Разработка уроков алгебры и начал математического анализа по теме ' Производная'

Тема: Приращение функции (1 УРОК)

Цели урока:

1. Формирование понятий приращения функции и приращения аргумента, секущей, геометрического смысла приращения функции;

2. Развитие вычислительных навыков;

3. Воспитание познавательного интереса к предмету.

Тип урока: формирование новых понятий.

Метод обучения: обучающая беседа.

Ход урока

I. Организационный момент:

Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.

II. Анализ контрольной работы по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"/

Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация знаний:

1. Формула периметра прямоугольника;

2. Формула площади прямоугольника;

3. Определение функции, определение тангенса угла;

4. Как найти значение функции в данной точке?

Пример: Найти значение функции f(x) = x² + 2x в точке x₀ = -3.

Решение: f(x₀) = f(-3) = (-3)² + 2∙(-3) = 9 - 6 = 3

Ответ: f(-3) = 3

IV. Изучение нового материала:

Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение.

Например: Дан график функции у = 4 -х²

По графику найти значение функции в точке х₁ = 1 и х₂ = 2.

Разность х₂ - х₁ = 2 - 1 = 1; ∆x =1

f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) - f(1) = 0 - 3 = -3

f = -3

В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения f этой функции при заданных изменениях аргумента х.

При сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f(x) - f(x₀) через разность х - х₀, пользуясь понятиями "приращение функции" и "приращение аргумента".

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х - произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х - х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается х. Таким образом, х = х - х₀, откуда следует, что х = х₀ +х.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х) - f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению х, и обозначается f, т. е. по определению

f = f (х₀+х) - f(x_0), откуда f (х₀ + х) = f(x₀) + f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х₀ приращение f есть функция от х.

Пример 1:

Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если

Решение:

Пример 2: Найдите приращение Δf функции f(х)= в точке х₀, если приращение аргумента равно Δх.

Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=

Пример 3.

Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ΔV, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Δх.

По определению приращения х=а+Δх, тогда ΔV=V(х)-V(а)= (а+Δх)³-а³=3а²Δх+3а(Δх)²+(Δх)³.

Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять, рассмотрев рисунок. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + в. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀) и (х; f(x)), равен tga. ABC - прямоугольный.

Закрепление материала: № 177 (а,1)

Дано: прямоугольник, а=15 м, в=20м, Δа=0,11м

Найти: ΔP,ΔS

Решение: Р=2(а+в) ΔP=P-Р₀, Р₀=2( 15+20)=70м, Р=2(15,11+20)=70,22м, ΔP=70,22-70=0,22м

S=ав, ΔS=S-S₀, S₀=15*20=300м², S=15,11*20=302,2м², ΔS=302,2-300=2,2 м²

Ответ: 0,22м, 2,2м²

178(а,в)

А)Дано: f(х)=, х₀=-2, Δх=0,1

Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=

В)Дано: f(х)=3х+1, х₀=5, Δх=0,01

Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=3(5+0,01)+1-(3*5+1)=16,03-16=0,03

180 (устно)

VI. Домашнее задание: п.12, №177(б), 178(б, г)

VII. Подведение итогов урока.

№ 178

Б) f(х)=2х²-3, х₀=3, Δх=-0,2, Δf-? Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(3-0,2)-3-2*3+3=-0,4

Г) f(х)=, х₀=2, Δх=0,1, Δf-? Δf=f(х₀+Δх)-f(х₀)=0,205

№177

Б)R₀=2см, 1) ΔR=0,2 см, 2)ΔR 3) ΔR=0,1 см 4)h ΔS-?

S=πR², ΔS=S-S₀

1) S₀=3,14*2²=12,56 см² S=3,14*(2+0,2)²=15,1976 см², ΔS=15,1976-12,56=2,6376 см²

2) S₀=3,14*2²=12,56 см² S=3,14*(2+ΔR)²=3,14*(4+4ΔR+ΔR²)=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR² см², ΔS=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR² -12,56=12,56ΔR+3,14ΔR² см²

3) S₀=3,14*2²=12,56 см² S=3,14*(2+0,1)²=13,8474 см², ΔS=13,8474-12,56=1,2874 см²

4) S₀=3,14*2²=12,56 см² S=3,14*(2+h)²=3,14*(4+4h+h²)=12,56+12,56h+3,14h² см², ΔS=12,56+12,56h+3,14h² -12,56=12,56h+3,14h² см²

Тема : Приращение функции (2 урок)

Цель: Закрепить понятия приращение аргумента, приращение функции

Ход урока

1. Орг часть

2. Проверка знаний

1. Устный счет ( таблицы «вычисление степеней»)

2. Фронтальный опрос

• Что называют приращением аргумента? Записать формулу

• Что называют приращением функции? Записать формулу

• Чему равен угловой коэффициент секущей к графику ?

