Интегрированный урок на тему 'Музыка и математика'

Музыка и математика

(Интегрированный урок)

Цель: Повысить познавательный интерес к математике, воспитывать

математическую и общую культуру учащихся, формировать единую картину мира

Оборудование: компьютер, магнитофон, плакаты, портреты, костюмы.

Потребность красоты и творчества, воплощающего её, - неразлучна с человеком, и без неё человек, может быть, не захотел бы жить на свете.

Ф. Достоевский

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.

Б. Рассел

Ход урока

Число - есть сущность всех вещей.

Пифагор

1. Учитель музыки читает слова Ф. Достоевского, которые написаны на доске.

2. Учитель математики читает слова Б. Рассела.

1. Учитель музыки:

-Ребята, сегодня мы поговорим об отношениях между математикой и музыкой, ибо математика, самая абстрактная из наук и музыка, наиболее отвлеченное из искусств, - высшие выразители искусства и науки.

2. Учитель математики:

-Покажем родственность математики и музыки, которые ещё в средние века считались основой светского образования в университетах; («квадривиум» -курс, состоящий из четырёх предметов: музыки, арифметики, геометрии и астрономии). Поговорим о древнегреческом ученом, исследователе и философе-Пифагоре. Подробнее остановимся на одной из областей его учения -гармонии звука.

1. Учитель музыки:

-Послушайте фрагмент темы «Финала 9 симфонии» Л.-ван Бетховена - «Ода «К радости» на слова И. Шиллера, нотную запись которой вы видите на доске.

Звучит мелодия.

Учитель музыки проводит свою часть урока. Дает краткую справку по истории нотации и элементарной теории музыки.

2. Учитель математики:

- Наверное, найдётся немного таких имён, что упоминаются в самых различных областях человеческой культуры (науки, искусства, религии), имен, что вот уже много веков вызывают такой живой интерес и столько споров, имен, что скрывают столько тайн, как имя - ПИФАГОР.

1. Ученик:

Этого крепкого юношу с упрямой шеей и коротким носом, настоящего драчуна, судьи одной из первых в истории олимпиад не хотели допускать к соревнованиям, укоряли маленьким ростом. Он пробился и победил всех противников.

2. Ученик:

Вся жизнь его - легенда. Чего только не рассказывали о нём! Говорили, например, что у него бедро из золота, что он обладает чудесной способностью одновременно находиться в разных местах, предсказывать землетрясения, «вызывать затмение» солнца, при помощи цифр изгонять болезнь.

3. Ученик:

Очень мало мы знаем о жизни Пифагора. Он родился в VI веке до нашей эры на греческом острове Самос. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Целые дни проводил юный Пифагор у ног учителя старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзатетрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь.

4. Ученик:

Меньше пяти километров голубой воды залива Кумада отделяло остров от берегов Малой Азии. Пифагор видел в тёплой дымке ясных дней желтые дороги, бегущие по большой земле в большой мир. Они звали его и он пошел к ним.

5. Ученик:

Совсем юным покинул родину молодой сын Мнезарха- Пифагор. Он много путешествовал: жил в Египте, Вавилоне, побывал даже в далёкой Индии. Потом поселился на юге нынешней Италии, где основал общество философов - пифагорейский союз.

6. Ученик:

Это была тайная организация, попасть в которую могли лишь молодые аристократы, выдержавшие труднейшие испытания. Новички, например, должны были дать обет пятилетнего молчания. До того как их «души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел», они не имели права видеть учителя, а могли лишь внимать его голосу, находясь за занавесом.

7. Ученик:

... Лёгкие хитоны, звуки свирели, тихие голоса среди цветущих деревьев. Уроки начинались утром. Чередуясь с отдыхом, длились подолгу. В школе Пифагора изучалось многое. Но выделялось два направления - «математиков» и «акусматиков» (акусмы - изречения, своеобразные предписания)

8. Ученик:

Первый вид акусмы отвечает на вопрос: что это?

-Что такое острова блаженных?

-Солнце и Луна

-Что такое Дельфийское святилище?

-Тетрактида, то-есть гармония сирен

-Что такое планеты?

-Псы Персефоны

-Что такое море?

-Слёзы Кроноса

9. Ученик:

Второй вид отвечает на вопрос: Что самое (лучшее, мудрое)?

-Что самое прекрасное?

-Гармония

-Что самое мудрое?

-Число

-Что самое сильное?

-Разум

-Что самое красивое среди тел и фигур?

-Шар и круг

10. Ученик:

Третий вид говорит о том, что следует и чего не следует делать.

Для всех - и высших и низших - у Пифагора было мудрое изречение: «Следует избегать всеми средствами, отсекая огнём и мечом и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежества, от желудка -излишества, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе неумеренность».

