравенства; развивать умение сравнивать выражения, а так же умение пользоваться свойствами неравенств для решения различных заданий.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Устно по карточкам оценить данные выражения, если известно 0 < < a < 5, 1 < b < 2:

а) 5а; б) 2a + 1; в) a² + 1; г) a + b;

д) е) a² + b²; ж) a² + |b|.

Письменно на доске разбираются задания № 31.25; 31.37.

III. Решение задач.

1) Из учебника рассматриваются задания на доказательство различного уровня сложности № 31.39; 31.42; 31.44; 31.47.

Для сильных учеников даются задания № 31.57; 31.60.

2) Доказать следующие утверждения:

а) если a > b > 1, то a²b + b² + a > ab² + a² + b;

б) если 1 < a < b < 2, то a²b - ab² - a² - ab + 2b² + 2a - 2b > 0;

в) |a - 1| + |a - 2| ≥ 1;

г) |a - 3| + |a - 7| ≥ 4.

Р е ш е н и е:

в) Докажем, что |a - 1| + |a - 2| ≥ 1.

Данное неравенство лучше рассмотреть для нескольких условий:

a ≥ 2, 1 ≤ a < 2, a < 1.

Если a ≥ 2, то |a - 1| ≥ 1, |a - 2| ≥ 0; а значит, что сумма данных выражений (по свойствам неравенства) удовлетворяет неравенству |a - 1| + + |a - 2| ≥ 1.