Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

ГАПОУ СО «Карпинский машиностроительный техникум»

Сборник контрольных работ по математике для студентов 1-2 курсов техникума

Автор сборника Виноградова Е.А., преподаватель

2015

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Степень с действительным показателем

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Найдите значение выражения

а)

б)

а)

б)

2) Сравните числа

3) Дана функция f(x) = a^x. Известно, что f(- 1,5) = 8. Найдите f(0,5).

3) Дана функция f(x) = a^x. Известно, что f(1,5) = 1/8. Найдите f(- 2).

4) Упростите выражение

а)

б)

в)

а)

б)

в)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Показательная функция

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции

у =

у =

2) Постройте график функции у = 2^х - 1 (у = 3^х - 1); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой

- 1/2 < y < 3 (- 2/3 < y < 2), и найдите соответствующие значения х.

3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [-2; 4] ([-2; 2])

4) Решите графически уравнение

(1/2)^х = 2 - х

3^х = 2х + 3

5) Решите графически неравенство

3^х < 1/3

(1/2)^х > 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Показательные уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите уравнения

10)

10)

10. При каком р корнями уравнения 0,5^{х - 1} = р являются 1 и - 3

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Показательные неравенства

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите неравенства

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Свойства логарифмов

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Вычислить

2) Найти ООФ

3) Прологарифмируйте по основанию 10 выражение

х =

х =

4) Найдите х, если

5) Вычислите

а) log₂₅35, если log₅7 = p

б) , если

а) log₄₉21, если log₇3 = c

б) , если

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Логарифмическая функция

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Изобразите схематически график и опишите свойства функции

у = logx

у = logx

1*) Изобразите схематически график

y =log_0,4(-x); y =; у =log₂log₂4^1-x

y =lg; y =; y =lglg10^x+1

2) Постройте график функции у = log₂x - 1(у = log₂(x - 1)); назовите множество значений функции; выделите на рисунке часть графика, для которой - 2 < y < 1 (- 1< y < 2), и найдите соответствующие значения х.

3*) Постройте график функции у = (у = ) и найдите наименьшее и наибольшее значение этой функции на отрезке [0,5;8] ([1,5;9]).

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Степенная функция

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Изобразите схематически графики функций

у = х,(х > 0); у =

у = х,(х > 0); у = (х - 1)^п + 1,5,(х > 1)

2) Возрастает или убывает функция у = х ^р, (х > 0), если

р = ; р = lg17

p = ; p =

3) Решите графически уравнения

а) ; б)

в)

а) ; б)

в) ; в*)

4) Решите графически уравнение

log₃x = 2x - 3

log_1/2x = - 0,5x + 1

5) Решите графически неравенство

log_1/2x > - 3

log₃x < 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Логарифмические уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Логарифмические неравенства

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите неравенства

1. log₅(2x + 3) > log₅(x - 1)

2. log_1/2(2x - 5) < - 2

3. lg²x + 3lgx < 4

4. 4^x-1 > 7

6. lg²x² + 3lgx > 1

8*) - x lgx > 0

9*)

10) log_2x+1(3 - 2x) < 1

11) log0,8 < 0

12) 2log₅x - log_x5 > 1

13) log₃log_1/2(2x + 1) > 0

14)

15) (x + 1)log_0,73 - log_0,727 > 0

1. log₃(1 - x) < log₃(3 - 2x)

2. log_1/2(2x + 5) > - 3

3. lg²x + 5lgx + 6 > 0

4. (3^х - 1)(3^х - 2) 0

6. 3logx - 2log₂x 5

8*)

9*) log_x2x

10) log_x-2(2x - 7) < 1

11) log0,2 > 0

12) 3log₇x - 2log_x7 < 0

13) log₂log(x - 1) < 1

14)

15) (5x - 2)log_1,22 - 18log_1,22 < 0

16) При каком значении р решением неравенства является промежуток?

log₂(p - 3x) > log₂(x² - 3x); (- 3; 0)

log₃(x² + 2x) < log₃(2x + p); (0; 2)

17) ООФ.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Иррациональные уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите уравнения

6*)

7*)

10)

11)

6*)

7*)

8)

9)

10)

11)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Иррациональные неравенства

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите неравенства

9*)

10*)

11*)

9*)

10*)

11*)

12) При каких значениях р решением неравенства является промежуток?