11. Ученик:

Все эти взгляды помогают лучше понять «числовое» строение мира по Пифагору». В основе Пифагорейской медицины лежали диетика, определявшая характер и дозировку пищи и учившая правильному чередованию работы и отдыха, и музыка, в целительную силу которой твердо верили в школе Пифагора. Аристоксен писал: «Пифагорейцы использовали медицину для очищения тела и музыку для очищения души».

Пифагорейцы впервые применяли музыку для лечения различных болезней (прежде всего душевных). Даже занятия у них сопровождались мелодией в определённом ритме. И именно этот ритм (числовые вибрации) - ещё одна тайна Пифагора.

12. Ученик:

... Однажды он увидел молодых людей, которые неиствовали под влиянием опьянения, «так, что ничем не отличались от безумных». Пифагор дал совет сопровождающему их флейтисту исполнять мелодию в определённом такте. Юноши внезапно перешли в разумное состояние, как если бы были трезвыми с самого начала.

13. Ученик:

Можно конкретно очертить круг математических проблем, к которым был «причастен» Учитель: теория пропорций, учение о четных и нечетных числах, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике, метод определения «Пифагоровых троек» и построение многогранников, связь математики с музыкой, астрономией (учение о небесной гармонии), медициной.

14. Ученик:

Перейдём к учению о числе.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейцев особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл.

Считали, что единица обозначает дух, из которого происходит весь видимый мир. Это разум, счастье, гармония. И вместе с тем - материя, тьма, хаос.

Два - контраст.

Цифру 3 пифагорейцы считали первым настоящим числом, ибо оно имеет начало, середину и конец.

15. Ученик:

4 = (3+1) - знак всего известного и неизвестного. Четверицу - тетраду они боготворили. Считали ее неиссякаемым источником природы и даже клялись словом «тетрайтос». Это четыре высшие науки, «четвертые врата» познания: арифметика, геометрия, музыка и астрономия.

Число «4», как и любое квадратное число у пифагорейцев было символом равенства, справедливости.

Пятиконечная звезда (5) была символом мудрецов и математиков пифагорейской школы.

16. Ученик:

10 (тетраду) пифагорейцы изображали числом 1+2+3+4=10. Однажды Пифагор попросил ученика посчитать. Как только тот произнёс

-1,2,3,4 ..., он перебил его

-Видишь, - сказал учитель, то, что ты называешь четырьмя, есть не что
иное как 10, совершенный треугольник и клятва наша.

А «36» - было наивысшей клятвой пифагорейцев. Это сумма кубов первых натуральных чисел (1³+2³+3³=36) - символ мира и трёхмерного пространства.

Теория музыки

17. Ученик:

К математическим наукам пифагорейцы относили ... и музыку. Они установили, что высота звучания струны зависит от её длины, то-есть опять же от числа! И создали первую математическую теорию музыки.

f = ; f - высота тона

(частота колебаний f обратно пропорционально ее длине l).

а - коэффициент пропорциональности, зависит от физических свойств струны.

Учитель математики:

Рассмотрим классические средние значения, составленные из двух положительных чисел а и b

- среднее арифметическое чисел а и b

- среднее геометрическое чисел а и b

- среднее гармоническое чисел а и b (имеет касательство к музыке)

Заметим, что

а) Среднее гармоническое равно отношению квадрата среднего геометрического к среднему арифметическому.

б) Число, обратное среднему гармоническому

= (+), есть среднее арифметическое чисел, обратных числам a и b.

Эти средние играли большую роль в древнегреческой теории музыки.

а ; ; b - арифметическая прогрессия

а; ; b - геометрическая прогрессия

а; ; b -?

Пусть а =; b =; n N, тогда

=====

;;;… гармоническая последовательность.

1++++ … ++ … (n N)-гармонический ряд.

Каждый член этого ряда есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим его членами. Одна из особенностей этого ряда состоит в том, что отношения соседних членов ряда характеризуют музыкальные интервалы.

Если колеблющаяся струна длины l даёт некоторый определённый тон, например звучит как «до», то струна длины (: 1)l = l даёт верхнюю октаву для этого тона; струна длины ( : )l = l - квинту, то-есть звучит как «соль»; струна длины ( : )l = l - верхнюю кварту (до-фа); струна длины ( : )l - большую терцию (до-ми); струна длины ( : )l - малую терцию (до-ми бемоль).

Пифагор установил, что вместе со струной длиной 12l, созвучно сливаясь с ней, звучат струны того же натяжения с длинами 6l (выше на октаву), 8l и 9l (выше на квинту и кварту), при этом 9 есть среднее арифметическое чисел 6 и 12, а 8 он определил как среднее гармоническое этих чисел.

Это созвучие (и определяющее его отношение чисел 6,8,9,12.) называлось тетрадой («та гамма, по которой поют сирены»).