Работа у доски

№179 (г)

f(х)=, х₀=1,22, х=1,345, Δf-? Δх-? Δх=х-х₀, Δх=1,345-1,22=0,125

Δf=f(х)-f(х₀)=1,3-1,2=0,1

184(в)

f(х)=, х₁=1,х₂=2, k-? угол α- тупой или острый?

k=tg α=

Δf=f(х₂)-f(х₁)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5

Δх= х₂-х₁=2-1=1

k=1,5:1=1,5 ; α-острый

Самостоятельная работа

№ 179 (а)

f(х)=cos²х, х_0=,х=, Δf-? Δх-? Δх=х-х₀, Δх=, Δf=f(х)-f(х₀)=

VI. Домашнее задание: п.12, №179(б), 184(б)

VII. Подведение итогов урока.

№179

Б) f(х)=4х-х², х₀=2,5, х=2,6, Δf-? Δх-?

Δх=х-х₀, Δх=2,6-2,5=0,1

Δf=f(х)-f(х₀)=4 *2,6-2,6²-4*2,5+2,5² =10,4-6,76-10+6,25=-0,11

№184 (б)

f(х)=, х₁=-1,х₂=-2, k-? угол α- тупой или острый?

k=tg α=

Δf=f(х₂)-f(х₁)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5

Δх= х₂-х₁=-2+1=-1

k=1,5:(-1)=-1,5 ;-1,7 < tg α <-1 120⁰ < α < 150⁰ α-тупой

Тема: Понятие о производной функции.( 3урок)

Цель: ввести понятия « касательная к графику», « мгновенная скорость движения», « производная», « дифференцирование»;рассмотреть алгоритм нахождения производной, формулы дифференцирования.

Ход урока

1. ОРГ часть

2. Устный счет

3. Объяснение нового материала

4.Первичное закрепление

№191 (а)

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,5)²-2*1²=2,5 f´=Δf:Δх=2,5:0,5=5

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,1)²-2*1²=0,42 f´=Δf:Δх =0,42:0,1=4,2

Δf= f(х₀+Δх)-f(х₀)=2(1+0,01)²-2*1²=0,0402 f´=Δf:Δх =0,0402:0,01=4,02

№ 192 (а)

при х₀→0

При х₀=2

При х₀=-1

V. Домашнее задание: п.13, №191(б), 192(б)

VI. Подведение итогов урока.

Тема: Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.(5 урок)

Цель: Ввести понятия « предельного перехода»,» непрерывной функции»; рассмотреть правила предельного перехода; рассмотреть построения функций не являющихся непрерывными;

Развивать вычислительные навыки;

Воспитывать внимательность при чтении , выполнении задания

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

• Устный счет (арифметические действия дробей с разными знаками; чтение графиков)

• Фронтальный опрос

  • Что называют приращением аргумента в точке х₀? Как обозначают приращение аргумента? Найдите приращение аргумента в точке х₀, если х=4, а х₀= -2. Чему равно х₀, если х=3,6, Δх=0,2.

  • Что называют приращением функции в точке х₀? Как обозначают приращение функции? Выразите приращение функции в точке х₀ через х₀ и Δх.

  • Какую прямую называют секущей к графику? Чему равен угловой коэффициент секущей?

  • Какую прямую называют касательной к графику функции? Чему равен угловой коэффициент касательной? Какой знак имеет угловой коэффициент , если угол между касательной и осью х тупой? острый? Равен 0⁰?

  • Дайте определение производной функции f в точке х₀

  • Что называют дифференцированием?

  • Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?