; [2; 18)

; [- 1; 15)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Системы уравнений

Вариант № 1 Вариант № 2 Вариант № 3* Вариант № 4*

Решите системы уравнений

5*) При каких значениях р система неравенств не имеет решений?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тригонометрические преобразования

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Вычислить

, если tgx = - 2

, если tgx = - 3

2) Решите уравнения

а) cos(- 3x) = - 1; б) tg(5п + х) = 0

в) sin(2x + 6п) + cosп/4 =

а) sin(- 2x) = - 1; б) ctg(7п + х) = 0

в) cos(8п + 3х) + 1 = tgп/4

3) Упростите выражения

а)

б)

в)

а)

б)

в)

г*)

д*)

е*)

4) Дано cosp = - 5/13, п/2 < p < п

Найти sin(п/3 - р)

4) Дано sinp = 8/17, п/2 < p < п

Найти cos(п/6 - р)

5) Сравните с 0 выражения

cos5; tg1,6п; sin11п/9

sin4; cos1,8п; ctg9п/7

6) Найти х, если

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тригонометрические уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите уравнения

1. sinx = 0

2. 2tg3x = 0

3. - 2cosx = 1

4. 2sin(2x - 4п) =

5. sinx cos2x + cosx sin2x = 1

6. 2sinx/2 cosx/2 = - 1

7. cos²2x = 2

8. 1 - sin²x = 0

9. 3sin²2x + 7cos2x - 3 = 0

10. 2tg⁴3x - 3tg²3x + 1 = 0

11. (1 - cos2x)(сtgx + ) = 0

12. sinx = sin3

13. tg2x = , на отрезке [- п/2;п]

14. 2cos²x - sinx - 1 = 0; 8 < x < 40

1. cosx = 0

2. 3ctgx = 0

3. - 2sinx =

4. 2cos(2x - 4п) =

5. cosx cos3x - sinx sin3x = 1

6. cos²2x - sin²2x = - 1

7. 1/2 sin4x = 1

8. 1 - cos²x = 0

9. 2cos²3x + 5sin3x - 4 = 0

10. 2tgx - 2ctgx = 3

11. (sinx + 1)(ctg2x -) = 0

12. cosx = cos4

13. tgx/2=,на отрезке [- 3п/2;2п]

14. cos2x = 1 - 3cosx; 1 < x < 50

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тригонометрические уравнения

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите уравнения

1. сos2x - 5sinx - 3 = 0

2. tgx + ctgx = 2

3. sinx + sin5x = 0

4. 3 - 4cos²x = 0

5. sinx - 7cosx = 0

6. 3sin²x + sinx cosx = 2cos²x

7. 3sin²x -sin2x + 5cos²x = 2

8. tg²x =

9. 1 - 2sin = cos

10. sin2x = sin5x

11. cos3x = sinx

12. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0

13. sin2x sin6x = cosx cos3x

14. sin2x -cos2x = 1

15. sin²2x + sin²3x + sin²4x + sin²5x = 2

16. cos2x - sin2x = 3,5

17. 4sinx + 5cosx = 6

18. sinx + cosx = 2,5 + 5sinx cosx

19. = sinx + 2cosx

22. (sinx + cosx)sin4x = 2

23)

1. cos2x + 3sinx = 2

2. tgx + ctgx = - 2

3. cosx + cos5x = 0

4. 1 - 4sin²x = 0

5. 5sinx + 6cosx = 0

6. 4sin²x = 3sinx cosx + cos²x

7. 2sin²x -sin2x = - 1

8. ctg²x =

9. 2cos - 1 = cos

10)cos4x = cos6x

11) sin3x = cosx

12) sinx - sin3x - sin5x + sin7x = 0

13) cos3x cos6x = cos4x cos7x

14) sin3x + cos3x =

15)cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

16) sin4x + cos4x = 2,5

17) 3sinx + 5cosx = 4

18) sinx - cosx + 5sinx cosx = 1

19) = cosx - 2sinx

20)

21)

22) (sinx + cosx) = tgx + ctgx

23) 2sin7x + cos3x + sin3x = 0

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Тригонометрические неравенства

Вариант № 1 Вариант № 2

Решите неравенства

1. sinx < 1/2

2. cos2x > 0

3. tg(2x - п/3)<

4. sinx > cosx

5. 3 - 4cos²x > 0

7. cos2x+5cosx+30

1. cosx > - 1/2

2. sin3x < 0

3. tg(2x + п/6)>

4. sinx < cosx

5. 1 - 4sin² x < 0

7. 2sin²x+3sinx-20

17) 2tg2x 3tgx

18)

