Урок по алгебре в 11 классе Решение неравенств методом рационализации

Тема урока:

Решение логарифмических неравенств методом рационализации.

Цель урока:

1. Содержательная цель: обучение новому способу решения логарифмических неравенств путем их сведения к системе рациональных неравенств.

2.Развивающая цель: развитие познавательных умений, развитие аналитического мышления.

3.Деятельностная цель: самостоятельный поиск путей для достижения образовательной цели, воспитание критического мышления.

Ход урока:

1. Организационный момент (формулировка темы, постановка целей и задач урока перед учащимися, план хода урока).

Подготовительный этап.

Изложение теоретического материала.

Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств

Рассмотрим логарифмическое неравенство вида

, (1)

где - некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства.

В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию

, знак неравенства обращается: .

Во втором случае, когда основание удовлетворяет условию , знак неравенства сохраняется: .

На первый взгляд - все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт - приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос - можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?

Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Теорема 1. Логарифмическое неравенство

равносильно следующей системе неравенств:

(2)

Напоминаю, что неравенства называются равносильными, если множества их решений

совпадают. Важно, что о равносильности неравенств мы говорим на одном и том же множестве.

Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана.

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализующие выражения G,где u,v,,p,q-выражения с двумя переменными (u>0;u≠1;v>0,>0) ,а- фиксированное число ( а>0,a≠1).

1. Пример. Записать неравенство в виде системы рациональных неравенств.
   
   Решение. Составляем систему рациональных неравенств, аналогичную системе:
   
   

2. 
   
   Закрепление материала.
   
   Учитель предлагает классу 3 группы заданий, разных по сложности.

2.1. Задания 1-ой группы сложности. Записать неравенство в виде системы рациональных неравенств:

2.1.1

Решается учеником на доске с комментариями:

Решить самостоятельно

2.1.2



2.2. Задания 2-ой группы сложности. Записать неравенство в виде системы рациональных неравенств, представив правую часть в виде логарифма по нужному основанию:

2.2.1.

Решается учеником на доске с комментариями.

САМОСТОЯТЕЛЬНО:



2.2.2.



2.3. Задания 2-й группы сложности. Решить неравенство методом рационализации:

Пример 2

Решается учеником на доске с комментариями.

Учитель сначала вызывает к доске учащегося, выполняющих задания 1-й группы, затем предлагает всем выполнить оставшееся задание самостоятельно. Для выполнения задания 2-й группы учитель вызывает к доске учащегося, который сначала устно проговаривает, как представить число 0, 1 и 2 в виде логарифма по нужному основанию, затем учащийся выполняет задание для любого неравенства. Далее учитель дает время для самостоятельного выполнения оставшихся заданий и, если возникают вопросы, решает их с помощью самих учащихся. После этого учащиеся, выполняющие задание 3-й группы, представляют всему классу свое решение и объясняют преимущество нового метода перед традиционным.

Пример3. Решить неравенство

ОДЗ.

Решение.

Замечание. Обращаем внимание тех, кто собирается применять метод рационализации на ЕГЭ на следующее: критерии проверки таковы, что при ошибочном решении, но правильно найденном ОДЗ (при дополнительных условиях) можно получить балл. Поэтому, рекомендуется сначала отдельно найти ОДЗ, а затем перейти к решению основного (пятого) неравенства.

Тест.

IV.Историческая справка.

Джон Непер (1550-1617) - шотландский математик и И. Бюрги (1552 - 1632) независимо друг от друга ввели в математику понятие логарифма. Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), а первой появилась работа Непера "Описание удивительной таблицы логарифмов". Основанием таблицы является иррациональное число, которое называют неперовым числом и со времен Л. Эйлера обозначают буквой е. Логарифмы по основанию е называют натуральными логарифмами. Таблицы десятичных логарифмов составил английский математик Г. Бригс (1561 - 1630).

V. Рефлексия.

5.1. По предложенным ответам согласно критериям учащиеся оценивают свою проверочную работу, осмысливают допущенные ими ошибки, задают вопросы, на которые отвечают одноклассники.

5.2. Домашнее задание.

18.36, 18.46

Итог урока.

Учащимся предлагается самостоятельно сформулировать итоги урока.

Мы сегодня узнали еще один способ решения логарифмических неравенств с переменным основанием с помощью сведения их к системе рациональных неравенств, которые решаются методом интервалов. Итак, чтобы решить неравенство, надо:

1. 
   
   Записать ОДЗ неравенства:
   
   , , , .

2. 
   
   Составить рациональное неравенство: .