Исследовательская работа Геометрические игрушки флексагоны

МКУ «Закаменское районное управление образования»

МБОУ «Холтосонская СОШ»

Районная научно-практическая конференция

«Первые шаги»

Номинация: математика

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИГРУШКИ:ФЛЕКСАГОНЫ

Автор: Москвитин Слава, 5 класс

МБОУ «Холтосонская СОШ», 5класс

Домашний адрес: РБ, Закаменский район,

село Холтосон, ул. Клубная, дом

Контактный телефон: 8-924-352-8322

Руководитель: Харакшинова Ирина Вячеславовна

Год выполнения: 2016

2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………… 3

Основная часть

Занимательная геометрия……………………………………………….… 4

Треугольник - основа многогранника…………………………………… 4

Можно ли изгибать многогранник? ……………………………………… 5

Флексагон - изгибаемый многогранник…………………….……………. 6

Применение флексагонов ……………. …………………………………..10

Заключение……………………………………………………………………….13

Введение.

Геометрию многие считают неинтересным и скучным предметом, состоящим исключительно из фигур и формул, но это не так. Фигуры и формулы - это, конечно, основа геометрии, но скучным этот предмет назвать никак нельзя. Человек с самого раннего детства сталкивается с этой интересной наукой: когда собирает кубики, когда играет в мяч, даже когда просто рисует круглое солнышко и квадратный дом с треугольной крышей. Геометрия окружает нас повсюду, и без нее не обходится ни одна наука.

Есть занимательная геометрия, в которой обычные задачи превращаются в нечто увлекательное и необычное. Французский математик Блез Паскаль писал: «Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным». Один из увлекательных моментов геометрии будет рассмотрен в нашей работе.

Цель исследовательской работы: показать, что в основе таких геометрических игрушек, как флексагоны лежит геометрия.

Задачи: составление анкеты, выявляющей интерес учащихся к занимательной геометрии; изучение и анализ информации о флексагонах ; нахождение практического применения флексагонам.

Методы исследования: изучение специальной литературы; изготовление и практическое применение флексагонов; анкетирование и анализ анкет; фотографирование процесса.

Гипотеза: флексагоны - это не геометрия, а обычное оригами.

Объектом исследования является математика.

Предмет исследования - геометрия гнущихся многогранников.

Занимательная геометрия.

В своей работе я рассмотрел один из моментов занимательной геометрии - флексагоны. Узнал интересные сведения о треугольнике - основе многоугольника, изучил вопрос об изгибаемости многогранника, о том, как собираются флексагоны и где их можно применить помимо уроков математики.

Прежде чем изучить вопрос о геометрических игрушках, я провел анкетирование, в котором приняли участие учащиеся 5 и 6 классов. Ответы на вопросы анкеты «Занимательная математика» показали, что школьникам нужна занимательная математика и им интересно узнать о геометрических игрушках. (Приложение 1)

Таким образом, данная тема нужна и интересна школьникам, а значит, может быть интересной и другим.

Треугольник- основа многоугольника

Простейшая плоская фигура в геометрии и простейший из многоугольников - это треугольник: три стороны и три вершины. Математики его называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Из-за своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков используют свойства треугольника. Так возникла наука тригонометрия - наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Научным языком треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, и отрезков АВ, ВС и АС, их соединяющих. Точки А, В и С называются вершинами треугольника, отрезки АВ, ВС и АС называются сторонами треугольника. По виду треугольники подразделяются на остроугольные (все углы треугольника острые), прямоугольные (один угол треугольника равен 90°) и тупоугольные (один угол больше 90°). По соотношениям между сторонами треугольники подразделяются на: равносторонние или правильные (все стороны равны между собой, все углы равны 60°), равнобедренные (две стороны равны между собой), разносторонние (все стороны различны). Углы между сторонами треугольника называются углами треугольника и обозначаются: ∟ВАС, ∟АВС, ∟АСВ (Приложение 2).

Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более четырех тысяч лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника. Через две тысячи лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Особенно глубоко свойствами треугольников занимались древнегреческие ученые Пифагор и Герон. Пифагор сформулировал и доказал теорему о сторонах прямоугольного треугольника, у Герона же впервые встречается знак ∆ вместо слова треугольник.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV - XVI веках. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Например, свойствами треугольников занимался в это время Леонард Эйлер. Даже император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой, в частности, треугольникам. В математике есть понятие «внешний треугольник Наполеона» - это теорема, приписанная ему.