Итак, приятные слуху созвучия, в музыке совершенные консонансы, получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки относятся как целые числа. Эти интервалы позже получим названия по латинским числительным, которые указывают порядковый номер ступени звукоряда, составляющий интервал с исходной ступенью. Октава - восьмая, квинта - пятая, кварта - четвертая (октава -; квинта - ; кварта ).

Решим задачу:

Зная частоту колебания струны одной ноты («ля» первой октавы а₁ - 440Гц), обратно пропорциональную зависимость между частотой колебания и длиной струны, а также то, что струна каждой 12-й клавиши (октава) вправо по клавиатуре в два раза короче, а каждая 7-я (квинта) имеет соотношение , определить частоту колебания струн для всех остальных нот, необходимых для записи предложенной мелодии.

(Учащимся в качестве пособия для практической работы была выдана схема фортепианной клавиатуры с записью нот)

В результате вычислений получается следующая таблица.

Нота

Соотношение по частоте

Частота колебаний (Гц)

a₁

=

440

e₁

=

330

d₁

=

293

f^# ₁

=

371

g₁

=

387

Вычисления:

1. a===220;

2. e₁ =₌=330;

3. d₁ ===293;

4. e₁-b₁-f^#₂-f^#₁; =; =; =; **=; =;

5. f^# ₁ ==371;

6. d₁-d₂-g₁; =; =; =; g1==387;

Мелодическую линию характеризуют два основных параметра: высота тона (частота колебания) и длительность, что позволяет изобразить её на координатной плоскости.

На оси ординат откладываем значения частоты колебания, на оси абсцисс - длительности в долях.

В качестве доли (единичного отрезка по оси абсцисс) взята четверть, как преобладающая длительность в данном фрагменте. Лишь координата 14-ой ноты за счёт увеличения в 1,5 раза длительности 13-ой ноты расположена на половину единичного отрезка правее 14-ой отметки.

Нетрудно заметить (что и сделали сами учащиеся), что вид построен­ной кривой аналогичен фрагменту, записанному в традиционной нотной за­писи. И действительно, если, для большей наглядности, соединить нотные знаки, то характеристики линии мелодии и построенного графи­ка совпадают. Отличаются кривые лишь растяжением вдоль оси ординат, что зависит от выбора единичного отрезка по данной оси.

Используя эти музыкальные характеристики как параметры соответствующих команд можно воспроизвести эту мелодию с помощью компьютера.

Учитель музыки:

Пифагорейцы были трудолюбивы и аскетичны. Вот их моральные заповеди, изложенные в «Золотых стихах» Пифагора.

"Золотые стихи" содержат в себе ту часть эзотерического учения Пифаго­ра, которую он и его последователи признали открыть непосвящённым. Лизий, его ученик, после разгрома пифагорейских общин в Великой Греции, принёс эти стихи с собой в Элладу, где завещал своим единомышленникам читать их ежедневно утром и вечером. О том, что правило это соблюдалось у пифагорейцев в течение целого ряда веков, мы узнаём от Цицерона, Горация, Сенеки, Галиена и других древних писателей. Сохранились они для нас це­ликом в комментариях Гиероклеса, а также в отрывках у классиков и отцов Церкви. Сообразно трём степеням посвящения в пифагорейской школе, стихи эти разделялись на три части: "Приготовление", "Очищение, "Совершенство­вание"

Учащиеся в костюмах читают «Золотые стихи» Пифагора. (Приложение 1)

В заключение урока учащиеся на английском языке поют гимн Европейского сообщества, написанный на мелодию финала 9 симфонии Бетховена. (Приложение 2)

Итог урока:

Рассмотрели связь между математикой и музыкой. Поговорили о древнегреческом ученом Пифагоре, о пифагорейской школе, и созданной им древнегреческой теории музыки, основанной на математических отношениях чисел.

Приложение 1

ПРИГОТОВЛЕНИЕ

Должен бессмертным богам ты жертву воздать непременно;

Веру свою сохранять; память чтить древних героев;

Духам земным воздавать должное им поклоненье.

ОЧИЩЕНИЕ

Мать и отца уважай вместе с родными по крови.

Другом себе избери истинно-мудрого мужа;

Слушай советов его, следуй его ты примеру;

Из-за ничтожных причин с ним никогда ты не ссорься,

Если в твоей это власти, ибо закон непреложный

Тесно связует возможность с необходимостью вместе.

Страсти свои побороть свыше дана тебе сила,

Так обуздай же в себе мощным усилием воли

Алчную жадность и лень, похоть и гнев безрассудный.

Равно один и при людях бойся дурного поступка;

Больше всего же стыдиться должен ты сам пред собою.

Будь справедлив и в словах, также в поступках своих,

Следуя в них непреклонно зову ума и закона.