19) cosx - sinx - cos2x > 0

20)

21)

22) log_xcos2x > 0

23) log_cosxsin2x 0

8*); 9) > cos²x; 10); 11)

12*) log₂(cos²x - 1/2 cosx) - 1 13*) 0,2^cos2x - 25^-cosx < 4(125)^-0,5

14*) сos2x + sin2x + cosx - sinx 1, при - п/2 < x < п/2

15*) Найти ООФ:

16*) Найти решения неравенства , удовлетворяющих условию

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Наибольшее и наименьшее значения

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

а) f(x) = x³ - 2x² + x - 3, [1/2; 2] б) f(x) = 1/2 sin3x , [4п/9; п]

в) f(x) = , [- 1; 2]

г) f(x) = , [- 1; 2]

д) f(x) = , [0; 3]

а) f(x) = x³ + 3x² - 9x - 1, [- 4; - 1/3]

б) f(x) = 1/3 сos2x, [п/6; п]

в) f(x) = , [1/e; e³]

г) f(x) = , [- 1; 2]

д) f(x) = , [- 2; 0]

2) При каком значении х функция у = х³ - х² [ у = х⁴ + х³] на отрезке [0,5; 1] ( [- 1; - 0,5] ) принимает наименьшее значение ?

3) Найдите область значений функции.

1) f(x) = ; 2) f(x) = ;3) Д - ть:

4) Hаибольшее значение функции f(x) = - x² + bx + c равно 7, а значение с на 25% меньше b. Найти положительное значение b.

4) Hаименьшее значение функции f(x) = x² + bx + c равно 1, а значение с на 25% больше b. Найти положительное значение b.

5) Найдите наименьшее [ наибольшее] значение функции на промежутке

f(x) = 3х⁴ - 8x³ + 6x² + 5, (- 2; 1)

f(x) = 4х⁵ - 15х⁴ - 3, (- 1; 1)

6) В каких пределах изменяются значения функции?

f(x) = cosx + 1/2 cos2x, x[0; п]

f(x) = sinx + 1/2 sin2x, x[- п/2; п/3]

7) Площадь прямоугольника равна 81 см² [ 25 см² ]. Найдите наименьший возможный периметр этого прямоугольника.

8) Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см [60 см]. При каком значении боковой стороны [ высоты, проведённой к основанию ], площадь треугольника наибольшая?

9) Число 24 [ 18 ] представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что

произведение их квадратов принимает наибольшее значение.

[сумма их квадратов принимает наименьшее значение.]

10) Требуется изготовить закрытый [ открытый ] цилиндрический бак ёмкостью V. При каком радиусе основания на изготовление бака уйдёт наименьшее количество материала?

11*) Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объёме имеет наименьшую полную поверхность.

12*) Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса, который при заданном объёме имеет наименьшую площадь боковой поверхности.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Производная

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Найти производные функций

а) f(x) = 5x³ - 3x⁹

б) f(x) = 6

в) f(x) =

г) f(x) = 1/6 х³ - 0,5х² - 3х + 2

д) f(x) = е) f(x) =

ж) f(x) = е ^{- 5х} з) f(x) =

и) f(x) = ln(2x + 1) к) f(x) = ln cos

л) f(x) = log₃(2x² - 3x + 1) м) f(x) = cos(5 - 3x)

н) f(x) = ctg(2 - 5x)

о) f(x) = 2sin3x cos3x

п) f(x) = log(x² - sinx)

а) f(x) = 2x⁷ + 3x³

б) f(x) = 6

в) f(x) =

г) f(x) = - 1/6 х³ +1,5х² +5х - 3

д) f(x) = е) f(x) =

ж) f(x) = е ^{- 0,3х} з) f(x) =

и) f(x) = ln(3x - 4) к) f(x) = ln sin

л) f(x) = log_1/2(3x² - 2x + 50)

м) f(x) = sin(3 - 2x)

н) f(x) = tg(4 - 3x)

о) f(x) = cos²4x - sin²4x

п) f(x) = log(x² + cosx)

2) Найти значение выражения

а) f '(0,5), если f(x) =

б) f '(- п/4), если f(x) = 3sin²x

в) f '(1) + f(1), если f(x) = г)f '(-3), если f(x) = e ^{-1/3x -1} + ln(3 - 3x)