В XV - ХIХ веках ученые математики изучили треугольник буквально со всех сторон, написали о нем массу работ.

Инженеры любят треугольник за его «жёсткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырехугольников и многоугольников с большим количеством сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника.

Взгляните на металлические фермы мостов - составляющие их балки образуют треугольники. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость.

Можно ли изгибать многогранник?

Как уже было сказано выше, треугольник - это простейшая плоская фигура, следовательно, из соединенных треугольников можно составить любой многоугольник. Например, из двух одинаковых равнобедренных и прямоугольных треугольников можно составить квадрат; из двух одинаковых прямоугольных треугольников составляется прямоугольник; из двух равнобедренных треугольников составляется ромб; если взять два любых одинаковых треугольника, то получится параллелограмм (Приложение 3).

С равносторонними треугольниками, у которых равны не только стороны, но и углы (каждый 60°), можно проводить много интересных опытов. Например, два правильных треугольника образуют ромб; три - трапецию, у которой равны три стороны; четыре - параллелограмм, у которого каждая боковая сторона в два раза меньше оснований. Шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник (Приложение 4).

Из четырех правильных треугольников можно составить и объемное геометрическое тело - тетраэдр (тетра - «четыре», эдр - «грань» - пирамида, в основании которой лежит треугольник). Наш тетраэдр получится правильным, так все его грани будут равны между собой.

Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так и пирамида - жёсткое геометрическое тело, то есть его нельзя изменить, не сломав (Приложение 5). Еще в 1766 году математик Эйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». В 1813 году французский математик Огюстен Луи Коши доказал, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен, то есть выпуклый многогранник изгибаемым не бывает. Н. П. Долбилин в своей статье «Жесткость выпуклых многогранников» писал: «Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал его жесткость и, возможно, задумывался над этим»¹.

Оказывается, эту версию можно опровергнуть. В статье В. Залгеллера «Непрерывно изгибаемый многогранник» мы нашли примеры изгибания замкнутого многогранника. Одним из таких примеров является построенный в 1977 году американским геометром Р. Коннели изгибаемый многогранник, который и опроверг гипотезу Эйлера

(Приложение 5).

Флексагон- изгибаемый многогранник.

Самый яркий пример того, что многогранник может изгибаться и менять свою форму - это флексагон - бумажная геометрическая игрушка, обладающая поразительной способностью менять форму и цвет (Приложение 6).

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу².

Слово флексагон произошло от английского to flex - «складываться, гнуться, сгибаться». Название говорит само за себя.

Открытие флексагонов произошло совершенно случайно. В конце 1939 года Артур Х. Стоун, аспирант из Англии, изучавший в Пристоне математику, держал в руках американский блокнот. Формат этого блокнота не совпадал с форматом привычного ему английского, поэтому Стоун решил обрезать листы американского блокнота, подогнав его под привычный формат. Желая немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур - правильный шестиугольник - оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из которых были видны. Перегнув же шестиугольник определенным образом, можно было увидеть и третью сторону. Позже его назвали тригексафлексагоном (три - число поверхностей, гекса - «шесть» - число углов).

Напомним, что Стоун был математиком. Простому человеку, сложи он даже случайно флексагон, вряд ли было бы понятно, какое открытие он сделал. И, как настоящий математик, Стоун не оставил свое маленькое открытие. Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности своих умозаключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась аспиранту настолько интересной, что он решил показать ее своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9-ю, 12-ю, 15-ю и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48-ю поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски можно сложить тетрагегсафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнсманом. Она указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется.

Существует несколько видов флексагонов: тригексафлексагон (шестиугольник с тремя поверхностями), тетрагаксафлексагон (с четырьмя поверхностями), пентагексафлексагон (с пятью поверхностями), гексагексафлексагон (с шестью поверхностями) и другие (Приложение 7). Существуют флексагоны, построенные на основе квадрата. В нашей работе рассматриваются только те флексагоны, которые собираются на основе треугольника.

