Разработка урока алгебры в 10 классе по теме «Решение уравнений»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №4»

ОТКРЫТЫЙ УРОК В 10 КЛАССЕ

УРОК-ОБОБЩЕНИЕ

«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

КУЛИСОВА РАМЗИЯ САКУЕВНА

30 ЯНВАРЯ, 2013 ГОД

В результате овладения содержанием всех модулей учащиеся должны

Знать:

• понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

• соотношения для арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

• формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Уметь:

• решать простейшие тригонометрические уравнения по числовой окружности и по формулам;

• вычислять значения обратных тригонометрических функций,

• решать однородные тригонометрические уравнения первой и второй степени;

• решать тригонометрические уравнения разложением на множители и введением новой переменной;

• осуществлять отбор корней в тригонометрических уравнениях;

• решать тригонометрические неравенства.

Тема урока: "Решение тригонометрических уравнений"

Цели урока:

1. Развивающая

• Развитие устной математической речи

• Обеспечение условий для развития умения решить тригонометрические уравнения, совершенствовать мыслительные умения старшеклассников; сравнивать, анализировать и обобщать, навыков обработки информации

2. Образовательная

• Создание условий для осознанного усвоения решения тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c

• Формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля, алгоритмической культуры учащихся.

3. Воспитательная

• Развитие коммуникативных умений делового общения сверстников

• Воспитание аккуратности

Тип урока: урок объяснения нового материала (получение новых знаний) с применением ИКТ. Использованы элементы уровневой дифференциации.

Методы: словесные, наглядные, информационно-коммуникативные.

Формы организации: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Учебник:

1).Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 7-е изд., стер. - М. : Мнемозина, 2011. -424с.

2). Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г.Мордкович B И др.]; под ред. А.Г. Мордковича. - 7-е изд., стер.- М. : Мнемозина, 2011. -343с.

Правильному применению методов можно

научиться, только применяя их на разнообразных

примерах (Г. Цейтен)

1. Организационный момент. Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни. Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения ». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений. Перед нами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

1 этап.

Цель: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя. Вспомните основные правила решения простейших тригонометрических уравнений. Запишите формулы решения.

Выполните письменно самостоятельную работу (5 минут)

Решите уравнения:

1 вариант

2 вариант

1) cos x = 1/2

1) sin x = -1/2

2) sin x = -/2

2) cos x = /2

3) tg x = 1

3) ctg x = -1

4) 2 cos x = 1

4) 4 sin x = 2

2 этап.

Цель: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 - cos² x = 4 sin x Так как cos² x = 1 - sin² x, то 4 - (1 - sin² x) = 4 sin x,

3 + sin² x = 4 sin x, sin² x - 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y ² - 4 y +3 = 0 у₁=1; у₂=3.

sin x =1 x = /2 + 2 n, n= Z, или sin x = 3, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)

Решите уравнения:

Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В

1 вариант

2 вариант

1) tg² x - 3 tg x + 2 = 0;

1) 2 + cos² x - 3 cos x = 0;

2) 2 cos² x + 5 sin x - 4 = 0;

2) 4 - 5 cos x - 2 sin² x =0;

3 этап.

Цель: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой - 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin³ x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos² x - sin² x.

(2sin³ x - sin x) - (cos² x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos² x = 1 - sin x.

sin x (2sin² x - 1) - (1 - 2 sin² x) = 0,

sin x (2sin² x - 1) + (2 sin² x - 1) = 0,

(2 sin² x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin² x - 1 = 0

или

sin x + 1 = 0

sin² x = 1/2,

sin x = - 1

sin x = ±1/v2

Ответ: x₁ = ± /4 + n, n = Z, x₂ = - /2 +2k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (6 минут)

Решите уравнения:

Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В

1 вариант

2 вариант

1) sin² x - sin x = 0,

1) ctg² x - 4 ctg x = 0,

2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0,

2) 5 sin 2x - 2 sin x = 0.

4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, и т.д., где a, b, c - числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin² x + cos² x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x - 2 = 0 tg x = 2/5, x = arctg 2/5 + n, n = Z. Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos² x (или на sin² x).

Пример 2. 12 sin² x + 3 sin 2x - 2 cos² x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin² x + 2cos² x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin² x + 6sin x cos x - 4 cos² x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin² x = 0, чего не может быть, т.к. sin² x + cos² x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos² x.

10 tg² x +6 tg x - 4 = 0, tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = - /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x₁ = - /4 + n, n = Z, x₂ = arctg 2/5 + k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (8 минут)

Решите уравнения:

Первое уравнение - уровень А, второе уравнение - уровень В

1 вариант

2 вариант

1) sin x - cos x = 0,

1) 5sin x +6cos x = 0,

2) sin² x - sin 2x = 3 cos² x,

2) 3sin² x - 2sin 2x +5cos² x = 2.

5 этап. ( На этом этапе задания дифференцируются по степени сложности для слабых и сильных учащихся)

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Выполните письменно самостоятельную работу

Решите уравнения: (для слабых учащихся)

1 вариант

2 вариант

1) cos 2x -5 sin x - 3 = 0,

1) cos 2x + 3 sin x = 2,

2) sin 2x + cos 2x = 0,

2) sin 2x - cos 2x = 0,

3) cos² x - cos 2x = sin x,

3) 6 - 10cos² x + 4cos 2x = sin 2x,

4) sin 4x - cos 2x = 0,

4) cos x cos 2x = 1,

Выполните письменно самостоятельную работу (для сильных учащихся)

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

1. sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

2. 29 - 36 sin² (x - 2) - 36 cos (x - 2) = 0,

3. 2sin x cos x + - 2 cos x - v3 sin x = 0,

4. sin 4x = 2 cos² x - 1,

5. sin x (sin x + cos x ) = 1,

6. 1/(1 + cos² x) + 1/(1 + sin² x) =16/11.

Подсказки:

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

2. Обозначьте x - 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin² y = 1 - cos² y.

3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos² x - 1 = cos 2x.

5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Итоги урока.

II станция - однородные уравнения(слайд№8).

Решите данные уравнения.

I.4 sin² x + 5 sin x cos x + cos² x =0

II.3 sin² x + 5 sin x cos x + 2cos ² x =0

III. sin² x - 5 sin x cos x + 4cos² x =0

(Группа решает уравнение в черновике)

Задания для 1 группы:

1. 1) 2 sin² x=1+cos x

2. cos 2x+cos x = 0

Задания для 2группы:

1. sin2 x - cos x = 0

2. 2sin² x = 1 + cos x

Задания для 1группы:

1. cos2 x +cos x=0

2. sin 2x - cos x = 0

Коллективная работа с классом.

(Сильный учащийся у доски)

Давайте рассмотрим уравнение, которое имеет сложный аргумент, такие уравнения отсутствуют в школьных учебниках, но часто встречаются на экзаменах.

Итак, решить уравнение

Sin(Sin(Cosx-Sinx))=0.

Подведение итогов урока.

А.Энштейн говорил так: "Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, важнее. Политика только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно".

Вывод:

• обобщили знания и отработали навыки решения тригонометрических уравнений различными способами, подготовились к выполнению контрольной работы по данной теме;

• развили чувство самостоятельности и ответственности за качество своих знаний;

• развили навыки самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий;

• получили интересную дополнительную информацию об алмазах.

Оценивание:

За работу у доски:

За активное участие на уроке:

Задание на дом.

"Алгебра и начала анализа" ч. 2 Задачник под ред. А.Г.Мордковича. Стр.53 № 356 (а, б) 3 363 (в, г).