Помни, что рок неизбежный к смерти людей всех приводит,

Помни, что блага земные с лёгкостью людям даются,

Также легко исчезают. Что же касается горя,

Данного людям судьбою,- должен его ты с терпеньем

Кротким сносить, но при этом сколько возможно стараться

Горечь его облегчать: ибо бессмертные боги

Мудрых людей не подвергнут выше их силы страданью.

Много путей существует ходу людских рассуждений;

Много меж ними дурных, много и добрых, но прежде

Нужно в них зорко вглядеться, выбрать из них настоящий.

Если же в мире возьмёт верх заблужденье над правдой,

Мудрый отходит и ждёт истины вновь воцаренья.

Слушай внимательно то, что я скажу тебе. Помни:

Да не смущают тебя мысли, поступки чужие;

Да не побудят тебя к вредным словам и деяньям.

Слушай советы людей, сам размышляй неустанно,

Ибо безумный лишь может действовать без рассужденья.

Делай лишь то, что потом в горе тебя не повергнет

И не послужит причиной поздних раскаяний горьких.

За неизвестное дело ты не дерзай приниматься,

Но научися ему; этим ты счастья достигнешь.

Но изнурять ты не должен тело своё, а стараться

Пищи, питья, упражнений в меру давать ему, дабы

Тело твоё укрепилось, лени не зная, излишеств.

В жизни своей соблюдай, сколько возможно, порядок,

Роскошь во всём изгони, ибо она возбуждает

Зависть людей неизбежно. Бойся скупым быть излишне,

Бойся добро расточать тем, кто не знает работы.

Делай лишь то, что тебя ни теперь, ни потом не погубит

И потому обсуждай каждый свой шаг и поступок.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ

Да на сомкнёт тихий сон вежды твои отягченные,

Раньше, чем трижды не вспомнишь мысли, поступки свои.

Как беспристрастный судья их разбери, вопрошая:

"Доброго что совершил я? Должное что не исполнил?"

Так проверяй по порядку всё, что с утра и до ночи

Сделал ты в день - и за всё, что сделано было дурного

Строго себя обличай.

Пользуйся сим наставленьем; думай над ним непрестанно

И постарайся к нему ты привязаться всем сердцем,

В этом клянусь Тем, Кто вложил в душу людскую Тетраду,

Символ божественной сущности и добродетели высшей;

Но принимаясь за дело прежде к богам обратися

С жаркой молитвою, дабы с помощью их ты окончил

Дело своё; а когда ты на пути укрепишься,

Всё о бессмертных богах, также о людях узнаешь;

О разделеньи существ; о Том, Кто в Себе их содержит,

Цепью единой скрепляя; также о том, что Природа

Мира сего однородна, в Вечном же мёртвого нет.

Это познав, ты надеждой тщетной себя не обманешь, -

Всё тебе будет открыто.

Будешь ты знать ещё то, что люди свои все несчастья

Сами своею виною всё на себя навлекают,

И выбирает свободно каждый свои испытанья.

Горе несчастным! В своей глупой не зрят слепоте

Люди, что в их глубине скрыто желанное счастье.

Очень немного меж нами тех, что усилием могут

Сбросить несчастье с себя, ибо их Рок ослепляет:

Словно колёса они катятся с гор, за собою

Горестей бремя влача, распрей, что с ними родятся,

Их управляя судьбою тихо, до самой кончины.

Вместо того, чтоб искать ссоры, где только возможно,

Люди должны избегать их, уступая без спора.

Отче Зевес всемогущий! Ты один в силах избавить

Род весь людской от несчастья, Демона им показавши,

Что ослепляет их очи. Всё же не должен надежду

Ты покидать на спасенье, ибо божественен корень

Рода людского и тайны Боги ему открывают.

Если же в них ты проникнешь, скоро окончить ты сможешь

То, что тебе предписал я. Так излечив свою душу,

Будешь вполне ты свободен от этих работ над собою.

Но воздержися от мяса, кое мешает природе

При очищеньи твоём. Если же хочешь избавить

Душу твою от земного, то руководствуйся свыше

Данным тебе пониманьем. Пусть оно правит судьбою!

После того как очистишь душу свою совершенно,

Станешь ты Богом бессмертным, смерть раздавившим стопою.

Приложение 2

SONG OF JOY

Come sing a song of joy

For peace shall come my brother.

Sing, sing a song of joy

For man shall love each other.

That day will long just assure

As hearts there are pure our hearts sat free.

No man are staying alone

Withant stretch hands before me.

Reach out and take them in yours

With love thatendures forever more.

Then sing a song of joy

For love and understanding.

Come sing a song of joy, Of freedom tell the story. Sing, sing a song of joy For mankind in his glory.

One mighty voice that will bring

A song that will ring forever more.

Then sing a song of joy

For love and understanding.

One mighty voice that will bring

A song that will ring forever more.

Sing, sing a song of joy

For mankind in his glory.