д) f '(0) + f ', f(x) = (x² - 3х)cos3x

а) f '(- 0,5), если f(x) =

б) f '(- 3п/4), если f(x) = 5сos²x

в) f '(1) - f(1), если f(x) = г) f '(- 2),если f(x) = e ^{0,5x +1} + ln(1 - 2x)

д) f'(0) + f', f(x) = (3x² + х)cos2x

3) Решите уравнение у '(х) = 0, если

а) у =

б) у = ln sinx

а) у =

б) у = ln cosx

4) Решите неравенство f '(x) < 0 [ f '(x) > 0 ], если

5) При каких значениях х функция не является дифференцируемой?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Уравнение касательной

Вариант № 1 Вариант № 2

1)Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀.

а) f(x) = - x² + 6x + 8, x₀ = - 2

б) f(x) = e^0,5x, x₀ = ln4

а) f(x) = - x² - 4x + 2, x₀ = - 1

б) f(x) = ln(2x - e), x₀ = e

2) Найдите уравнение касательной к графику функции

f(x) = x² - 4x + 5

f (x) = x² + 3x + 5

если эта касательная проходит через точку (0; 4) [ (0; 1) ] и абсцисса точки касания положительна [ отрицательна ].

3) К графику функции у = [ у = ] проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х₀ = - 1 [ х₀ = 1 ]. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции.

4) Какой угол (острый, прямой или тупой) образует с положительным направлением оси Ох касательная к графику функции в точках - 1; 0; 1?

у = х³ - х²

у = х² - х³

5) В какой точке касательная к графику функции у = - х² + 4х - 3 параллельна оси абсцисс?

5) В какой точке касательная к графику функции у = 0,5х² + 1 параллельна прямой у = - х - 1 ?

6) Прямая у = х - 2 [ у = - х + 3] касается графика функции у = f(x) в точке х₀ = - 1 [ х₀ = - 2 ]. Найдите f(- 1) [f(- 2) ].

7) Найдите координаты точки, в которой касательная к графику функции у = log₄(x - 2) [ у = log₃(5 - x) ] в точке х₀ = 3 [ х₀ = 4 ] пересекает ось Оу.

8) При каком значении р прямая у = ех + р [ у = 2ех + р ] является касательной к графику функции f(x) = lnx ?

9) При каком значении р прямая у = 3 + х [ у = 4 - х ] является касательной к графику функции f(x) = e ^{x - p} [ f(x) = e ^{- x - p} ] ?

10) Найдите уравнение касательной к графику функции

если эта касательная проходит через точку (- 0,5; 0)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Исследование функций

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Найти стационарные (критические) точки функции.

f(x) = - x³/3 + x²/2 + 2x - 3

f(x) = - x³/3 - x²/4 + 3x - 2

2) Найти точки экстремума функции.

f(x) = 0,5х⁴ - 2х³; f(x) = xe

f(x) = 1,5х⁴ + 3х³; f(x) = x(1/e)

3) Найти экстремумы функции.

1-в) f(x) =

2-в) f(x) =

3-б) f(x) = ;

4) Найти промежутки убывания функции.

1-в) f(x) = х³ - 6х² + 5

2-в) f(x) = х³ + 9х² - 4

3-б) f(x) = lg sinx

5) Найти промежутки возрастания функции.

1);

2);

3-б)

6) Найти промежутки возрастания и убывания функции.

1) у = ; у = 1,5lg²x + lg³x

2) у = ; y = (x² - 2x + 1)x

3-б) у =

7) При каком значении р функция имеет экстремум в точках х₁ и х₂ ?

f(x) = , х₁ = 2, х₂ = - 2

f(x) = , х₁ = 0, х₂ = 6

8) Постройте график функции.

а) у = х³ - 12х + 2

б) у =

в) у = - х⁴ + 2х³ + 2

г) у = 3х⁵ - 5х³ + 1

д) у =

а) у = - х³ + 3х + 1

б) у =

в) у = х⁴ - 2х³

г) у = 10х⁶ - 12х⁵ - 15х⁴ + 20х³ д) у =

а) у = cos2x - 2cosx

б) у =

в) у = 10

г) y =

д) у =

е*) у = . Сколько действительных корней имеет уравнение у = С ?

