Урок математики в 9 классе 'Решение текстовых задач'

Урок математики

по теме:

«Решение текстовых задач»

Подготовила

Полякова Ольга Николаевна,

учитель математики

МОУ «СОШ № 4»

г.Печора Республика Коми

2014 год

Тема: «Решение задач» (9 класс)

Цели урока:

• обобщить знания и умения учащихся при решении задач составлением уравнений и систем уравнений, нестандартных задач, уравнений в целых числах;

• развивать у учащихся логическое мышление, навыки исследовательской и самостоятельной работы, культуру математической речи.

Ход урока

2. Язык алгебры - уравнения. «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический» - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика». Как именно выполняется такой перевод с родного языка на алгебраический? Рассмотрим следующую задачу.

3. Задача 1. История сохранила нам мало фактов биографии замечательного древнего математика Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице - надписи, составленной в форме математической задачи. Рассмотрим эту надпись.

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать

Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.

Часть шестую его представляло прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла еще жизни - покрылся

Пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном

Браке провел Диофант.

Прошло пятилетие; он

Был осчастливен рожденьем прекрасного первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

И в печали глубокой

Старец земного удела конец восприял, переживши

Года четыре с тех пор, как сына лишился.

Скажи, сколько лет жизни достигнув,

Смерть восприял Диофант?

4.Идет совместное обсуждение решения задачи: учащиеся читают каждую строку в левом столбце и переводят совместно с учителем прочитанное на язык алгебры. Через компьютер идет заполнение правой части таблицы. За неизвестное принимают все годы жизни Диофанта. В результате получается следующая таблица.

• Решив уравнение в тетрадях, учащиеся получают, что х = 84.

На родном языке

На языке алгебры

Путник! Здесь прах погребен Диофанта.

И числа поведать

Могут, о чудо, сколь дологбыл век его жизни.

х

Часть шестую его представлялопрекрасное детство.

х/6

Двенадцатая часть протеклаеще жизни - покрылся Пухом тогда подбородок.

х/12

Седьмую в бездетном Браке провел Диофант.

х/7

Прошло пятилетие; он

Был осчастливен рожденьемпрекрасного первенца сына,

5

Коему рок половину лишьжизни прекрасной и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом.

х/2

И в печали глубокой

Старец земного удела конецвосприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился.

х = х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2+ 4

Скажи, сколько лет жизни

достигнув,

Смерть восприял Диофант?

х = 84

5.Какие интересные биографические факты мы узнали о Диофанте, решив задачу?

Ученики. Он женился в 21 год, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер, прожив 84 года.

Рассмотрим еще одну несложную старинную задачу, которую можно легко перевести с родного языка на язык алгебры.

6.Задача 2. Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу.

- Чего ты жалуешься? - отвечал ей мул. - Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты взяла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей.

Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?

Учащиеся самостоятельно в тетрадях решают задачу, заполняя сначала левый столбец таблицы (записывают задачу на родном языке), а затем, на втором этапе решения заполняют правый столбец таблицы (переводят задачу на язык алгебры). Проверка осуществляется по этапам через компьютер, проектор.

7.В результате у учащихся должна получиться следующая таблица.

На родном языке

На языке алгебры

Если я возьму у тебя один мешок,

х-1

ноша моя

у + 1

станет вдвое тяжелее твоей.

у+ 1 = 2(х-1)

А вот если бы ты взяла с моей спины один мешок,

у - 1

твоя поклажа

х+1

стала бы одинакова с моей.

у-1=х+1

После проверки правильности заполнения таблицы учащиеся решают систему уравнений с двумя неизвестными

Решив ее, находим: х = 5, у = 7.

Ответ: лошадь несла 5 мешков и 7 мешков нес мул.

8. Рассмотрим нестандартную задачу, которую можно решить, не переводя ее на язык алгебры, так как «она совсем не алгебраическая, а арифметическая и притом крайне простая, затрудняющая только своей нешаблонной формой» - так об этой задаче говорил профессор, известный физик А.В. Цингер. А придумал задачу писатель JI.H. Толстой.

Задача 3. Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

9.Давайте сделаем чертеж к этой задаче и проведем анализ условия. Если большой луг полдня косила вся артель и полдня пол-артели, то какую часть луга заполдня скашивает пол-артели?

1/3

1/3

1/6

1/3

1/3

Ученики. Пол-артелизаполдня скашивает 1/3 луга.

