Урок в 11 классе по алгебре Возрастание и убывание функции

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

по теме «Возрастание и убывание функции»

11 класс

Учитель: Сычевская Л.А.

Цели урока:

1. Образовательные:

- повторить определение возрастающей, убывающей функции,

-рассмотреть применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.

2. Развивающие:

-развитие применения модульного обучения при самостоятельном изучении материала

-развитие аналитических способностей

3. Воспитательные:

-воспитание правильной оценки собственной самостоятельной деятельности

-воспитание умения работать индивидуально и в группе, умение слушать, умение отстаивать собственное мнение.

Оборудование:

Интерактивная доска

Ход урока:

1. Оргмомент

2. Актуализация знаний

На каждом столе лежит лист с вопросами: необходимо ответить «да» или «нет». Эти же вопросы на экране: 5 минут

Вопросы

да

нет

1

Функция y=2x возрастает на (-∞;∞)

+

2

Функция y = возрастает на (-∞; 0)

+

3

Функция y = убывает на

+

4

Функция y = возрастает на (0; )

+

5

Функция y = возрастает на всей области определения

+

Обсуждение ответов.

3. Самостоятельная работа

1. Учащиеся комментируют решение, проговаривают формулы дифференцирования, а учитель записывает решение на доске.

1. Найти производную функции:

6. . Найти

4. Свойства элементарных функций позволяют нам безошибочно определить промежутки возрастания и убывания. Совсем не так просто с функциями, которые не изучались, с функциями общего вида. Как же можно определить промежутки монотонности для любой функции? На этот вопрос мы постараемся ответить на этом уроке.

2. На рисунке 1 изображен график функции

на интервале (-5; 7). (рис. 1.)

Вопросы:

• Вспомните определение возрастающей или убывающей функции на заданном промежутке.

• Назовите промежутки возрастания функции. Сколько их?

• Назовите промежутки убывания функции. Сколько их?

2. Отработка навыков применения теоремы о достаточных условиях возрастания и убывания функции по графику.

1. На рисунке 2 изображен график производной функции, на интервале (-8; 5).

</

Вопросы (спроецированы на доске):

• Что нужно знать, чтобы ответить по этому графику на вопросы, аналогичные предыдущим?

• Сформулируйте теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции.

• Как вы понимаете слова достаточные условия на интуитивно-бытовом уровне? Например, для покупки карандаша стоимостью три рубля пяти рублей достаточно, а двух рублей недостаточно.

• Кто из математиков сформулировал теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции? Ответ готовили дома: Великий математик Г. Лейбниц (1646-1716). В классе висит его портрет, обратить внимание детей на это. Более подробный материал можно найти на сайте uchitel.ru.

• Вспомните еще раз теорему о достаточных условиях возрастания и убывания функции. На рисунке 2 с помощью проектора появится штриховка при ответе на вопросы.

Вопросы для работы с графиком 2:

1. Сколько промежутков возрастания?

2. Назовите и покажите их.

3. Назовите длину большего промежутка возрастания.

4. Назовите длину меньшего промежутка убывания.

5. При каком значении x на отрезке [-3; -1] функция принимает наименьшее значение?

6. При каком значении x на отрезке [-6; -5] функция принимает наибольшее значение?

7. Теперь вернемся к графику 1. Назовите точки, в которых f'(x)>0, f'(x)<0. Какую теорему нужно использовать при ответе на данный вопрос?

Теорема1.

«Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f/(x) >0 для всех х (a;b), то функция возрастает на интервале (a;b)».

Теорема2.

«Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f/(x) < 0 для всех х (a;b), то функция убывает на интервале (a;b)».

5) Первый тог этапа. Делается вывод, что первой цели мы достигли и выполняется 5 задач на готовых чертежах (в том числе пример №3, ранее казавшийся невыполнимым). (Слайды 14-18):

№1. Непрерывная функция y=f(x) задана на [-10;11]. На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции.

№2. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-10;6). На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков убывания функции.

№3. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-6;8). На рисунке изображён график её производной. Укажите длину промежутка убывания этой функции.

№4. Непрерывная функция y=f(x) задана на (-4;10). На рисунке изображён график её производной. Опишите последовательно типы монотонностей функции.

По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:

Сколько промежутков возрастания у этой функции?

Найдите длину промежутка убывания этой функции.

Алгоритм.

1. Указать область определения функции.

2. Найти производную функции y=f(x).

3. Определить промежутки, в которых f^/(x) )>0 и f ^/ (x)<0.

4. Сделать выводы о монотонности функции.

5) Второй итог этапа: Делается вывод, что достигнута и вторая цель

6. Первичное закрепление во внешней речи (на доске 3 человека и в распечатках)

Решение примера по алгоритму с проговариванием шагов алгоритма (Слайд 20):

Найти промежутки возрастания и убывания функций: а) f(х) = х⁴ - 2х²;

б) f(х) = 3+; в) f(х) =

а) Решение:

1. D(f) = R

2. f^/(x) = 4х³ - 4х,

3. f^/(x)>0, если 4х³ - 4х >0, х³ - х >0, х(х-1)(х+1)>0

f^/(x): - + - +

f(х): -1 0 1 х

4. Функция убывает на промежутках (-∞;-1)] и [(0; 1)]

Функция возрастает на промежутках [(-1; 0)] и [(1; + ∞)]

Исследовательская работа по теме:

«Зависимость монотонности функции от знака её производной»

Указания к работе:

1. Найдите производную функции f(x) = 6х - 2х³ . (График функции задан.)

2. В этой же системе координат постройте график её производной.

3. Рассмотрев графики, заполните таблицы 1 и 2 для функции и её производной.

Таблица 1. Промежутки знакопостоянства (в нижней строке используйте знаки + и - )х

f^/(x) =

Таблица 2. Промежутки монотонности (в нижней строке используйте знаки и )х

f(x) = 6х - 2х³

4. Сформулируйте гипотезу о связи знака производной функции с монотонностью функции.

На промежутках, где f^/(x) > 0 функция _________________________

На промежутках, где f^/(x) < 0 функция_________________________