9*) При каком значении параметра р значения функции у = х³ - 6х² + 9х + р в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, являются членами геометрической прогрессии?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Интеграл

Вариант № 1

2) При каком значении р :

Вариант № 2

2) При каком значении р :

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Первообразная

Вариант № 1 Вариант № 2

1) Найти первообразные функций) f(x) = а)

б) f(x) =

в) f(x) = , при х > 0,5

г) f(x) = , если F(4) = - 2

д) f(x) = , если F(1,5) = 1

e) f(x) =() ^-1+ , при х > -0,5 ж) f(x) =

з) f(x) = и) f(x) =

к) f(x) =

л) f(x) =

м) f(x) =

а) f(x) =

б) f(x) =

в) f(x) = , при х > - 0,5

г) f(x) = , если F(- 15) = 6

д) f(x) = , если F(- 2) = 5

e) f(x) =() ^-1 - , при х > 0,5 ж) f(x) =

з) f(x) = и) f(x) =

к) f(x) =

л) f(x) =

м) f(x) =

2) Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через данную

точку. 1) f(x) = 2sin3x, М(п/3; 0); 2) f(x) = 3сos2x, М(п/4; 0)

3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x) = 3х - 1 [ f(x) = 2х - 4], для которой уравнение F(x) = 5 [ F(x) = 1 ] имеет 2 равных корня.

4) Найти те первообразную функции f(x) = х² - 5х + 3 [ f(x) = х² - 2х + 1 ], графики которых касаются прямой у = - 3х - 1 [ у = 4х - 2].

5) В каких точках касательная к у = 1/3х³ - х² - х + 1 параллельна у = 2х - 1?

6) Построить: f(x)=; у=2sin; y=sin²(log₅(2-x)) + cos²(log₅(2-x))

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь криволинейной трапеции

Вариант № 1 Вариант № 2

Вычислите площади фигур, ограниченных графиками

1) у = - х² + 4х - 3, у = 0

1-б) у = х² - 2, у = 2х - 2

2) у = х² + 4х + 10, х = 0 и

касательной в точке х₀ = - 3 3) y = sinx, y = cosx, x = п/4, х = п

4) f(x) = 4x, F(x), если график

функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (- 1; - 4).

5) f(x) = - 2x + 4, F(x), x = 1, если

график функции f(x) является касательной для графика F(x).

6) у = , у = 6 - х

7) у = е^х, у = е², х = 0

8) y =

9) y = , y = 0, x = - 4, x = 1

1) у = - х² + х + 2, у = 0

1-б) у = х² - 2, у = 2х - 2

2) у = х² - 2х + 5, х = 0, и

касательной в точке х₀ = 2

3) y = sinx, y = cosx,

4) f(x) = 2x, F(x), если график функции f(x) пересекает график своей первообразной F(x) в двух точках, одна из которых (3; 6).

5) f(x) = - 2x - 4, F(x), x = - 4, если

график функции f(x) является касательной для графика F(x).

6) у = , у = 4 - х

7) у = е ^-х, у = е, х = е

8) y =

9) y = , y = 0, x = - 9, x = 4

10) Найти р, если известна площадь фигуры, ограниченной графиками

у = , у = рх², S = у = , у = рх, S = 4,5

11) В каком отношении парабола у = х² [ у = х² ] делит площадь круга

х² + у² 8 [ х² + у² 2 ]?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Итоговая контрольная работа.

1)Найти: а)sin(arccos4/5); б)cos(arcsin1/6); в)cosxcosy, если х=,у=

г) ; д) tg, если ; е)

ж) , если tg з) (1/9)

и) lg(x³ + 8) - 0,5lg(x² + 4x + 4) - lg(x² - 2x + 4)

2) Решить уравнения.

а) arсcos(x - 1) = п/4 б) arctg(4x + 2) = - п/6 в)

г) д) log_{x - 1}(x² - 5x + 10) = 2 е) ж)

3) Решить неравенства. а)sinx+cosx <0; б)sin²x;в)2cos²x+5cosx- 3<0

г)5^lgx - 3^{lgx - 1} < 3^{lgx + 1} - 5^{lgx - 1}; д)log₂(9 - 2^x) < 3 - x; е)2log_x25 - 3log₂₅x > 1

4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной, проведённой к графику функции у = 1 + sinx в точке с абсциссой х₀ = п.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Основы геометрии

1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона равна с; б) основание равно р

2) Стороны параллелограмма 6 и 10см, а острый угол равен . Найти S.

