Конспект урока по математике на тему 'Независимые повторения испытаний с двумя исходами'

Конспект по алгебре и началам анализа.

Учитель: Денисенко Н. В.

Тема: Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Класс: 11.

Цели:

1. Познакомить учащихся с формулой Бернулли, показать ее значение в теории вероятностей.

2. Повторить изученные ранее понятия из теории вероятностей и комбинаторики (достоверное событие, сочетания, классическое определение вероятности, рамки, в которые заключена вероятность любого события).

3. Обучить применению формулы Бернулли при вычислении вероятностей.

4. Расширить культуроведческую компетенцию школьников.

План:

1. Вступительное слово учителя.

2. Повторение элементов комбинаторики и понятий теории вероятностей (задача на сочетания, противоположные события, их вероятности).

3. Введение формулы Бернулли (из какой проблемы возникла, историческая справка).

4. Закрепление теоремы Бернулли (задачи 1 и 2).

5. Теорема о наиболее вероятном числе «успехов» в испытаниях.

6. Самостоятельное решение задачи.

7. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Оборудование: тетрадь, учебник.

Организация: вступительное слово учителя, объяснение нового материала, решение задач, самостоятельная работа, заключительные выводы по теме.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Повторение элементов комбинаторики и понятий теории вероятностей.

В теории вероятностей большое значение имеют элементы комбинаторики. Знание формул сочетания, размещения, перестановок во многом облегчает задачу при нахождении вероятности события определенного типа.

Вам уже знакомы многие факты из комбинаторики. Вспомним некоторые из них.

Задача.

Сколько диагоналей в выпуклом 10-угольнике?

Какой многоугольник называется выпуклым?

Если мы нарисуем 10 точек на плоскости и будем соединять каждые две из них всеми различными способами, что мы получим? (10-угольник с проведенными в нем диагоналями).

Сколькими способами можно соединить две точки из десяти?

Будут ли здесь повторения?

Важен ли здесь порядок соединения точек?

Какую формулу из комбинаторики в таком случае здесь необходимо применить? (Сочетание из 10 по два, без повторений).

Сколько диагоналей? Равно ли количество диагоналей полученному числу сочетаний? (Нет, число диагоналей на 10 меньше, т.е. 35).

3. Введение формулы Бернулли

С помощью классического определения вероятности события, мы можем легко вычислять вероятность того, что некоторое событие произойдет. Однако, можно потребовать большего. Существует формула, позволяющая вычислить вероятность того, что событие произойдет ровно раз в серии из испытаний.

Будем рассматривать событие А с двумя возможными исходами. Событие А может произойти или не произойти. Обозначим за - вероятность появления данного события в одном, отдельно взятом, испытании, другими словами - вероятность «успеха». Обозначим за - вероятность того, что событие не произойдет при проведении одного испытания, другими словами - вероятность «неудачи». При проведении испытания нас ждет либо успех, либо неудача. Так или иначе, будет один из данных исходов. Поэтому, сумма вероятностей и равна 1 (достоверное событие). Итак,

Учтем также, что вероятность появления события А в каждом отдельном испытании удовлетворяет двойному нестрогому неравенству:

Пусть проводится теперь серия из испытаний. Вероятность того, что в серии из испытаний событие А произойдет ровно раз, вычисляется по формуле:

где - число сочетаний.

Эта формула носит имя известного математика Якова Бернулли, одного из династии великих математиков рода Бернулли.

4. Закрепление теоремы Бернулли.

Задача 1.

Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8?

Решение:

(противники равносильны).

Необходимо сравнить и

Итак,

Задача 2.

Четыре студента, готовясь к экзамену, выучили только 5 билетов из 20. Сдавать экзамены они будут в разных аудиториях. Какова вероятность того, что:

А) все четыре друга сдадут экзамен?

Б) никто из студентов не сдаст экзамен?

В) сдадут экзамен 3 из 4-х студентов?

Г) сдаст экзамен хотя бы один из студентов?

Решение:

А)

Б)

В)

Г)

5. Теорема о наиболее вероятном числе «успехов» в испытаниях.

Справедливо утверждение:

наиболее вероятное число «успехов» в серии из испытаний приблизительно может быть вычислено как произведение числа проведенных опытов на вероятность появления события в отдельном испытании

6. Самостоятельное решение задачи.

Какова вероятность того, что при 8 бросании монеты выпадет:

1. Ровно 5 раз - орел;

2. Поровну орлов и решек?

Решение:

7. Заключительное слово учителя, подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

Из задачника Мордковича: № 23.1; № 23.2.