Проект на тему Правильные многогранники

Проект по теме «Правильные многогранники».

</<font face="Times New Roman, serif">Содержание

§1. Обзор литературы по теме «Правильные многогранники»………….3

§2. Общая характеристика темы

П.1. Особенности и роль темы «правильные многогранники» в курсе математики……………………………………………………………………7

П. 2. Историческая справка…………………………………………………7

П. 3. Программа по математике……………………………………………...8

П. 4. Сравнительный анализ темы «Правильные многогранники» в учебниках по геометрии………………………………………………………………….8

§3. Логико - дидактический анализ содержания темы: «Правильные многогранники»……………………………………………………………..11

§ 4 Тематическое планирование…………………………………………….12

§ 5 Конспект урока «Правильные многогранники»…………………………13

§1. Обзор литературы по теме «Правильные многогранники»

Математическая литература.

1) Б.И. Аргунов, М.Б. Балк, Элементарная геометрия.- «Просвещение», М., 1966

Эта книга служит учебным пособием по элементарной геометрии. Она предназначена для учителей математики. Расположение материала и стиль его изложения не сходны с изложением в школьных учебниках. Весь материал изложен в пяти главах. Нашей теме посвящена Гл.2 «Многоугольники, многогранные углы, многогранники» §17 Правильные многогранники. В нем дается полное определение понятию правильный многогранник, рассматриваются 5 типов правильных многогранников, а именно тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр, додекаэдр. Рассмотрено применение к ним формулы Эйлера. А так же отмечены свойства правильных многогранников.

2) Л.Н. Бескин, Стереометрия. - «Просвещение», М., 1971

В этой книге изложен систематический курс стереометрии, расчитаный на учителя средней школы. Книгой могут пользоваться студенты педагогический вузов и ученики старших классов математических школ. Автор этой книги стремился не столько к изложению основных фактов, сколько к подробному разъяснению тонких мест, аналогий, общих методов и понятий, постепенно возникающих после изучения фактов. Эта книга состоит из трех частей. Тема «правильные многогранники» рассматривается во второй части Гл.7 §67 Теорема Эйлера. Правильные многогранники. Этот параграф разбит на три пункта. В первом пункте говорится о развертке, что играет большую роль в ряде геометрических вопросов, в частности при измерении площади поверхности многогранника. Второй пункт посвящен теореме Эйлера. В третьем пункте даётся определение понятию правильный многогранник. А так же отмечаются свойства, говорится о центре симметрии и рассматриваются 5 основных видов правильных многогранников.

3) А.П. Киселев, Элементарная геометрия, -«Просвещение», М.,1980

Эта книга предназначена для учителей математики. Эта книга разделена на два блока: планиметрия и стереометрия. Каждый из них поделен на отделы. Блок Стереометрия разделен на 4 отдела. Отдел 3 посвящен многогранника, правильные многогранники рассматриваются в пункте 7 «Понятие о правильных многогранника». В нем дается понятие правильному многограннику, перечислены виды правильных многогранников иданы упражнения на данную тему.

4)Л.А. Люстерник, Выпуклые фигуры и многогранники, М.,1956

Эта книга дает обширный материал по теме «Многогранники», ей можно пользоваться при разработке школьных математических кружков и на семинарах младших курсов вузов. В этой книге 6 глав . тема правильные многогранники рассматривается в §32 главы 6 Дополнения. Параграф начинается с понятия правильной сети и приводятся примера правильных сетей. Проведена аналогия правильных многогранников с правильными многоугольниками. Здесь представлено много иллюстраций, что является хорошим материалом для создания наглядности на уроке.

5) А.В. Погорелов Элементарная геометрия, М,1974

Автор этой книги исходил из того, что главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащегося логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Изложение начинается типичным для школьного преподавания повторением пройденного. В этой книге сохраняется традиционный порядок расположения материала. Книга состоит из двух частей: планиметрия и стереометрия. Нашей теме посвящен §24 Многогранники. В этом параграфе дается понятие правильного многогранника, виды правильных многогранников. Изложение ведется простым, понятным для учащихся языком. После параграфа предложены упражнения по данной теме.