В Приложениях 8, 9, 10 показано изготовление и перегибание тригексафлексагона и гексагексафлексагона.

Надо сказать, что тригексафлексагон делается намного проще, чем гексагексафлексагон, в котором имеются не три, а шесть сторон. Перегибая тригексафлексагон, можно увидеть, как стороны появляются друг за другом: красная, фиолетовая, желтая, красная, фиолетовая, желтая. Гексагексафлексагон удивителен еще и тем, что при выворачивании можно заметить странную вещь. Стороны показываются не по порядку. Причем стороны с цифрами 1, 2 и 3 показываются намного чаще (практически в 3 раза), чем стороны с цифрами 4, 5 и 6. Можно помногу раз выворачивать флексагон и совсем не увидеть 4, 5, или 6-ю стороны.

Один из друзей изобретателя флексагона Таккерман нашел очень простой способ выявления всех поверхностей любого флексагона. Держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из двенадцати перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут показываться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4, 5, 6.

Применение флексагонов.

Флексагоны могут быть основой творчества. Изучив флексагоны , мы смогли убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений (Приложение 11).

Применение флексагонов:

• Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне - 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.

• Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+», «-»,«×», «:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении - не всегда получится целое.

• Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.

• Флексагоны можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.

Заключение.

Моя работа посвящена изучению свойств гнущихся многогранников, называемых флексагонами, истории их возникновения и применению в обычной жизни.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны - это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Мне было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать флексагоны, через занимательную геометрию погрузился в мир геометрии научной. Я познакомился с трудами известных математиков, изучил свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника, изучили вопрос жесткости многогранников.

В работе изучен интерес к данной теме путем анкетирования учащихся 5,6 классов, даны несколько советов практического применения флексагонов.

Работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников.

Список используемой литературы

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. - М.: МИРОС. 1995г.

2. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1985г.

3. http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm

4. http//www.models-paper.com›index.php…

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Анкетирование

учащихся 5 и 6 классов МБОУ «Холтосонская СОШ»

Всего в анкетировании приняли участие 11 человек.

Вопрос 1. Любите ли вы уроки математики?

«ДА» - 100%

«НЕТ» - 0%

Вопрос 2. Интересна ли вам занимательная математика?

«ДА» - 96%

«НЕТ» - 4%

Вопрос 3. В начальной школе на уроках математики учитель предлагал вам задания из занимательной математики?

«ДА» - 89%

«НЕТ» - 9%

«НЕ ПОМНЮ» - 2%

Вопрос 4. Хотели бы вы продолжить решать занимательные задачи?

«ДА» - 100%

Вопрос 5. Хотели бы что-нибудь узнать о геометрических игрушках?

«ДА» - 100%

Анализ анкет

На вопрос «Любите ли вы уроки математики?» все ответили- «да». Занимательная математика интересна 96 % школьников. 89 % учащиеся помнят о том, что в начальной школе учителя предлагали им задания из занимательной математике, зато абсолютно все участники анкетирования хотели бы продолжить решать занимательные задачи в средней и старшей школе. Из всех анкетируемых хотели бы узнать, что такое геометрические игрушки.

Наша анкета была рассчитана на то, что ответом будет «да» или «нет», однако некоторые респонденты поясняли свои ответы. Например: «Математика мне нравится, потому что она интересный предмет», «Математика - мой любимый предмет», «Занимательная математика расширяет кругозор», «Занимательные задачи лучше решать на каждом уроке», «В начальной школе нам предлагали магический квадрат», «Я никогда не слышал о геометрических игрушках, но очень хотел бы узнать» и др.

Таким образом, можно сделать вывод, что математика и занимательная математика интересны и в среднем звене стоит продолжать решать занимательные задачи и примеры. Результаты анкетирования доказывают, что наша исследовательская работа «Геометрические игрушки: флексагоны и флексоры» будет интересна школьникам.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Треугольник

В

А

Части треугольника:

А, В, С - вершины,

АВ, ВС, АС - стороны,

ВАС, АВС, АСВ - углы

С

Виды треугольника

равносторонний

(правильный)

равнобедренный

разносторонний

остроугольный

прямоугольный

тупоугольный

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Разложение многоугольника на треугольники