Значит, как на чертеже можно изобразить работу косцов?

Ученики. Значит, один косец в день скашивает 1/6 луга, так как на малом лугу остался нескошенным участок в ½ - 1/3 = 1/6 луга. Можно посчитать, сколько всего было косцов: 1/6 луга за день скашивает один косец, было скошено за день 6/6 + 1/3 = 6/6 + 2/6 = 8/6

Ответ: в артели было 8 косцов.

10. Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, что такие случаи бывают. Рассмотрим следующую задачу.

Задача 4. Однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

• Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

• Уж сколько раствора испортили из-за этого! - добавил другой.

• В чем задача? - осведомился я.

• У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%-й и 3%-й. Нужно их смешать так, чтобы составился 12%-й раствор. Не можем подыскать правильной пропорции...

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

11. Задачу можно решить и арифметически, но язык алгебры приводит к цели проще и быстрее. Давайте введем неизвестные величины. За х граммов возьмем количество требуемого 3%-го раствора, а зауграммов количество требуемого 30%-го раствора. Тогда к какому уравнению мы придем?

Так как требуется х граммов 3%-го- раствора, то в первой порции будет содержаться 0,03х граммов чистой перекиси водорода,а в у граммов 30%-го раствора чистой перекиси будет 0,3у, а всего 0,3у + 0,03х.

В результате получается (х + у) граммов раствора, в котором перекиси должно быть 0,12(х + у). Составляем уравнение 0,03х + 0,3у=0,12(х + у).

Решая его, находим х = 2у. Таким образом, 3%-го раствора надо взять вдвое больше, чем 30%-го.

12. Решим задачу на движение.

Задача 5. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч и возвратился со скоростью 40 км/ч. Какова была средняя скорость его езды?

(Обманчивая простота задачи вводит многих в заблуждение.Поэтому обычно ученики предлагают следующее решение.)

Ученик. Средняя скорость есть среднее арифметическое между скоростями туда и обратно, то есть

V_ср. = = 50

- Это простое решение было бы правильным, если бы поездка в одну сторону и в обратном направлении длилась одинаковое время. Но ясно, что обратная поездка (с меньшей скоростью) должна была отнять больше времени, чем езда туда. Учтя это, мы поймем, что ответ 50 км/ч найден неверно. Давайте найдем другое решение. Введем неизвестные величины. Какие?

13. Нам неизвестно расстояние между городами s, среднюю скорость движения обозначим v.

Давайте попытаемся составить уравнение на время.

- время движения туда, - времядвижения обратно, + - общее время туда и обратно, - время движения туда и обратно со средней скоростью.А так как общее время и время движения со средней скоростью одинаково, можно составить и решить уравнение:

= +

Мы получили уравнение с двумя неизвестными. Можно ли это уравнение разделить на s?

Да, так какsне равно нулю. Получаем уравнение

= +

Решая его, находимv= 48.

Ответ:средняя скорость движения 48 км/ч.

Учитель. Если бы мы решали задачу в буквенных обозначениях (туда автомобиль ехал со скоростью а километров в час, обратно - со скоростью b километров в час), то получили бы уравнение = + . Сократим это уравнение наsи выразимv.Получим:

v =

Эта величина называется средним гармоническим для величин а иb.

Итак, средняя скорость движения выражается не средним арифметическим, а средним гармоническим скоростей движения. Для положительных неравных величин а иbсреднее гармоническое всегда меньше,чем среднее арифметическое:

<

Перейдем к рассмотрению следующей задачи.

14. Стороны прямоугольника выражаются целыми числами. Какой длины должны они быть, чтобы периметр прямоугольника равнялся его площади?

Решим задачу алгебраически, применяя ваши умения в решении уравнений в целых числах. Подумайте, какое уравнение можно составить, исходя из условия задачи.

15.Итак, пусть стороны прямоугольника х и у. Так как периметр равен 2(х + у), а площадьху и по условию задачи они равны, получаем уравнение 2(х + у) = ху.

Выразим х через у.

Ученик(работа у доски).

x = = = = + = 2 +

Учитель. Стороны прямоугольника - целые числа. Какое должно выполняться условие, чтобы х было целым числом?

Ученик. Так как х должно быть целым числом и это сторона прямоугольника, то выражение должнобыть натуральным. Значит,

если у - 2 = 4, то у = 6, х = 3; если у - 2 = 2, то у = 4, х = 4; если у - 2 = 1, то у = 3, х = 6.