6) А.В. Погорелов Геометрия, М., 1984

Эта книга предназначена в качестве учебного пособия для студентов педагогических специальностей университетов и содержит обязательный курс геометрии, предусмотренный программой. Характеризуя пособие в целом, можно сказать, что оно начинается школьным изложением и возвращается к нему на более высоком уровне, давая обширные и глубокие знания о предмету школьного преподавания. Книга состоит из четырёх частей. Теме «Правильные многогранники» посвящена глава 20 «Многогранные углы и многогранники». §9 Правильные многогранники. Весь материал излагается в доступной форме. Здесь обосновывается, почему существует только 5 видов правильных многогранников (это следует из теоремы Коши, согласно которой выпуклые многогранники, одинаково составленные из равных граней, равны). К этому параграфу прилагаются упражнения.

Методическая литература:

1) Геометрия: 7-11 кл.: Справочные материалы / Сост. В.Н. Литвиненко. -М.: Дрофа, 1996

В пособие собраны и систематизированы аксиома, основные определения и теоремы школьного курса геометрии. Приведены основные и общие решения задач стереометрии. Нашей теме «Правильны многогранники» посвящен §23 Многогранники.

2) Научно - теоретический и методический журнал «Математика в школе»:

а) №10, 2007г.

Л.С. Сагателова «Ортогональное проектирование и решение задач на объемы многогранников»

Здесь рассматриваются задачи с подробными решениями, связанные с темой «Правильные многогранники», а так4 же задачи для самостоятельного решения.

б) №6, 2007

В.И. Рыжик «Новые тесты по геометрии»

Эта статья будет интересна учителям и студентов педагогический вузов. В ней даны подробные рекомендации по составлению тестов по стереометрии. Например, представлены вопросы из теста по теме «Многогранники»

в) №8, 2007

А.Ю. Ходот «Как сделать геометрическую иллюстрацию наглядной»

Эта статья будет полезна учителю, т.к. на уроках геометрии важную роль играет принцип наглядности. Поэтому учителю важно уметь иллюстрировать теоретические факты или условия задачи на чертеже. А так же сформировать это умение у учащихся.

г) №9 2008

С.В. Буфеев «Вычисление площади сечения многогранника разными способами».

В этой статье представлены задачи с подробными рениями, что очень важно в такой сложной теме, как сечения.

д) №2 1994

Крайнева Л. Б. «Построение правильных многогранников с использованием куба»

В этой статье подробно описывается построение тетраэдра, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра с использованием куба.

3) Н.И. Монахова Из опыта обучения геометрии в старших классах (10 кл). - М.: Просвещение, 1981

Данное пособие содержит планы поурочных разработок всего курса геометрии 10 - го класса. Урок 22 «Понятие о правильных многогранниках».

4) Г.И. Глейзер История математики в школе, М., 1983

В книге в виде коротких статей содержится материал по истории математики, доступный учащимся 10 - 11 классов. В пособии дан набор задач по геометрии известных математиков прошлых веков. Эта книга состоит из двух разделов: История математики на уроках и История математики на внеклассных занятиях. Нашей теме посвящен §11 главы 4. В этом параграфе изложен п.71 О правильных многогранниках. Эта книга будет полезна для организации семинара по теме.

5) Хрестоматия по истории математики/ под ред. А.П. Юшкевича. М., «Просвещение», 1977

В данной книге изложена история открытия математических понятий, применение их в повседневной жизни, в том числе в пункте 23 рассматриваются элементы симметрии правильных многогранников. Изложение ведется интересным и понятном для ученика языке. Данную книгу хорошо использовать при подготовке урока - семинара.

§2. Общая характеристика темы.

П.1. Особенности и роль темы «правильные многогранники» в курсе математики

Тема изучается в 10 классе в течение двух уроков в рамках тематического блока «Многогранники» и призвана сформировать у учащихся общее представление о правильных многогранниках, уметь показывать на примерах связь геометрии и природы.

П. 2. Историческая справка.

