Статья по теме 'Квадратные уравнения' 8 класс

Из истории уравнений.

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнения первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.

Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности. В Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850 г. до н. э.,

И папирусе Ахмеса, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча».

Так называемое «исчисление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Вот пример задачи и ее решения из папируса Ахмеса:

ЗАДАЧА 1. «Количество и ее четвертая часть дают вместе 15».

В настоящее время для решения задачи составляется уравнение

х+ ¼ х = 15

Решая его, находим: х = 12

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть. А именно 14 вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

Египетский метод решения является по существу методом предположения. Начинаются с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как четверть его, 1, просто вычисляется. Далее 4+1=5. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15,=> во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4.

Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название « метода ложного положения ». Применялся и «метод двух ложных положений».

Задачи на составление уравнений из Московскогого папируса.

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, по-видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе. (Этот папирус хранится в музее изобразительных искусств в Москве. Он изучен и расшифрован русскими учеными.)

Вот одна из задач Московского папируса.

ЗАДАЧА 2. «Число и его половина составляют 9».Найти число.

В современной записи уравнение к решению этой задачи будет иметь вид:

х + ½х = 9.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи связанные, с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х² + х = ¾ , х² - х = 14½.

Правило решения этих уравнений, изложенных в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемый объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот к примеру, одна из его задач.

Задача. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждал следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10+х,

другое же меньше, т.е. 10 ─ х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

(10 + х)(10 ─ х)=96,или же 100 ─ х² =96,

х²─4=0

х=2

Одно из искомых чисел равно 12,другое 8. Решение х=-2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решаем эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20─у)=96, у²─20у+96=0

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Задание ученикам

ЗАДАЧА: «Решить следующие квадратные уравнения из «Арифметики» Диофанта:

1. 12х²+х=1; 2)630х²+73х=6»

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило

решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах²+вх=с, а>0.

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования

В решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

ЗАДАЧА

«Обезьянок резвых стая, А двенадцать по лианам…

Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая, Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствуют о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче уравнение

(⅛х)²+12=х

Бхаскара пишет под видом х²─64х=─768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляют к обеим частям 32², получая затем:

х²─64х+32²=─768+1024,

(х─32)²=256,

х─32=±16,

х₁=16, х₂=48.

Часть страницы из алгебры Бхаскары «Видиса Ганита» (вычисление корней)

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т.е. ах²=вх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах²=с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах=с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах²+с=вх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах²+вх=с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. вх+с=ах².

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел,

Члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения. У которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например. Что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все

математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.