Больше вариантов нет. То есть мы получаем либо прямоугольник со сторонами 3 и 6, либо квадрат со стороной 4.

Задача 7. Коровы на лугу. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров - в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?

При обсуждении этой задачи ребята, как правило, всегда ошибочно излагают ход решения, не учитывая, что трава все время растет, и в итоге приходят к нелепым ответам.

Решение. Введем вспомогательное неизвестное. Пусть в сутки прирастает у травы, общий запас примем за 1, а количество коров обозначим за х. Составим таблицу.

Кол-во

Съедают

Съедают

Съедает за сутки одна корова

коров

за 24 дня

за сутки

70 коров

24у + 1

(24у +1): 24

30 коров

60у + 1

(60у + 1): 60

Поскольку количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково, то составим и решим уравнение:

=

у =(прирастает на лугу травы за одни сутки). Найдем, сколько травы за сутки съедает одна корова:

= =

Составим таблицу.

Кол-во коров

Съедают за 96 дней

Съедают за сутки

Съедает за сутки одна корова

х коров

96 * + 1 = 1,2

1,2 : 96

1,2 : (96х)

Поскольку количество травы, съедаемое коровой за сутки, для всех стад одинаково, то составим и решим уравнение:

1,2 : (96х) = 1 : 1600,

96х = 1,2 * 1600,

96х = 1920,

х = 20.

Ответ: 20 коров поели бы всю траву за 96 дней.

Учитель. Итак, давайте подведем итог нашей работе. Интересными ли были задачи, решенные на уроке? Понравились ли они вам? Трудны ли они были в решении и понимании? Узнали ли вы что-то новое сегодня на уроке? А знаете ли вы, что все рассматриваемые нами задачи были задачами одного автора - Якова Исидоровича Перельмана? (На экране портрет Я. И. Перельмана.)

16.Сегодня на уроке мы решали задачи из книги Якова Исидоровича Перельмана «Занимательная алгебра». Попробуйте дома найти и прорешатьзадачи Я.И. Перельмана на отгадывание чисел и разобраться, в чем кроется секрет в этих задачах.

Занимательно обо всем

Не может быть, чтобы вам ни разу не попалась на глаза хоть какая- нибудь из книг Якова Исидоровича Перельмана. Названия многих из них звучат даже немного вызывающе: «Занимательная арифметика» или «Живая математика»! Казалось бы, что может быть занимательного в арифметике? Но давайте посмотрим на числовую «пирамиду».

1 х9 + 2 = 11

12x9 + 3=111

123x9 + 4=1111

1234x9 + 5=11111

12345x9 + 6 = 111111

123456x9 +7= 1111111

1234567x9 + 8 = 11111111

12345678x9 + 9 = 111111111

Трудно поверить, но все эти равенства верные! Однако если мы заметим, что для умножения целого числа на 9, достаточно приписать к нему справа 0 и из полученного числа вычесть исходное, то легко поймем, как и почему все эти равенства получаются.

Кажется, Перельман может найти неожиданные и интересные свойства чуть ли не у каждого числа. Например, число 365 - количество дней в году, чем оно еще может быть примечательно? Оказывается, его можно представить как сумму квадратов двух последовательных чисел: 365=13² + 14², но этого мало,его можно представить и как сумму квадратов трех последовательных чисел (подумайте, как)!

Такие красивые наблюдения встречаются в книгах Перельмана буквально на каждом шагу. Но он писал не только о математике, его интересовали физика, механика, астрономия... Всего им написано более 80 научно-популярных книг и 18 школьных учебников и учебных пособий, многие из них заслуженно переиздаются уже более полувека.

Певец математики, бард физики

Кем же был человек, чьи книги разошлись по всему миру в миллионах экземпляров и продолжают служить людям, несмотря на то, что наука за эти годы ушла далеко вперед, да и школьники нынешние мало напоминают своих сверстников дореволюционных или даже довоенных лет?

Яков Исидорович Перельман родился 22 ноября 1882 года в г. Белосток Гродненской губернии. |

Свою первую научно-популярную статью он опубликовал в 1899 году, будучи еще учеником реального училища. Статья называлась «По поводу ожидаемого огненного дождя». Дело в том, что осенью 1899 года ожидалось пересечение траектории Земли с метеоритными потоками, и пошли разговоры о том, что «огненные дожди», которые при этом возникают, служат предвестниками конца света. Семнадцатилетний автор основательно поработал над обоснованием ложности утверждения: прочел не одну книгу по астрономии, провел самостоятельные расчеты, и смог убедительно показать, что «огненный дождь» не страшнее увеселительного фейерверка. Эти черты - основательная научная подготовка, красивые расчеты и умение взглянуть на предмет с неожиданной стороны - сохранились в творчестве Перельмана на всю жизнь.