Учение о правильных многогранниках, содержащиеся в последней , XIII книге Евклида, является венцом его «Начал».

Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как вписать в сферу правильный:

1) тетраэдр (от греческих слов «тетра» - четыре и (h)edra-грань), имеющий четыре грани, четыре вершины и шесть ребер;

2) гексаэдр («гекса» - шесть): 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;

3) октаэдр («окто» - восемь): 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

4) додекаэдр («додека» - двадцать):12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

5) икосаэдр («эйкоси» двадцать): 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

После этого Евклид доказывает в 18 - м, последнем предложении XIII книги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников.

Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V век) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать самое большое гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV веке до н. э.

Пифагорейцы, которые утверждали, что «все есть число», уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять, причем каждый из них имеет свое специфически - индивидуальное число граней, вершин и ребер. В античной философии первоосновой бытия считались четыре элемента стихии: земля, вода ,воздух и огонь. Древнегреческий философ Платон придавал атомам этих стихий форму тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму додекаэдра Платон придавал всему миру в целом. В сочинении Аполлония о додекаэдре и икосаэдре привдена теорема о том, что отношение объемов октаэдра и икосаэдра равно отношению их поверхностей.

Правильными многогранниками занимался Архимед, однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»), в каждой из которых ограничен неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке.

Альбрехт Дюрер, занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку. Также о правильных телах писали в XVI веке французские ученые О. Финей, П. Рамус.

Доказательство теоремы о единственности пяти правильных многогранников впервые ввел в элементарную геометрию в 1794 году А. Лежандр. Топологический вывод этого предложения основанный на теореме Эйлера, впервые изложил французский математик Люилье в 1812 - 1813 годах.

В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777 - 1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников.

Итак, стали известны четыре типа таких фигур. В 1812 году О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

П. 3. Программа по математике

Основная цель - познакомить учащихся с основными видами правильных многогранников и элементами их симметрии.

П. 4. Сравнительный анализ темы «Правильные многогранники» в учебниках по геометрии

Нами будут рассмотрены следующие учебники:

1) Атанасян Л.С. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. - М.: Просвещение, 1998.

2) Александров А.Д. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1992.

3) Смирнова И.М. Геометрия: Учеб. пособие для 10-11 кл. гуманит. Профиля. / И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 1997.

Учебник Атанасян Л.С. предназначен для общеобразовательной школы. Тема «Правильные многогранники» изучается в главе 3. На изучение ее отводится 2 урока - семинара. Основными понятиями здесь являются понятия симметричных точек относительно точки, прямой, плоскости; понятия центра, оси, плоскости симметрии фигуры. При введении понятия правильного многогранника нужно подчеркнуть два условия, входящие в определение: а) все грани такого многогранника - равные правильные многоугольники; б) в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. В учебнике доказано, что существует пять видов правильных многогранников и не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n ≥ 6. Целесообразно предложить учащимся изготовить дома модели правильных многогранников. Для этой цели надо использовать развертки, изображенные в учебнике.

Таким образом, в данном учебнике многогранники изучаются с опорой на наглядность, предметы окружающей действительности.

Учебник Смирнова И.М предназначен для преподавания геометрии 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.

Основная цель данного раздела - ознакомить учащихся с понятием выпуклости и свойствами выпуклых многогранников, рассмотреть теорему Эйлера и ее приложения к решению задач, сформировать представления о правильных, полуправильных и звездчатых многогранниках. Среди пространственных фигур особое значение имеют выпуклые фигуры и, в частности, выпуклые многогранники. Данное понятие в учебнике вводится следующим образом: многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок. Далее рассматриваются свойства выпуклых многогранников.

После изучения выпуклых многогранников рассматривается теорема Эйлера и ее приложения. В качестве таких приложений рассматриваются задача о трех домиках и трех колодцах, проблема четырех красок, вводится понятие графа.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Рассматриваются пять видов правильных многогранников, некоторые виды полуправильных и четыре звездчатых многогранника.

Учебник А. Д. Александрова предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников.