    • Работа по карточкам

1.разность f(х)-f(х₀)

2. а) Л б) И

3.а) Δf=2(х₀₊Δх₎²-1-2х₀²+1=2х₀²+4 х₀Δх+2Δх²-2х₀²=

=4 х₀Δх+2Δх²

б) Δf=k(х₀₊Δх)+b- kх₀-b= kΔх

4) а)Δх=2, Δf=9-5=4

б) Δх=, Δf=

5) 1)- 2)0 3)0 4.0+

3. Объяснение нового материала

4. Первичное закрепление

№ 197 (устно)

а)да,да,да б) да,нет,да в) да,да,нет г) да,да,да

№198 (а,в)

№200(а,в)

А) в)

f(0)→4 f(-2)→5

f(2)→2 f(0)→4

Домашнее задание п 14 №198 (в), 200 (б,г) 203(б)

Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции(7 урок)

Цель:

Рассмотреть правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

1. Устный счет ( таблица свойства степеней)

2. Фронтальный опрос

• Дайте определение производной функции f в точке х₀

• Что называют дифференцированием?

• Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?

• Что называют предельным переходом?

• Какая функция называется непрерывной в точке х₀? ( № 197)

3. Объяснение нового материала

Выведем несколько правил вычисления производных.

Правило 1.Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцирема в этой точке и

(u+v)´=u´+v´

Лемма. Если функция f дифференцируемы в точке x0, то она непрерывна в этой точке:Δf→0, т. е.

f (x0+Δx)→f (x₀ ) при Δx→0.

Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)´ = u´v+uv´.

Следствие. Если функция u дифференцируема в точке x₀, а С-постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu )´= Сu ´

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в точке х₀ и

Пример1. найдем производные функций : а) f(x)=х²- б) f(x)=

а) (х²- )´=(х²)´-( )´=2х-(- )=2х+;

б) ()´=

Производная степенной функции

Формула для вычисления производной степенной функции хⁿ, где n- натуральное число, большее 1, такова:

(хⁿ)´=nх^n-1

Пример 2. Найдем производные функций : а) f(x)=х ^-5; б) f(x)=3х⁷-

а) (х ^-5)´=-5х^-6

б) (3х⁷-)´=21х⁶-5(-3)х^-4=21х⁶+15х^-4

4. Первичное закрепление

№208 ( 1 строчка)

f´(х)=2х+3х² f´(х)= -

№209 ( 1 строчка)

f´(х)=3х² (4+2х-х²)+х³(2-2х)=12х²+6х³-3х⁴+2х³-2х⁴=-5х⁴+8х³+12х²

f´(х)=

№210 (а,в)

f´(х)=

f´(х)=

№ 211 ( 1 строчка)

f´(х)= 8х⁷-12х³-1 f´(х)=

4. Итог урока

Домашнее задание п 15 № 208 ( 2 стр); 209 ( 2 срт);210 ( б,г) 211 ( 2 стр)

№208

f´(х)=2х+3 f´(х)=3х²

№209

f´(х)=2х(3х+х³)+х²(3+3х²)=6х²+2х⁴+3х²+3х⁴=9х²+5х⁴

f´(х)=2(1-х³)+(2х-3)(-3х²)=2-2х³-6х³+9х²

№210

f´(х)=

f´(х)=

№ 211

f´(х)= 7х⁶-20х⁴+2 f´(х)=х- 9х^-4

Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции( 8 урок)

Цель:

Закрепить правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

1.Устный счет ( таблица свойства степеней, таблица « Найдите производную»)

2.Фронтальный опрос (записать на доске формулы производных суммы, разности, произведения, частного, степенной функции)

3. Работа у доски в тетрадях

№212 (а)

f´(x)= 2х-3 f´(-0,5)=2*(-0,5)-3=-4 f´(2)=2*2-3=1

№213 ( 1строчка)

а) f´(x)= 4х-1; 4х-1=0; х=0,25 Ответ: 0,25

б) f´(x)= -х²+2х; -х²+2х=0; х(-х+2)=0; х=0 или х=2 Ответ: 0; 2

№ 214 ( 1 строчка)

а) f´(x)=4-6х ; 4-6х<0; х> Ответ: (;+)

б) f´(x)=3х²+3х ; 3х²+3х<0; 3х²+3х=0; х=0; х=-1 Ответ: (-1;0)

Самостоятельная работа

Найдите производные функций:

