Доклад на тему: 'МЕКТЕПТЕ МАТЕМАТИКА ПӘНІН ОҚЫТУДА ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІ ҮЙРЕТУДІҢ ОҢТАЙЛЫ ЖОЛДАРЫ'

МЕКТЕПТЕ МАТЕМАТИКА ПӘНІН ОҚЫТУДА ТЕҢСІЗДІКТЕР МЕН ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІ ҮЙРЕТУДІҢ ОҢТАЙЛЫ ЖОЛДАРЫ

Еліміздің білім беру жүйесі заман талабына сай дамып келеді.

Қазіргі уақытта Қазақстанда білім берудің өзіндік ұлттық үлгісі қалыптасуда. Сондай-ақ дүниежүзілік тәжірибеде өзін ақтаған инновациялық технологиялар да білім беру жүйесіне кеңінен енгізілуде.

Дүниежүзілік деңгейде қолданылып жүрген жаңа технологиялардың бірі деңгейлеп-саралап оқыту технологиясы елімізде 1998-1999 оқу жылдарынан бастап мектептің барлық сатысына, барлық пәндерге енгізілді. Әлемдік тәжірибеге сүйенсек, оқушыларды саралап оқыту Америкада (АҚШ) бастауыш сыныптарда, ал Жапония мен Франция елдерінде ортаңғы және жоғарғы сыныптарда жүзеге асырылады. Негізінен деңгейлеп-саралап оқыту түсінігі өз бастауын латынның «дифференция», қазақшасы «әртүрлілік, өзгешелік, айырмашылық» сөздерінен алады.

Қазіргі жаһандану заманында адамдардың білімі мен біліктілігі мемлекеттердің бәсекеге қабілетттілігінің ең маңызды көрсеткішіне айналды. Елбасымыз Жолдауында «ұлттық бәсекелестіктің қабілеті бірінші кезекте оның білімділік деңгейімен айқындалады» деп атап өтті.

Оқушылар теңсіздіктерге қарағанда теңдеулерді оңайырақ шешеді.

Алайда, кейбір жағдайларда олар теңдеулердің түбірлерін жоғалтып алуы, немесе бөгде түбірлер шығарып алады. Бұл мәселе теңдеулердің теңшамалығына, не болмаса анықталу аймағына жете көңіл аудармаудан болады. Мысалға, мынадай теңдеуді шешіп көрсетейік:

log₂x² - log₂(x - 5)² = log ₂36 (1)

Шешуі: логарифмнің қасиеттерін пайдаланып мынадай теңдеу аламыз:

х²(x-5)² = 36 будан х(x-5)=  6. Осы екі лвадрат теңдеулерден 4 түбір табылады: x₁= - 1, x₂ =2, x₃ =3, x₄ =6. Демек, (1)- теңдеудің 4 түрі бар екен.

Ал егерде ол теңдеуді былай шешсек:

2log₂ x - 2log₂(x - 5) = 2log₂6 (2),

бұны 2-ге кыскартып x(x-5)=6, яғни x₁=-1, x₂=6 болатын екі түбір ғана табамыз.

Олай болса (1) теңдеуді түрлендіріп (2) -түрге келтіргенде, теңшамалық талабы бұзылып, түбірлерінің кейбіреуін жоғалтып аламыз.

Енді мындай теңдеуді қарастырайық:

Мұны екі қайтара квадраттап, ықшамдағанда мынадай квадрат теңдеу шыгады:

5x² - 94x +345=0, ал түбірлері x₁ = 5, x₂ = 13,8 болады.

Бұл сандарды берілген тендеуге қойып тексергенде екіншісі оны қанағаттандырмайтынын айтқан. Өкінішке орай талапкерлер тексеруді мүлдем орындамайды, немесе ол мәндерді кейінгі теңдеулердің біреуіне қойып тексереді. Атап айтқанда, бұл екі сан квадрат теңдеуді қанағаттандырады, және берілген иррационал, яғни

ке бұл түбірлердің екеуіде кіреді, бірақ та екіншісі бөгде түбір болып табылады. Не себепті бұлай болады, соны анықтап көрейік.