В теме «Правильные многогранники»сначала показываются пять типов правильных многогранников, построением доказывается, что все пять типов правильных многогранников существуют, и только после этого доказывается, что других правильных выпуклых многогранников быть не может. Обычно же после определения сразу доказывалась теорема, а существование показывалось позже, что усложняло методику рассказа.

§3. Логико - дидактический анализ содержания темы: «Правильные многогранники»

Тема рассмотрена по учебнику Л.С. Атанасяна и др. Геометрия 10-11

Анализ теоретического материала:

В теме рассматриваются понятие симметрии относительно точки, относительно прямой, относительно плоскости. Симметрия относительно точки прямой знакома учащимся из курса планиметрии, здесь они вводятся аналогично. Эти понятия вводятся конструктивно. Дается определение - описание элементов симметрии многогранника.

Определение правильного многогранника дается в условной формулировке через род и видовые отличия. Доказывается утверждение о том, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще п-угольники при . На основе этого получают 5 видов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр. Эти понятия вводятся конструктивно.

Выводы: Тема « Правильные многогранники» содержит много понятий. Большинство из них соответствуют понятиям из планиметрии. Так как на изучение данной темы в программе отводится мало времени, то следует привлекать самостоятельную работу учащихся, т.е. уместно проведение семинара по теме.

Анализ задачного материала:

№ 271 -275 - задачи практического характера, они выносятся на самостоятельную работу учащихся при подготовке к семинару.

№ 276 - №278, 319 - на нахождение элементов симметрии многогранников.

Задачи на нахождение:

- угла: №279, 282.

- площади сечения: № 280, 281, 283

- расстояния: № 287

Задачи на доказательство: № 281, 285, 315 - 318.

§ 4 Тематическое планирование.

Всего на изучение главы «Многогранники» отводиться 18 часов. Из них на изучение темы «Правильные многогранники» - 2 часа. В тематическом планировании это уроки № 15, 16. Это уроки - семинары.

Учебные задачи: с помощью самостоятельной работы учащихся ввести понятие правильного многогранника по аналогии с правильным многоугольником, виды правильных многогранников, их свойства, элементы симметрии, формировать умение строить правильные многогранники на основе куба.

Методы обучения: частично-поиковый, репродуктивный, эвристическая беседа.

Средства обучения: мел, доска, учебник, модели многогранников, презентации, канва - таблицы.

§ 5. Конспект урока «Правильные многогранники»

Тема: Правильные многогранники

Тип урока: урок-семинар

Учебник: Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993

Учебная задача: с помощью самостоятельной работы учащихся ввести понятие правильного многогранника по аналогии с правильным многоугольником, виды правильных многогранников, их свойства, элементы симметрии, формировать умение строить правильные многогранники на основе куба.

Диагностируемые цели: В результате изучения темы ученик

Знает:

• Виды симметрии в пространстве

• Определение правильного многогранника и его свойства

• О существовании пяти видов правильных многогранников и их свойства

• Элементы симметрии правильных многогранников

• Как на основании куба строить правильные многогранники

Умеет:

• Задавать элементы симметрии правильных многогранников

• Строить правильные многогранники на основе куба

• Создавать модели правильных многогранников на основе разверток

Понимает:

• Аналогию между симметрией на плоскости и в пространстве, между правильными многоугольниками и многогранниками

• Почему существует только пять видов правильных многогранников

План семинара (2ч):

1. Правильные многоугольники, их элементы симметрии

2. Понятие и виды правильных многогранников

3. Построение правильных многогранников на основе куба

4.Понятие симметрии в пространстве

5. Элементы симметрии правильных многогранников

6. Звездчатые многогранники.

Организация семинара:

План семинара, рекомендуемая литература, списки групп и названия докладов были вывешены за 2 - 3 недели до самого семинара. Все это время ученики готовились под руководством учителя. Класс был разделен на 6 группы. Домашним заданием для всего класса было повторение темы «Правильные многоугольники».

Группы учеников:

I - Правильные многоугольники, их элементы симметрии

ΙI - Понятие правильного многогранника. Виды правильных многогранников.