А) f(x)=2х⁵- б) f(x)=(2 в) f(x)=

Ответ: а)10х⁴+8х ^-3 б) в)

Итог урока

Домашнее задание: № 212(в,г) 213 ( 2 строчка) 214 ( 2 строчка)

№212

f´(x)= ; f´()= ; f´()=3 . f´(x)= f´(-3)=-9 f´(0)=

№213

f´(x)=х²-3х-4; х²-3х-4=0; D=25; х₁= 4 х₂=-1 Ответ:-1; 4

f´(x)=2-10х 2-10х=0; х= 0,2 Ответ: 0,2

№214

f´(x)=2х-5; 2х-5<0 ; х<2,5 Ответ: ( -; 2,5)

f´(x)=4-х²; 4-х²<0; 4-х²=0; х₁=-2 х₂=2 Ответ: ( -; -2)

Тема : Производная сложной функции. Сложная функция (композиция функций).(10 урок)

Цель: рассмотреть правило вычисления производной сложной функции

Ход урока

1.ОРГ часть

2. Проверка знаний ( устный счет, фронтальный опрос)

Работа по карточке

1) дифференцируемы, дифференцируема , (u+v)´=u´+v´

2) истина, ложь

3) б

4) а)10х⁹-9х^-4 б)-4· х^-5 в) 7х⁶-6х-1

г)1-20х д) е)

3. Объяснение нового материала

Чтобы вычислить производную сложной функции необходимо выделить в ней «внутреннюю» и «внешнюю» функции . Например, у=f(х)=1-х²-это внутренняя функция, а g (у)=-это внешняя функция. Т.е. сложная функция h состоит из функций g и f и можно ее представить как h(х)=g(f(х)).

Затем, вычисляют производную « внутренней»и « внешней» функций

Таким образом,

если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке у₀=f(х₀), то сложная функция h(х)= g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h´(х)= g´(f(х₀))·f´(х₀)

Т.е. производная сложной функции равна произведению производных «внутренней» и «внешней» функций

Пример 1 f(x)= (2х+3)¹⁰⁰f´(x)=2·100·(2х+3)⁹⁹ =200·(2х+3)⁹⁹

Пример 2 f(x)=f´(x)=6х·

4. Первичное закрепление

№224 ( 1 строчка)

f´(x)= 16(2х-7)⁷f´(x)= -15(5х+1)^-4

№225 (а)

f´(x)=4,5 (3-)^-10

5. Итог урока

Домашнее задание п 16 № 224 (2 строчка) №225 (в)

№224

f´(x)=36(9х+5)³f´(x)= -30(6х-1)^-6

№225

f´(x)=-15(4-1,5х)⁹

Тема : Производная сложной функции. Сложная функция (композиция функций). (11 урок)

Цель:

Закрепить понятия « производная», « сложная функция»; правила вычисления производных ( суммы, произведения, частного, сложной функции);

Развивать вычислительные навыки

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

• Фронтальный опрос

  • Дайте определение производной

  • Чему равна производная суммы?

  • Чему равна производная произведения?

  • Чему равна производная частного ?

  • Чему равна производная степенной функции ?

  • Чтобы найти производную сложной функции следует представить ее в виде… ( внутренней и внешней функции)

  • Запишите правило вычисления производной сложной функции

    • Устный счет

      • Найдите производную функций

f(x)= х²+х³f(x)= х²+3х-1 f(x)=х³+f(x)= х⁸-3х⁴

• Таблица для устного счета « решите неравенство»

• Таблица для устного счета « Решите уравнение»

3. Работа у доски

Найдите производные функций

1) f(x)= ( 3-^-8f´(x)=-8·( 3-^-9·(=4·( 3-^-9

2) f(x)=f´(x)=

3) f(x)= (f´(x)=

4. Самостоятельная работа

1. Решите уравнение f´(x)=0, если f(x)=

(f´(x)=х²-3х-4 f´(x)=0 х²-3х-4=0 Д=25 х₁=4 х₂=-1 Ответ: -1; 4)

2. Решите неравенство f´(x)<0, если f(x)= х²-5х

(f´(x)=2х-5 f´(x)<0 2х-5<0 х<2,5 Ответ: ( -; -2,5)

3.Найдите производную функции

А) f(x)= ( f´(x)= )

Б) f(x)= ( 5х+3)¹⁰ ( f´(x)=50 (5х+3)⁹ )