3) Длина тени дерева 10,2м, а длина тени человека ростом 1,7м равна 2,5м. Найти высоту дерева.

4) В треугольнике АВС: см. Найти СВ.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариант №1

1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли пересекаться прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.

2) Точки М; Р; К; Т - середины соответствующих отрезков ВС; DС; АD и АВ ( DСВА - тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника МРКТ, если

АС = 10см, ВD = 16см.

3) Прямая ЕК, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых ЕК и СD.

Вариант №2

1) Даны четыре точки А; В; С; Е, не лежащие в одной плоскости. Могут ли быть параллельными прямые АС и ВЕ? Ответ поясните.

2) Точки Е; М; К; Р - середины соответствующих отрезков АВ; АС; DС и DВ ( DСВА - тетраэдр). Найдите периметр четырёхугольника ЕМКР, если

ВС = 8см, АD = 12см.

3) Прямая МТ, не лежащая в плоскости АВС, параллельна стороне ВС параллелограмма АВСD. Выясните взаимное расположение прямых МТ и СD.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант №1

1) АВСК - квадрат. Точка М - не принадлежит плоскости АВС, МА = МС.

Докажите, что АСВМК.

2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости прямоугольного треугольника АВС

(). Докажите, что треугольник МСВ - прямоугольный с гипотенузой МВ.

Вариант №2

1) ЕВРК - квадрат. Точка М - не принадлежит плоскости ЕВР, МВ = МК.

Докажите, что КВЕМР.

2) Прямая МА перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD. Докажите, что треугольник МВС - прямоугольный с гипотенузой МС.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Перпендикуляр и наклонные

Вариант №1

Прямая МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, МD - высота этого треугольника. Докажите, что РDВК. Найдите площадь треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, .

Вариант №2

Прямая ВР перпендикулярна к плоскости параллелограмма АВСD, ВК - высота параллелограмма, проведённая к DС. Найдите площадь треугольника DРС, если ВР = 6см, КР = 10см, S_АВСD = 40см².

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Параллелепипед

Вариант №1

Стороны основания прямого параллелепипеда 6см и 4см, угол между ними . Диагональ большей боковой грани 10см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Вариант №2

В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 12см и углом . Меньшая диагональ параллелепипеда 13см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности параллелепипеда.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Пирамида

Вариант №1

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.

Вариант №2

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составляет с высотой угол . Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Многогранники

Вариант №1

1) Найдите площадь полной поверхности куба, если расстояние от вершины верхнего основания куба до центра нижнего основания равно р.

2) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 8см и 15см и углом между ними . Высота призмы 11см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.

3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если двугранный угол при стороне основания равен , а радиус окружности, описанной около основания, равен 2см.

Вариант №2

1) Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, высота которого равна р.

2) Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 8см и 3см и углом между ними . Высота призмы 15см. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности призмы.

3) Найдите площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, если её апофема 4см, а угол между апофемой и высотой пирамиды равен .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Координаты вектора

Вариант №1

1) Найдите координаты вектора ,

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Точки А(2; -1;0) и В(-2;3;2) являются концами диаметра окружности. Найдите координаты центра окружности и её радиус.

4) Даны точки А(0;4;-1), В(1;3;0),С(0;2;5). Найдите длину вектора .

Вариант №2

1) Найдите координаты вектора , .

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Треугольник АВС задан координатами его вершин А(3;-4;2), В(-3;2;-4), С(1;3; -1). Найти длину медианы СМ.

4) Даны точки А(1;-1;0), В(-3;-1;2), С(-1;2;1).Найдите длину вектора .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Скалярное произведение

1) Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно 2. Вычислите скалярное произведение векторов а) б).

2) Вычислите косинус угла между векторами и выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) образуют эти векторы, если

а) б)

3) Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁ равно р. Вычислите:

а) угол между прямыми АВ₁ и ВС₁ (А₁В и АD₁)

б) расстояние между серединами отрезков АВ₁ и ВС₁ (АС₁ и В₁С)

4) Вычислите угол между прямыми АВ и СD, если а)А(;1;0);В(0;0;); С(0;2;0); D(;1;) б) А(6;-4;8); В(8;-2;4); С(12;-6;4); D(14;-6;2)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём призмы

Вариант №1

Основание прямой призмы - ромб со стороной 13см и одной из диагоналей равной 24см. Найдите объём призмы, если диагональ боковой грани 14см.