Ол үшін теңдеулердің таңшамалығына былайша талдау жасау өте қажет:

а) берілген теңдеуді 1-рет квадраттап, ұқсас мүшелерін келтірген

соң мынадай теңдеу аламыз:

x₁=5 бұл теңдеудің түбірі болады, aл x=13,8 болмайды. Демек,

1-ретке түрендіру нәтижесінде біз мынадай теңшамалы теңдеуге келеміз:

ә) екінші рет квадраттау мына теңдеуге келтіреді:

5x² - 94x +345 =0,

(2) ал x₁= 5 пен x₂= 13,8 екеуі де осы теңдеудің түрлері. Олай болса,

(2)-теңдеу берілген теңдеумен теңшамалы емес, яғни оның салдары ғана. Сондықтан < = > таңбаның орнына = > таңбаны қойып оны былай жаза аламыз:

 5x² - 94x +345=0,

Бөгде түбірлер берілген бастапқы теңдеуге қойып тексеру арқылы оңай анықталады. Ал түбірлерді жоғалтып алуды анықтау одан әлде қайда қиындау.

Келтірілген мысалдардан байқайтынымыз: егер теңдеулерді түрлендіру нәтижесінде белгісіздің мүмкін мәндерінің аймағы кеңісе, онда бөгде түбірлер пайда болады, ал ол аймақ тарылса, түбірлердің жоғалуы мүмкін.

Тағы бірнеше мысалдар келтірейік,

1. Теңдеуді шеш:

Мүмкін мәндер жиыны x: x _> 0, x  1.

Логарифмдік негізгі тепе-теңдікті қолданайық a^log_aв:

алдымен х = х² деп алып (aⁿ) ^m= a^n*m қасиеттердің негізінде теңдеу мына түрге келеді: бұдан (2x)²=4, демек x₁ = -1, x₂ =1.

Бұл түбірлердің екеуі де х-тің мүмкін мәндер жиынында жатпайды. Олй болса, берілген теңдеудің түбірлері (шешімі) жоқ.

2) Теңдеуді шеш: log₂(x+8) + log₂(4-x) = 5.

x+8 > 0, x+8 1, 4 - x> 0, 4 -x  1 болғандықтан аргументтің мүмкін мәндер жиыны (аймағы): х > -8, x<4, x  -7, x  3.

Логарифімдердің қосындысынан көбейтіндінің логарифміне көшсек:

Log₂(x+5)(4-x) = 5 теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеуде мүмкін мәндер жиыны (x+8)(4-x) > 0 шатынан анықталады: (-8;4), ал жоғарыда х = 3 болғандықтан, соңғы теңдеуді х-тің мүмкін мәндер жиыны кеңейгенін көреміз, ал бұл жағдай бөгде түбірлердің пайда болуына келтіреді. Шындығында (x+8)(4-x)=2⁵ теңдеуінің екі түбірі болады: x=-4 x=8. Мұның 1-сі берілген теңдеуді қанағаттандырады, II-сі бөгде түбір болады және де х=8 мүмкін мәндер жиынына (x>-8, x<4) ке кірмейді.

3. (1 + x)(7x - 3) = 125 теңдеуін шеш.

Бұның мүмкін мәндер аймағы - барлық нақты сандар жиыны. Тиісті түрлендірулер жүргізген соң мынадай квадрат теңдеу аламыз:

7x² + 4x - 128=0, оның түбірлері x₁=4, x₂= - 32/7.

Бұлардың екеуі де берілген теңдеуді қанағаттандырады.

Енді берілген теңдеуді логарифімдейік (5 негізі бойынша):

Log₅(1-x) + log₅(7x - 3)² =3 мұның мүмкін мәндер аймағы x>3/7,

демек ол кішірейді (тарылды). Соңғы теңдеудің түбірі тек x₁=4 болады, ал x₂=-38/7 бөгде түбір болады бұл теңдеу үшін, себебі ол мүмкін мәндер аймағына кірмейді.

Теңдеулер шешкенде табылған түбірлерді берілген теңдеуге қойған тексеру арқылы бөгде түбірді анықтауға болады, теңсіздіктер үшін олай жасау мүмкін емес, өйткені теңсіздікте ондай шешулер шексіз көп. Сондықтан теңсіздіктерді шешкенде берілген теңсіздікпен теңшамалы теңсіздік алу үшін қолданылған түрлендірулердің әрқайсысын тиянақты түрде талдауға уақыт кетірмеу үшін кейбір қарапайым теңсіздіктердің шешулерін есте сақтаған жөн.