В) f(x)= ( 2х-4)¹¹-(7+ (f´(x)= 22(2х-4)¹⁰-5 (7+ )

5. Итог урока

Домашнее задание № 225 (г) 230 ( б,г)

№225

Г) f´(x)= 65 ( 5х-2)¹³+24( 4х+7)^-7

№ 230

Б) f´(x)= г) f´(x)= -15 х²(3-х³)+

Тема: Производные основных элементарных функций. Производные тригонометрических функций(12 урок)

Цель: Ввести формулы производной синуса, косинуса, тангенса и котангенса; применить формулы производных тригонометрических функций на практике;

Развивать вычислительные навыки;

Воспитывать

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

• Фронтальный опрос

Чему равна производная от числа? От переменной х? от выражения kх+b? От суммы функций? От произведения двух функций? От частного? Степенной функции? Сложной функции

• Устный счет

• Проверьте правильна ли найдена производная

( нет, ) ((9-6х)³)´=-18(9-6х)⁴ ( нет, -18(9-6х)³) (ДА)

• Найдите производную функции

у= х⁵+24х у=(3х-4)² у= у=

• Задайте формулой функцию f (х):

f´(х)=2х ( f (х)=х²) f´(х)=5-3х² (f (х)=5х-х³) f´(х)= (f (х)=) f´(х)=-2х ^-3 (f (х)=х^-2)

• Работа по карточкам

1. постоянная, дифференцируема, (Сu)`=Сu`

2.истина, ложь

3.

4.а) -6х^-7-8х³ б)3х² в)5х⁴-15х²+1

г)5-20х д)

е)

5)f´(х)= , f´(-1)=, f´(t+1)=

4. Объяснение нового материала

(sin х )´=cos х (cos х)´= -sin х (tg х) = (ctg х)´=

Пример . Найти производную функции у= sin (ах+b) у´=а соs(ах+b)

5. Первичное закрепление ( работа у доски)

№231 ( 1 строчка)

у´=2 соs х у´=- х

№232 ( 1 строчка)

у´=-3sin х у´=1-2sin х

№233 ( 1 строчка)

у´=у´= -sin х-

№ 234 (а)

f´(х)=f´(0)= 0 f´(π)=0

5. Итог урока Домашнее задание п 17 № 231 ( 2 строчка) 232( 2 стр) 233 (2 стр) 234 (б)

№231у´=-0,5 cos х у´=1,5 cos х

№232 у´=sin х у´=2 cos х-1,5 sin х

№233 у= у´= у´= - cos х

№234

f´(х)=f´(0)= 3 f´(π)=3

Тема : Подготовка к контрольной работе (13 урок)

Цель : Подготовить обучающихся к контрольной работе по теме « Производная»

Ход урока

1.ОРГчасть

2. Проверка знаний

Проверка домашнего задания ( устно)

Устный счет

• Таблица « Найти производную», « Решить уравнение»

Диктант по формулам

1. Записать формулы для нахождения производной суммы, частного, произведения, сложной функции, степенной функции; производную косинуса, тангенса, синуса, котангенса.

3. Работа у доски

Что называют приращением аргумента? Функции?

1. Для функции у=х² найдите приращение ∆ у, если х₀=1, ∆х=0,6

х= х₀+∆х=1,6 ∆у=у(х)-у(х₀)=1,6²-1²=1,56

2. Найдите производную функции:

а)f(х)=f´(х)=

б) f(х)= f´(х)=

в) g (х)=4 sin х- и вычислите g´() g´(х)=4 соs х g´() =4 соs()=-2

г)h(х)=- и вычислите h´(-1) h´(х)=

h´(-1)=-8

3.Решите уравнение, если f(х)=

f´(х)=х²-4 g´(х)=

х²-4=0 или х₁=2 х₂=-2 х₃=0

Ответ: -2;0;2

4. Итог урока Домашнее задание Карточка (2 вариант контрольной работы)

1.Для функции у=0,5х² найдите приращение ∆ у, если х₀=1, ∆х=0,8

2.Найдите производную функции:

а)f(х)= б) f(х)= в) g (х)=3 соs х- и вычислите g´()

г)h(х)=- и вычислите h´(1)

3.Решите уравнение, если f(х)=