Вариант №2

Основание прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ - параллелограмм АВСD. АВ = 12см, АD = 15см, ВАD = . Найдите объём призмы, если диагональ DС₁ боковой грани равна 13см.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объёмы тел

Вариант №1

1) Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12см и составляет с боковым ребром угол .

2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом m и противолежащим ему углом .

Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.

Вариант №2

1) Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12см и образует с высотой угол .

2) В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольник, одна из сторон которого равна р и образует с его диагональю угол . Найдите объём цилиндра, если его высота равна h.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Взаимное расположение прямых в пространстве

Вариант №1

1) Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2) а) Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются.

б) Вычислите площадь четырёхугольника ABCD, если ACBD, AC = 10см; BD = 12см.

Вариант №2

1) Даны две пересекающие прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2) а) Дан прямоугольник ABCD, О - точка пересечения диагоналей. Известно, что точки A, B и О лежат в плоскости . Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости .

б) Вычислите площадь прямоугольника ABCD, если AC = 8см; .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Параллельность прямой и плоскости

Вариант №1

Дан треугольник ABC, . Через прямую АС проходит плоскость , не совпадающая с плоскостью треугольника ABC.

а) Докажите, что ; б) Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4см.

Вариант №2

Дан треугольник ABC, . Через прямую МК проходит плоскость , параллельная прямой AC.

а) Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.

б) Найдите длину отрезка МК, если АС = 14см.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант №1

1) , М и К - произвольные точки плоскости .

Докажите, что АBМК.

2) Треугольник АВС - правильный, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.

а) Докажите, что МА = МВ = МС.

б) Найдите МА, если АВ = 6см, МО = 2см.

Вариант №2

1) Дан треугольник АВС. . Докажите, что МАВС.

2) Четырёхугольник АВСD - квадрат, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD.

б) Найдите МА, если АВ = 4см, ОМ = 1см.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Перпендикуляр и наклонные

Вариант №1

Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы и соответственно.

а) Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.

б) Найдите стороны прямоугольника.

в) Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.

Вариант №2

Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол .

а) Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.

б) Найдите сторону квадрата.

в) Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности прямой призмы

Вариант №1

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна р, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите:

а) Диагональ призмы.

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.

в) Площадь боковой поверхности призмы.

г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Вариант №2

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна р и образует с плоскостью боковой грани угол . Найдите:

а) Сторону основания призмы.

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

в) Площадь боковой поверхности призмы.

г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Пирамида

Вариант №1

Высота правильной треугольной пирамиды равна , радиус окружности, описанной около её основания, . Найдите:

а) Апофему пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием; в) Площадь боковой поверхности пирамиды; г) Плоский угол при вершине пирамиды.

Вариант №2

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Найдите:

а) Сторону основания пирамиды; б) Угол между боковой гранью и основанием;

в) Площадь поверхности пирамиды; г) Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Координаты вектора

Вариант №1

1) Даны . Найдите координаты вектора .

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.

Вариант №2

1) Даны . Найдите координаты вектора .

2) Даны . Найдите координаты вектора .

3) Найдите значения m и n, при которых векторы и коллинеарны.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности цилиндра

Вариант №1

1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2) Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в . Высота цилиндра равна 5см, радиус цилиндра - см.

Найдите площадь сечения.

Вариант №2

1) Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8см, а угол между диагоналями - . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2) Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в . Радиус цилиндра равен 4см. Найдите площадь сечения.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём призмы

Вариант №1

1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2,5см, 5см и 5см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма параллелепипеда.

2) Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если .

Вариант №2

1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 2см, 6см и 6см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма параллелепипеда.

2) Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если .

КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА

Площадь поверхности прямой призмы

Основание прямой призмы

Высота

S_бок.

S_полн.

Треугольник АВС, АС=15см, ВС=20см,

12см

Параллелограмм АВСК,АВ=3,АК=4,

8

Прямоугольник, стороны которого 14см и 5дм.

