конспект урока по теме «Методы решения уравнений' (11 класс)

Разработчик: Рабцун Лидия Васильевна, учитель математики

Урок повторения в XI классе по теме «Методы решения уравнений»

Разработка урока

• