Материалы для научно - практической конференции Делимость многочленов

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 3»

Делимость многочленов

Научно - практическая конференция учащихся

5-7 классов

«Малые грани»

Физико-математическое направление

Математическая секция

Работу выполнили:

Бормотова Яна и Окунев Артем

ученики 7 «В» класса

МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»

Руководитель:

Черняева Ирина Викторовна

учитель математики

МБОУ «средняя общеобразовательная школа №3»

г. Моршанск, Тамбовской области

2013 - 2014 учебный год

Содержание:

Введение______________________________________________________________3

Основная часть__________________________________________________________________4

1.Общие понятия______________________________________________________4

1.1 Одночлен___________________________________________________________ 4

1.2 Многочлен__________________________________________________________ 4

1.3 Стандартный вид многочлена______________________________________ 4

1.4 Степень многочлена________________________________________________ 4

2. Действия с многочленами____________________________________________5

2.1 Сложение (вычитание) многочленов_________________________________5

2.2 Умножение многочленов____________________________________________ 5

2.3 Деление многочленов________________________________________________ 5

3.Делимость многочленов______________________________________________ 6

3.1 Деление нацело______________________________________________________ 6

3.2 Деление с остатком _________________________________________________6

4. Алгоритм Евклида___________________________________________________ 7

4.1 Исторические сведения______________________________________________ 8

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для

многочленов____________________________________________________________ 8

4.3 Ускоренные версии алгоритма_______________________________________9

5. Применение теории делимости________________________________________9

5.1 Разложение на множители__________________________________________9

5.2 Сокращение дробей_________________________________________________ 10

5.3 Решение уравнений__________________________________________________ 10

5.4 Теорема Безу_______________________________________________________ 11

Заключение____________________________________________________________13

Библиография_________________________________________________________ 13

1

ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматриваются основы теории делимости многочленов и её применение в реальной жизни. Кратко рассказываем об истории возникновения данной теории. В работе представлены формулировки и основные понятия теории делимости многочленов: решение уравнений, сокращение дробей, алгоритм Евклида, теорема Безу. Показан основой принцип деления и его приложения.

Применение теории делимости многочленов является важной частью работы.

Методами исследования являлись: анализ учебной и дополнительной литературы, собственный анализ, решение уравнений и сокращение дробей.

Мы выбрали эту тему, потому что на уроках математики изучали сложение, вычитание, умножение многочленов, а вот деление многочленов нет.

Цели работы:

• изучить теорию делимости многочленов и области ее применения

• развитие умений и навыков в исследовательской и научно - практической работе

Для достижения этих целей необходимо изучить основные понятия, теоремы и алгоритмы теории делимости.

С помощью основ теории делимости многочленов можно делить многочлены, раскладывать многочлены на множители, решать уравнения высших степеней, сокращать дроби, решать математические задачи.

Задачи:

• пропаганда научных знаний и развитие у интереса к будущей профессиональной деятельности

• активизация поисковой и научно-практической деятельности

2

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Общие понятия.

1.1 Одночлен.

Одночленом называют алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел. Эти буквы и числа являются множителями данного одночлена.

Одночлены или Монономы - проcтой вид математических выражений, прежде всего рассматриваемых и используемых в элементарной алгебре.

Произведение, состоящее из числового множителя и одной или несколько переменных, взятых каждая с той или другой положительной отметкой степени подразумевается также каждое отдельное число без буквенных множителей.

Примеры: О; x; -3y; -1/3a; 7abc...

1.2 Многочлен.

Многочленом называют сумму одночленов. Одночлены, входящие в эту сумму, называют членами многочлена.

В математике, многочлены или полиномы от одной переменной - функции вида

где c_i фиксированные коэффициенты, а x - переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Многочлен (или полином) от n переменных - есть конечная формальная сумма вида

,

где I = (i₁,i₂,...,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I - число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

Например: a²+2ab+b².

1.3 Стандартный вид многочлена.

Говорят, что многочлен имеет стандартный вид, если все его члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.

Например: a-b, a²+2ab²+b².

3

Многочлен стандартного вида, состоящий из двух членов, называют двучленом; многочлен стандартного вида, состоящий из трёх членов, называют трёхчленом и т. д.

Например:

двучлен: ab-cd, 7a²-2b;

трёхчлен: 3a-2b-7, x+yz-2z²;

четырёхчлен: a+b-c-d, -abc-acd-bcd-abd

Любой многочлен можно привести к стандартному виду.

1.4 Степень многочлена.

Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

2. Действия с многочленами.

2.1 Сложение (вычитание) многочленов.

Суммой (разностью) двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого являются суммой (разностью) коэффициентов при подобных членах этих многочленов.

На практике для нахождения суммы и разности многочленов используют правила раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс (знак минус).

Пример:(2x+3y)+(-5x+3y-4)=2x+3y-5x+3y-4=-3x+6y-4; (4x-5y)-(-x-4y)=4x-5y+x+4y=5x-y.

2.2 Умножение многочленов.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить каждый член многочлена на этот одночлен и сложить полученные произведения.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена полученные одночлены сложить.

Пример:(-5a)(4-b-a²)=-20a+5ab+5a³;

(2+b)(b²-4)=2b²-8+b³-4b.

2.3 Деление многочленов

В алгебре рассматривается деление многочленов столбиком - алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x). Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

4

Для любых многочленов f(x) и g(x), , существуют единственные полиномы q(x) и r(x), такие что

,

причем r(x) имеет более низкую степень, чем g(x).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного q(x) и остатка r(x) для заданных делимого f(x) и ненулевого делителя g(x).

Пример:

Покажем, что

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

а) Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой .

б) Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого .

в) Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой .

г) Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5

д) Повторяем шаг 4.

е) Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен q(x) = x² − 9x − 27 - частное деления, а r(x) = − 123 - остаток.

3. Делимость многочленов

Говорят, что многочлен P(x) делится на многочлен Q(x), если существует многочлен S(x), такой, что P(x) = Q(x)S(x). Многочлен S(x) называется частным от деления P(x) на Q(x). Из (??) следует, что deg S(x) = deg P(x) - degQ(x).

Теория делимости многочленов имеет много общего с теорией делимости целых чисел. В частности, выполняются следующие свойства:

• если P1(x) и P2(x) делятся на Q(x); то P1(x) + P2(x) и P1(x) - P2(x) делятся на Q(x); (3)

• если P(x) делится на Q(x); а T(x) - произвольный многочлен; то P(x)T(x) делится на Q(x); (4)

• если P(x) делится на Q(x); а Q(x) делится на H(x); то P(x) делится на H(x): (5)

Доказательство этих свойств ничем не отличается от доказательства соответствующих свойств делимости целых чисел. Отметим еще некоторые простые свойства:

• если ненулевой многочлен P(x) делится на Q(x); то deg P(x) ≥ degQ(x); (6)

• если deg P(x) = degQ(x); то P(x) делится на Q(x) тогда и только тогда, когда эти многочлены пропорциональны: (7)

(Многочлены называются пропорциональными, если один из них получается из другого умножением на число, отличное от 0.)

6

Действительно, если P(x) делится на Q(x) и deg P(x) = degQ(x), то частное

имеет степень 0, т.е. является числом, отличным от 0. Обратное утверждение очевидно.

3.1 Деление нацело.

Рассмотрим случай, когда частное от деления многочлена А на многочлен В есть многочлен С.

Многочлен А делится нацело на ненулевой многочлен В, если существует многочлен С, такой, что

А = В · С.

Например: а²+2ав+в²=(а+в)(а+в),

а⁴- в⁴=(а-в)(а⁴+а³в+а²в²+ав³+в⁴)

Вообще для любого натурального числа n≥2 выполняется равенство

аⁿ-вⁿ=(а-в)(а^n-1+а^n-2в+...+ав^n-2+в^n-1)

Пример: Разделим многочлен х³- 8 на многочлен х - 2;

х³ + 0х² + 0х - 8│ х - 2

х³ - 2х² х² + 2х + 4

2х² + 0х

2х² - 4х

4х - 8

4х - 8

0

Итак , х³ - 8 = ( х² + 2х + 4)(х - 2)

3.2 Деление с остатком

Будем рассматривать многочлены относительно х, т. е. многочлены вида

а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +...+а₁х + а₀ , где а₀,а₁,а₂,...а_n - коэффициенты многочлена

Пусть даны два многочлена ; А = а_nхⁿ + а_n-1х^n-1 +...+а₁х + а₀

В = в_mх^m + в_m-1х^m-1 +...+в₁х + в₀ относительно х.

Разделить многочлен А на многочлен В с остатком - значит найти многочлены Q и R такие, что выполняется равенство A = Q·B + R причём степень многочлена R меньше степени многочлена В, либо R - нулевой многочлен.Q - частное , R - остаток.

7

Пример: Разделим многочлен х³- 8 на многочлен х - 3;

х³ + 0х² + 0х - 8│ х - 3

х³ - 3х² х² + 3х + 9

3х² + 0х

3х² - 9х

9х - 8

9х - 27

19

Итак , х³ - 8 = ( х² + 3х + 9)(х - 3) + 19

4. Алгоритм Евклида.

4.1 Исторические сведения.

Алгоритму Евклида более 2000 лет и он традиционно используется для нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел посредством остатков от деления.

Со временем алгоритм Евклида стали применять и в диафантовом анализе (для решения уравнений в целых числах), и в механизме цепных дробей (для наилучшего приближения действительных чисел рациональными), используется и для быстрого возведения в степень в компьютерных алгоритмах, и в криптографии.

Древнегреческие математики называли этот алгоритм «взаимное вычитание».

В «Началах» Евклида он описан дважды - в VII книге для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и в X книге для нахождения наибольшей общей меры двух однородных величин. В обоих случаях дано геометрическое описание алгоритма, для нахождения «общей меры» двух отрезков.