+

Два равнобедренных и прямоугольных треугольника = квадрат

+

Два прямоугольных треугольника = прямоугольник

+

Два равнобедренных треугольника = ромб

+

Два одинаковых треугольника = параллелограмм

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Опыты с равносторонними треугольниками

Два равносторонних треугольника = ромб

Три равносторонних треугольника = трапеция, у которой равны три стороны

Четыре равносторонних треугольника = параллелограмм, у которого каждая боковая сторона в два раза меньше основания

Шесть равносторонних треугольника = правильный шестиугольник

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Несгибаемые и изгибаемые многогранники

Несгибаемые или «жёсткие» многогранники

вершина

ребро

грань

тетраэдр

пирамида

Изгибаемый многогранник американского геометра Коннели

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Флексагоны

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Виды флексагонов

Унагексафлексагон. Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников, поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов.

Дуогексафлексагон (флексагон с двумя поверхностями) представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

Тригексафлексагон (флексагон с тремя поверхностями). Существует только одна разновидность этого флексагона, она описана в нашей работе.

Тетрагексафлексагон (флексагон с четырьмя поверхностями) также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски.

Пентагексафлексагон (флексагон с пятью поверхностями). Единственную разновидность этого флексагона складывают из И-образной полоски.

Гексагексафлексагон (флексагон с шестью поверхностями). Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладает неповторимыми свойствами. В работе дано описание лишь одного типа.

Гептагексафлексагон. Таких флексагонов существует четыре типа. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки.

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Сборка тригексафлексагона

Рисунок 1

не закрашивать

не закрашивать

незакрашенный

Рисунок 2

Рисунок 3

Сначала делается разверстка. Она состоит из десяти правильных треугольников, расположенных так, как на рисунке 1. На полоске можно начертить только один треугольник, а остальные подравнять под него путем перегиба бумаги. Раскрасьте полоску с двух сторон в соответствии с рисунком 1 или расставьте цифры. Перегните полоску по сторонам треугольников и сложите, как показано на рисунке 2. Оставшийся треугольник подогните вниз, склейте друг с другом две неокрашенные треугольные поверхности, и флексагон готов (рисунок 3). Одна сторона у него должна быть красная, другая фиолетовая, третья - желтая (можете раскрасить в свои цвета). Или же на одной стороне должны быть только цифры 1, на другой - 2, на третьей - 3.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9

Перегибание флексагона

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Чтобы «открыть» флексагон, его нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине шестиугольника по общей стороне этих треугольников (рисунок 1), а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников (рисунок 2). Флексагон должен открыться (рисунок 3). Если флексагон не открывается, нужно попробовать ухватить его за два других треугольника. При открывании шестиугольник выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее скрывалась внутри.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

С

не закрашиватьборка гексагексафлексагона

Рисунок 1

а

1

1

1

2

2

2

3

3

3)

1

1

1

2

2

2

3

3

3

б

4

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5)

не закрашивать

а

Рисунок 2

1

1

2

2

3

1

2

2

3

3

согнуть

Рисунок 3

Рисунок 4

а

b

c

d

согнуть

2

1

2

2

3

b

2

2

2

2

2

2

d

c

2

согнуть

1

1

3

Чтобы сложит гексагексафлексагон (первое гекса - число сторон - шесть, второе гекса - числоуглов - шестиугольник), берут полоску бумаги, разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на рисунке 1а порядке цифры 1, 2, 3 или раскрасить их в цвета, но в определенной последовательности. Переверните полоску и на обратной стороне в соответствии с рисунком 1б пронумеруйте цифрами 4, 5, 6 (или раскрасьте в соответствии со схемой).

После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры (или цвет), оказались наложенными друг на друга - 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате получится заготовка, показанная на рисунке 2. Перегнув ее по линиям ab (рисунок 2) и cd (рисунок3), получим шестиугольник (рисунок 4). Остается лишь подогнуть вниз торчащий справа пустой треугольник и приклеить его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

Применение флексагонов и флексоров

Флексагон и флексор - познавательные игрушки для малышей

1 Квант. - 1998. - № 5. - С. 6

2</<font face="Times New Roman, serif"> Гарднер М. Математические головоломки и развлечения - М.: Мир, 1971. - С. 11