III - Построение правильных многогранников на основе куба.

IV - Понятие симметрии. Симметрия в окружающем мире.

V - Элементы симметрии правильных многогранников

VI - Звездчатые многогранники.

Задание для групп:

Ι группа: (2 человека)

1) Понятие правильного многоугольника.

2) Элементы симметрии правильных многоугольников

Литература: Геометрия: учеб. для 7 - 9 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Гл. 5 §1 п.39, §3 п.47

ΙΙ группа: (8 человек)

1) Понятие и виды правильных многогранников.

2) №271 - 275

3) Доклад «Из истории правильных многогранников».

Литература:

1) Г.И. Глейзер, История математики в школе, М., 1983 гл.4 §11 п.71

2) Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. гл. 3 §3 п.36

ΙΙΙ группа: (5 человек)

Построение правильных многогранников на основе куба

Литература: Научно - теоретический и методический журнал «Математика в школе» №2 1994 Крайнева Л. Б. «Построение правильных многогранников с использованием куба»

ΙV группа: (3 человека)

1) Доклад «История появления симметрии»

2) Доклад «Симметрия в пространстве»

3) Доклад «Симметрия в окружающем мире»

Литература:

1) Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. гл. 3 §3 п.35

2) Хрестоматия по истории математики/ под ред. А.П. Юшкевича

3) М. Давыдов Красота математики. - Н.Н., 2007

V группа: (4 человека)

1)Доклад «Элементы симметрии правильных многогранников»

2) Показать на моделях элементы симметрии правильных многогранников.

Литература: Геометрия: учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. гл. 3 §3 п.37

VΙ группа: (3 человека)

1) Доклад «Полуправильные многогранники»

2) Доклад «Звездчатые многогранники»

Методы обучения: частично поисковый, репродуктивный, эвристическая беседа.

Средства обучения: презентации, модели многогранников, канва - таблицы

Форма работы: фронтальная

Структура урока:

1) Мотивационно - ориентировочный этап 5 мин

2) Операционно - познавательный этап 35 мин

3) Рефлексивно - оценочный 5 мин

Ход урока:

Мотивационно - ориентировочный этап:

Актуализация:

Учитель: Сегодня у нас необычный урок, вы все готовились к нему. За две недели был вывешен список докладов по теме «Правильные многогранники». Каждый из вас выбрал себе доклад и подготовил по нему сообщение, которые мы сегодня выслушаем.

Мотивация и постановка учебной задачи:

Учитель: Т.е. сегодня на уроке вам предстоит изучить новое понятие, выслушивая доклады своих товарищей.

Операционно - познавательный этап

Учитель: Ребята, первая группа повторяла тему «Правильные многоугольники, элементы их симметрии».

Выступают представители первой группы:

1)«Понятие правильного многоугольника».

Выпуклый многоугольник называется правильные, если все его стороны и углы равны.

Примеры правильных многоугольников:

1) Равносторонний треугольник

В

Все стороны равны, все углы равны(60°).

А С

2) Правильный четырехугольник (квадрат)

А В

Все стороны равны, все

углы равны (90°)

Д С

3) правильный шестиугольник

В С Все стороны равны, углы

равны (120°)

А Д

F E

2) «Элементы симметрии правильных многоугольников»

Нам известны два вида симметрии на плоскости: осевая и центральная. Рассмотрим осевую симметрию. Две точки называются симметричными относительно прямой , если эта прямая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

А

Каждая точка на прямой считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью симметрии фигуры.

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией: равносторонний треугольник (3 оси симметрии); квадрат (4 оси симметрии).

Рассмотрим центральную симметрию.

Две точки называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка

А О

Точка О считается симметричной сама себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Точка О называется центром симметрии фигуры.

Примеры фигур - квадрат, правильный шестиугольник.

О О

Учитель: Молодцы! Ребята помогли нам вспомнить понятие правильного многоугольника и элементы их симметрии. Нам нужно изучить понятие и виды правильного многогранника. Этим вопросом занималась вторая группа. В ходе прослушивания докладов заполняйте канву - таблицы.

