Проектная работа по геометрии по теме : Площади многоугольников

Проектная работа по теме: « Площади многоугольников»

Участники проекта: учащиеся 9 класса Быкова Виктория и Ляшкова Мария

Руководитель проекта : учитель математики Вельбой Анна Николаевна

Дидактические цели проекта:

1.Расширить знания учащихся о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

2.Развить творческую активность учащихся, научить делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований.

3.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности.

4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей.

Основными задачами проекта являются

• формирование у учащихся понятия площади многоугольников;

• развитие исследовательских навыков;

• развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразования;

• формирование навыков проектной работы.

Прогнозируемые результаты

В результате выполнения проекта «Площади многоугольников» учащиеся должны:

• знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей;

• продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур;

• знать сведения вычисления площадей в древности;

• получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы;

• самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Гипотеза

Гипотеза нашего проекта очень проста. В 8 классе мы познакомились с четырёхугольниками и узнали о них много интересного. В этом году, когда мы начали изучать пощади многоугольников, то само определение площади нам было не очень понятным. Нас заинтересовал этот вопрос, ведь геометрия- наука древняя, это наука, которая изучает свойства геометрических фигур. Слово «геометрия»- в переводе с греческого означает «землемерие». Возник вопрос о времени образования понятия «площадь», о её применении. Мы решили более подробно узнать об этом. У нас организовались три группы, которые получили определённое задание.

Рабочие группы и вопросы для исследования

Группа «Историки»

Найти информацию о нахождении площадей древними учёными

Группа «Исследователи площадей многоугольников»

Изучить доказательства площадей треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции

Группа « Практики»

1. Найти материал, подтверждающий применение площадей в архитектуре и строительстве.

2.Найти материал, подтверждающий применение площадей в географии.

Во время отчетов рабочих групп учитель следит за их выводами и делает свои выводы, в заключении даёт оценку работе каждой группы.

Отчётные материалы

1.Создание презентации (слайды, рисунки)

2. Подготовка сообщений.

Описание проекта.

Проект посвящён площадям треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции. В проекте участвовало 3 рабочих группы:

- Историки

- Исследователи площадей многоугольников

- Практики

. Группа историков выяснила, что возникновение геометрии уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением за окружающим миром. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого также произошло слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линиум» (льняная нить).

Первой страной, с которой встретились «историки» был

Египет.

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения

нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями.

Греция- это вторая страна где побывали наши «историки»

Около 600 года до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.

Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений, последовательно выводя их логически из некоторого набора метод дедуктивного

рассуждения, которому представало стать доминирующим в геометрии и фактически - во всей математике, сохраняя свое фундаментальное значение и в наши дни.

Группа историков разыскала

Задачи царицы Дидоны

Задачи, в которых требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение, принято называть задачами "на экстремум" (от лат. слова extremum - "крайний") или задачами "на максимум и минимум" (от латинских maximum и minimum -соответственно "наибольшее" и "наименьшее"). Такие задачи очень часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной практической деятельности людей. Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: "Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?". Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше. Доказательство основано на сравнении площадей. Площадь прямоугольника равна , а площадь квадрата и , если . Таким образом, получили, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

В решении Евклида, во-первых, указан ответ (квадрат) и, во-вторых, доказано, что по площади он превосходит все другие возможные фигуры (прямоугольники заданного периметра). Именно так понимают в математике решения задачи на экстремум: дать ответ и доказать его экстремальное свойство.

Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что:

1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник;

2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше;

3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Строгое доказательство третьего утверждения Зенодора было доказано только в XVIII веке знаменитым математиком Л. Эйлером.

Изопериметрические задачи известны также под названием "задачи Дидоны" по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком. Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу морю, то на языке математике задачу, стоящую перед Дидоной можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией Г, была наибольшей.

Группа историков обнаружила головоломки « Танграм»

История головоломки "Танграм"

Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

Рисунки, составленные из частей танграма

4. Головоломка Наполеона

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще?

Но прежде чем браться за решение головоломки, обратите внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка?

Всё вышеизложенное говорит о том, площади многоугольников интересны не только с исторической и математической точек зрения, но они представляют интерес и в повседневной жизни.

Группа исследователей площадей плоских фигур выяснила

Произвольный треугольник. a, b, c - стороны; a - основание; h - высота;

A, B, C - углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Одна из главных величин в геометрии - площадь. Площадь - это величина, характеризующая размер той части плоскости, которая заключена внутри плоской замкнутой фигуры. Обозначается буквой S.

Основная ее задача - измерить площадь, т.е. найти число, которое выражало бы эту величину. Другими словами необходимость установить некоторое соотношение между площадями фигур и числами, их выражающими. Чтобы измерить площадь фигуры, надо, прежде всего, выбрать единицу измерения площади. Такой единицей является квадрат, сторона которого равна некоторой единице измерения. Площади простейших фигур можно определить следующим образом: накладываем единичные квадраты на измеряемую площадь, столько раз, сколько возможно, и подсчитываем количество уместившихся квадратов. Полученное число и есть искомая площадь фигуры.

Группа практиков поработала отлично! По этому поводу хочется обратиться к высказыванию выдающегося французского архитектора Ле Корбюзье :

«Человеку , сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка…Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

Фантазия архитектора может достигнуть и таких форм и это придает зданию весьма оригинальный вид.

Строительное производство сегодня - это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных - раскрой пиломатериалов, на фуговальных - строгание, на долбежных и шипорезных - выдалбливание гнезд и нарезание шипов у заготовок.

Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения. Это лишь одна строительная профессия, а их очень много. Во всех случаях невозможно обойтись без знаний геометрии, без расчетов площадей поверхностей пола , стены , крыши.

Группа «практиков» сделала вывод:

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения, как Исаакиевский собор.

</ Группа практиков выяснила следующее, что в геодезии - науке об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет также применяются знания геометрии . Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией, математическим анализом, классической теорией потенциала, математической статистикой и вычислительной математикой. В то же время это наука об измерениях, разрабатывающая способы определения расстояний, углов и силы тяжести с помощью различных приборов.

Геодезические работы ведутся на трех уровнях. Во-первых, это плановая съемка на местности - определение положения точек на земной поверхности относительно местных опорных пунктов для составления топографических карт, используемых, например, при строительстве плотин и дорог или составлении земельного кадастра. Следующий уровень включает проведение съемок в масштабах всей страны; при этом площадь и форма поверхности определяются по отношению к глобальной опорной сети с учетом кривизны земной поверхности.

Группа практиков также выяснила , что без знания понятия площадь невозможно обойтись в сельском хозяйстве, в машиностроении, а также в повседневной жизни, например, при ремонте дома, когда приходится рассчитывать, сколько строительного материала необходимо для ремонта той или иной площади дома, квартиры.

Немного истории об оригами

• Оригами- древнейшее искусство складывание из бумаги различных объемных фигурок.

• Возникло 2000 лет тому назад в Китае.

• В 7 веке оригами было известно в Японии.

Самоделки из бумаги

ВЫВОД.

Во время подготовки к проекту каждой группе пришлось выполнять свою работу . Каждый из них получил большой запас знаний не только из области математики, но и из области истории, геодезии, архитектуры. Все приобретённые знания помогут стать более образованными и интересными людьми.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

6. Используемая литература.

1. «Геометрия 7 - 9 класс». Авторы - А. В. Погорелов

2. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецов

3. «История математики в школе.VII- VIII классы». Автор- Г.И. Глейзер.

4. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров и др.

5.Интернет ресурсы.

6.Развивающие задачи по геометрии 8-9 классы-Н.М. Карпушина