9см

Трапеция АВСК,АВ=7см,АК=3см,,

8см

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Правильная пирамида

В n-угольной правильной пирамиде a - сторона основания, к - боковое ребро, h - высота, p - апофема

n

a

к

h

n

a

h

p

А)

3

12см

15см

Д)

3

18см

13см

Б)

4

13дм

18дм

Е)

3

m

n

В)

3

m

n

Ж)

4

6дм

6дм

Г)

4

m

n

З)

4

m

n

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Правильные многогранники

Тип многогранника

Число граней

Число вершин

Число рёбер

6

12

30

8

12

12

20

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности цилиндра

В цилиндре r - радиус основания, h - высота. Найти х и у и заполнить таблицу.

r

h

S_бок.

S_цил.

А)

1см

2см

Б)

2см

1см

В)

25м

10,5м

Г)

см

7см

Д)

28см²

40см²

Е)

х

а

у

2у

Ж)

х

28см²

З)

х

12м²

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности конуса

В цилиндре r - радиус основания, h - высота, l - образующая. Найти х и заполнить таблицу.

r

h

l

S_бок.

S_кон.

А)

1см

2см

Б)

12см

5см

В)

3м

5м

Г)

х

х

36см²

Д)

а

х

Е)

27см

810см²

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде с квадратным основанием р - сторона основания, с - высота. Заполнить таблицу.

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

р

3

6

2

3

с

4

11

l

V

1,76

122,4

12

Q

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём прямоугольного параллелепипеда

Дан прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат.

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

Сторона квадрата

3,5

Диагональ квадрата

5

2

d

Периметр квадрата

4

P

Высота паралл-да

4

9,8

c

Объём паралл-да

12,74

28,4

V

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Уравнение сферы

1. Укажите центр и радиус сферы, заданной уравнением:

а)(х - 4)² + (у - 2)² + (z + 9)² = 25; б) (х - 3,6)² + (у + 0,75)² + (z + 777)² = 1,21

2. Проверьте, лежит ли точка А на сфере

а)(х + 1)² + (у - 2)² + (z - 3)² = 9,если А(-1;-1;3)

б)(х - 2)² + (у + 3)² + (z + 4)² = 16, если А(4;-3;-2)

3. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат, если R = 8; R = 2,5

4. Напишите уравнение шара радиуса R с центром в начале координат, если R = 6

5. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в точке С, если С(-3;2;4) и R = 5

6. Напишите уравнение шара радиуса R с центром в точке С, если С(5;4;-2) и R = 0,5

7. Составьте уравнение сферы с центром в точке С, проходящей через точку М, если а) С(0;-4;9), М(6;-1;0); б) С(-2;4;0), М(-2;4;3)

8. Докажите, что каждое из следующих уравнений задаёт сферу. Найдите координаты центра и радиус этих сфер

а) х² - 9х + у² + 2у + z² = 34; б) х² + у² - 3z + z² + 5у - х - 18 = 0

9. Найти координаты точек пересечения сферы с координатными осями

(х + 3)² + у² + (z - 5)² = 25

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём цилиндра

Пусть r - радиус основания, h - высота, V - объём цилиндра. Заполнить таблицу.

r

h

V

А)

3

5

Б)

2

3

В)

0,5

9

Г)

4

6,4

Д)

3,6

120

Е)

3

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём наклонной призмы

Основание

Высота

Объём

А)

Треугольник АВС, АВ=ВС=СА=3см

15см

Б)

Треугольник АВС, АВ=5м, ВС=6м, СА=9м

20м

В)

Квадрат АВСК, АВ=12

Г)

Параллелограмм АВСК, АВ=3см, АК=5см,

8см

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Объём конуса.

Пусть r - радиус основания, h - высота, V - объём конуса. Заполнить таблицу.

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

h

3cм

10м

2,5м

m

r

1,5см

4

1,5м

а

V

94,2м³

48

р

р

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности и объём шара

Пусть V - объём шара радиуса R, а S - площадь его поверхности. Заполнить таблицу.

А)

Б)

В)

Г)

Д)

Е)

R

4см

2,5см

0,75м

S

64см²

12см²

V

113,04см³

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Площадь поверхности и объём тел вращения

Пусть R- радиус, l- образующая,D- диаметр,H- высота, V- объём, S- площадь поверхности

R

l

D

H

S_осн.

S_{полн. пов.}

V

конус

а

в

конус

с

р

конус

в

а

конус

2

25

цилиндр

в

а

цилиндр

с

р²

цилиндр

а

в

цилиндр

с

р

шар

Нет

а

Нет

Нет

шар

Нет

Нет

Нет

100

шар

с

Нет

Нет

Нет

шар

Нет

Нет

Нет

36