Сначала выслушаем доклад «Понятие и виды правильных многогранников».

Доклад (презентация «Правильные многогранники»)

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Примером правильного многогранника является куб. Все его грани - равные квадраты, и в каждой вершине сходятся три ребра (ученик показывает на модели).

Все ребра правильного многогранника равны друг другу.

Существует всего пять видов правильных многогранников:

1) Правильный тетраэдр составлен из четырех правильных треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Рассмотрим на модели: У тетраэдра 4 вершины, 6 ребер, 4 грани.

2) Правильный гексаэдр (куб) составлен из шести правильных четырехугольников (квадратов). Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Рассмотрим на модели: У куба 6 вершин, 10 ребер, 6 граней.

3) Правильный октаэдр составлен из восьми правильных треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Рассмотрим на модели: У октаэдра 8 вершин, 14 ребер, 8 граней.

4) Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Рассмотрим на модели: У додекаэдра 20 вершин, 30 ребер, 12 граней

5) Правильный икосаэдр составлен из двадцати правильных треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Рассмотрим на модели: У икосаэдра 12 вершин, 30 ребер, 20 граней.

Учитель: В ходе доклада вы заполняли таблицу, проверим её. (См. приложение 3)

Учитель: Молодцы! Теперь выслушаем доклад «Из истории правильных многогранников».

Доклад. (презентация «Из истории правильных многогранников»)

Учение о правильных многогранниках, содержащиеся в последней , XIII книге Евклида, является венцом его «Начал».

Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, а именно показывает, как вписать в сферу правильный:

1) тетраэдр (от греческих слов «тетра» - четыре и (h)edra-грань), имеющий четыре грани, четыре вершины и шесть ребер;

2) гексаэдр («гекса» - шесть): 6 граней, 8 вершин, 12 ребер;

3) октаэдр («окто» - восемь): 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

4) додекаэдр («додека» - двадцать):12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

5) икосаэдр («эйкоси» двадцать): 20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

После этого Евклид доказывает в 18 - м, последнем предложении XIII книги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников.

Некоторыми сведениями о многогранниках обладали еще древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (V век) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать самое большое гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в IV веке до н. э.

Пифагорейцы, которые утверждали, что «все есть число», уделяли в своих космологических теориях особенно важное место правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых над всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять, причем каждый из них имеет свое специфически - индивидуальное число граней, вершин и ребер.

В античной философии первоосновой бытия считались четыре элемента стихии: земля, вода ,воздух и огонь. Древнегреческий философ Платон придавал атомам этих стихий форму тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму додекаэдра Платон придавал всему миру в целом. В сочинении Аполлония о додекаэдре и икосаэдре привдена теорема о том, что отношение объемов октаэдра и икосаэдра равно отношению их поверхностей.

Правильными многогранниками занимался Архимед, однако его работы до нас не дошли. Архимеду принадлежит открытие 13 так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»), в каждой из которых ограничен неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней в одинаковом порядке.

Альбрехт Дюрер, занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку. Также о правильных телах писали в XVI веке французские ученые О. Финей, П. Рамус.

В начале прошлого столетия французский математик и механик Л. Пуансо (1777 - 1859), геометрические работы которого относятся к звездчатым многогранникам, открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников.

Итак, стали известны четыре типа таких фигур. В 1812 году О. Коши доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Учитель: Из доклада мы узнали, что о многогранниках впервые стал говорить Евклид в своих трудах.

Некоторые учащиеся выполняли практическое задание - посмотрим, что у них получилось. (см. приложение 1)

Третьим пунктом плана к семинару является построение правильных многогранников на основе куба. Об этом нам расскажет третья группа. (Презентация «Правильные многогранники и их построение на основе куба»; заполняется канва - таблицы, см. приложение 4, 5)

Учитель: переходим к следующему вопросу нашего семинара. Четвертая группа готовила доклады о симметрии. Выслушаем их.

Доклад «История появления симметрии» (презентация)

На явления симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием учения о гармонии (5 век до н.э.). В 19 веке появились единичные работы, посвящённые симметрии в растительном и животном мире.