После окончания училища в 1901 году Перельман поступил в Санкт-Петербургский императорский Лесной институт. Институт давал очень солидное общее образование, Перельман учился со всей добросовестностью, очень много читал сверх обязательной программы. Еще учась в институте, он начал сотрудничать с журналом «Природа и люди», где публиковал научно-популярные очерки. К моменту окончания института он был автором десятков научно-популярных очерков, статей и заметок. Популяризация науки и стала главным делом его жизни.

Живая математика

«Мы рано перестаем удивляться, рано утрачиваем драгоценную способность, которая побуждает интересоваться вещами, не затрагивающими непосредственно нашего существования. То, что живо занимало нас, когда нам "были новы все впечатленья бытия", перестает привлекать внимание, становясь привычным. Вода была бы, без сомнения, самым удивительным веществом в природе, а Луна - наиболее поразительным зрелищем на небе, если бы то и другое не попадалось на глаза слишком часто», - писал Я.И. Перельман в статье «Что такое занимательная наука». И всю жизнь он работал для того, чтобы помочь своим читателям снова испытать это удивление и восхищение.

Познакомьтесь с некоторыми задачами из книг Перельмана - и вы, наверное, почувствуете, почему его книжки так долго остаются актуальными и интересными.

1.Существует мнение, что стол о трех ногах никогда не качается, даже если ножки его и неравной длины. Верно ли это?

2.Говорят, каждый десятый мужчина на Руси - Иван, а каждый двадцатый - Петр. Если это верно, то попробуйте сосчитать, кого же на Руси больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

3.Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 5 человек.

4.Если бы мы могли обойти земной шар по экватору, то макушка нашей головы описала бы более длинный путь, чем наши ступни. Как велика эта разница?

5.Какое самое большое число можно записать четырьмя единицами?

6.Четырьмя разными способами выразите число 100 пятью одинаковыми цифрами.

7.Расстояние от Казани до Астрахани пароход преодолевает за 4 суток и 8 часов, а обратный путь - за6 суток и 12 часов. А сколько времени понадобится плоту, чтобы пройти по Волге то же расстояние?

8.Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире, какая кружка вместительнее?

Дом занимательной науки

В 1930-е годы по инициативе и под руководством Я.И. Перельмана в Ленинграде был создан один из первых в мире научно-популярных музеев - Дом занимательной науки (поначалу - Павильон занимательной науки

Сейчас подобные музеи действуют во многих странах, но тогда это было совершенно новое дело. Самым непривычным в этом музее было то, что почти все экспонаты двигались, звучали, одним словом, работали, а посетителям разрешалось не только рассматривать их, но и трогать, вмешиваться в их работу, ставить собственные эксперименты.

Чудеса в музее начинались прямо от входа: в фойе работал удивительный буфет. В нем горячий чай наливали из посуды, стоявшей в битом льду, а ложечка, которой мешали этот чай, таяла быстрее сахара... Одним из экспонатов музея был его потолок: его украшал ровно миллион ярких желтых кружочков. А чтобы подчеркнуть, как это много (целый миллион!), в центре потолка была выделена область, количество кружочков в которой было равно числу звезд, видимых на небе невооруженным глазом (около 2500).

За первый же месяц работы музей посетило более 30 тысяч человек, и он быстро стал одним из любимых мест ленинградских школьников. К лету 1941 года количество посетителей превысило полмиллиона.

Когда началась война, Яков Исидорович отказался уезжать из осажденного Ленинграда, он читал лекции для красноармейцев и ополченцев, а также для партизан, готовившихся для борьбы в тылу врага. К сожалению, за время блокады почти все экспонаты музея погибли. Не пережил страшную блокадную зиму и сам создатель музея, - 16 марта 1942 года Яков Исидорович умер от истощения в блокадном Ленинграде.

Книги Я.И. Перельмана

1.Веселые задачи.

2.Живая математика.

3.Занимательная алгебра.

4.Занимательная арифметика.

5.Занимательная астрономия.

6.Занимательная геометрия.

Литература:

1.Газета «математика», приложение к 1 сентября, № 22, 2007 год.