Историками математики (Цейтен и др.) было выдвинуто предположение, что именно с помощью алгоритма Евклида (процедуры последовательного взаимного вычитания) в древнегреческой математике впервые было открыто существование несоизмеримых величин (стороны и диагонали квадрата, или стороны и диагонали правильного пятиугольника). Впрочем, это предположение не имеет достаточных документальных подтверждений. Алгоритм для поиска наибольшего общего делителя двух натуральных чисел описан также в I книге древнекитайского трактата Математика в девяти книгах.

Ряд математиков средневекового Востока (Сабит ибн Курра, ал-Махани, Ибн ал-Хайсам, Омар Хайям) попытались построить на основе алгоритма Евклида теорию отношений, альтернативную по отношению теории отношений Евдокса, изложенной в V книге «Начал» Евклида. Согласно определению, предложенному этими авторами, четыре величины, первая ко второй и третья к четвёртой, имеют между собой одно и то же отношение, если при последовательном взаимном вычитании второй величин в обеих парах на каждом шаге будут получаться одни и те же неполные частные.

4.2 Обобщённый алгоритм Евклида для многочленов.

Рассмотрим пример использования алгоритма Евклида для многочленов.

Найдём наибольший общий делитель многочленов А=x³+3x²+3x+2 и B=x³+2x²+2x+1.

Применим алгоритм Евклида:

_

x³+3x²+3x+2

x³+2x²+2x+1

х³+2x²+2x+1

1

_x³+2x²+2x+1

x²+x+1

x³+ x²+ x

x+1

_x²+x+1

x²+x+1

0

4.3 Ускоренные версии алгоритма.

Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка:

где

Одна из наиболее многообещающих версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии Разделяй и Властвуй позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма.

5. Применение теории делимости.

5.1 Разложение на множители.

f(x):(x-1/2)

Разделим.2x³+7x²-28x+12

x-1/2

2x³-x²

2x²+8x-24

8x²-28x

8x²-4x

-24x+12

-24x+12

0

x=-6

x=2

Значит 2x²+88x-24=0, т.е. x²+4x-12=0

Ответ: 2(x-1/2)(x+6)(x-2)

5.2 Сокращение дробей.2x³+7x²-28x+12

=

2(x-1/2)(x+6)(x-2)

=

2(x+6)(x-2)

=

2(x+6)(x-2)

x-1/2

(x-1/2)

1

Ответ: 2(x+6)(x-2)

5.3 Решение уравнений.

1) 2x²-3x-5=0; f(x)=2x²-3x-5

f(-1)=2(-1)²-3(-1)-5=0, значит

f(x):(x+1) (:-символ кратности).

Разделим уголком:

а) 2x²:(x)=2x поставим под уголок2x²-3x-5

x+1

Умножим

2x на (x+1)

2x

б) 2x(x+1)=2x²+2x подставим под выражением 2x²-3x-5.2x²-3x-5

x+1

2x²+2x

2x

в) Вычтем (2x²-3x-5)-(2x²+2x)=-5x-5

2x²-3x-5

x+1

2x²+2x

2x

-5x-5

г) (-5x):x=-52x²-3x-5

x+1

2x²+2x

2x-5

-5x-5

д) -5*(x+1)=-5x-5. Подставим под -5x-5

102x²-3x-5

x+1

2x²+2x

2x-5

-5x-5

-5x-5

е) (-5x-5)-(-5x-5)=0, значит остаток равен нулю.2x²-3x-5

x+1

2x²+2x

2x-5

-5x-5

-5x-5

0

x+1=0

2x-5=0

Процесс деления закончен.

Ответ:{-1;2,5}

5.4 Теорема Безу

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен равен .

Доказательство. Степень остатка меньше 1, следовательно, остаток - константа. Пусть - остаток.

Это равенство верно при любых значениях . Положим :

Задачи.

1) Проверьте, выполняются ли условия:

а) делится на ;

б) делится на .

2) Докажите, что

делится на .

3) Найдите значения параметров и , при которых

делится на .

4) Найдите все значения параметров и , такие, что остаток от деления

на равен .

5) Найдите все натуральные , такие, что

делится на .

11

6) Известно, что остаток от деления полинома на равен 2, от деления на равен 1. Найдите остаток от деления на .

7) Найдите остаток от деления многочлена на .

12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в теории делимости многочленов изучают признаки делимости одного многочлена на другой. Теория делимости многочленов предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать определение теории делимости многочленов: теория делимости многочленов - это математическая наука, изучающая деление одного многочлена на другой.

Данная работа помогает разобраться в сущности теории делимости многочленов, научиться решать с помощью нее математические уравнения, понять в каких областях она может применяться.

Библиография:

1.Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о делимости многочленов.

2. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о алгоритме Евклида.

3. sbiryukova.narod.ru: статья о делимости многочленов.

4. www.ref.by/refs</<font color="#000000">: статья о теореме Безу.

5. ru.math.wikia.com: статья о теореме Евклида.

6. ega-math.narod.ru: статья о вычислениях многочленов.

7. Энциклопедия онлайн «Википедия»: статья о многочленах.

8. Никольский.С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2009 г. (дополнения к главе).

13