В 20 веке усилиями российских учёных - В Беклемишева, В Вернадского, В Алпатова, Г.Гаузе - было создано новое направление в учении о симметрии - биосимметрика. Исследовав симметрии биоструктур на молекулярном и надмолекулярном уровнях позволяет заранее определить возможные варианты симметрии в биообъектах, строго описывать внешнюю форму и внутреннее строение любых организмов.

В физике принципы симметрии являются инструментом для отыскания новых законов природы. К числу симметрийных принципов относится принцип относительности Галилея и Эйнштейна. В 1894 г. на свет появилась последняя работа Пьера Кюри, посвящённая симметрии физических явлений. Статья называлась «О симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного поля». Именно в этой работе и были сформулированы наиболее глубокие идеи учёного, касающиеся универсальной роли симметрии в природе. Ещё одним учёным, который пытался объяснить симметрию с точки зрения физики, был Е.С.Фёдоров. Исходя из принципов симметрии, он доказал, что существует конечное число типов кристаллов.

В химии

Симметрия обнаруживается также и на атомном уровне изучения вещества. Она проявляется в недоступных непосредственному наблюдению геометрически упорядоченных атомных структурах молекул.

В 1810 году Д.Дальтон, желая показать своим слушателям как атомы, комбинируясь, образуют химические соединения, построил деревянные модели шаров и стержней. Эти модели оказались превосходным наглядным пособием.

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). Ничто не изменится, если поменять местами парные атомы в молекуле; такой обмен эквивалентен операции зеркального отражения.

Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности.

Доклад «Симметрия в пространстве» (Презентация)

В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Симметрия относительно точки:

Точки А и называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О - середина отрезка А . Точка О считается симметрична сама себе.

О

А

Точки А и называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка А и перпендикулярна к этому отрезку.

а

А

Точки А и называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка

А и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

α

А

О

Определение:

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точки той же фигуры.

Доклад «Симметрия в окружающем мире» (Презентация)

С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, науке, искусстве, быту. Симметричные объекты окружают нас со всех сторон. И не только объекты. Симметрия присутствует также в регулярности смены дня и ночи, времен года. Симметрия - это упорядоченность, красота, уравновешенность, совершенство.

Симметрия в неживой природе.

Симметрия проявляется в многообразных структурах и явлениях неорганического мира и неживой природы. Например, формы снежинок может быть очень разнообразны, но все они обладают симметрией.

Все твердые тела состоят из кристаллов. Симметрия внешней формы кристаллов является следствием его внутренней симметрии - упорядоченного расположения атомов и молекул в пространстве. Кристаллы алмаза имеют вид правильного восьмигранника - октаэдра.

Симметрия в мире растений

Характерной для растений симметрией является симметрия конуса, которая хорошо видна на примере любого дерева. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы, плоды.

Симметрия в мире насекомых, рыб, птиц, животных.

Можно наблюдать зеркальную симметрию у стрекоз, пауков, кузнечиков, птици многих животных.

Учитель: Молодцы! Очень интересно. Теперь рассмотрим симметрию правильных многогранников (ученики заполняют таблицу 2 из приложения 2). Этим занималась у нас пятая группа.

Доклад «Элементы симметрии правильных многогранников» (отдельный документ «Элементы симметрии правильных многогранников»)+ презентация «Элементы симметрии правильных многогранников»

Приложение 1.

№ 271 № 272.

№ 273.

№ 274.

№ 275.

Приложение 2. (канва - таблица).

Правильный многогранник -

Таблица 1. Элементы правильных многогранников.

Таблица 2. Элементы симметрии правильных многогранников.

Приложение 3. (заполненная канва - таблица).

тетраэдр (огонь)

гексаэдр (куб) (земля)

октаэдр (воздух)

додекаэдр(весь мир)

икосаэдр (вода)

Правильный многогранник - это выпуклый многогранник, у которого все грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Таблица 1. Элементы правильных многогранников.

Таблица 2. Элементы симметрии правильных многогранников.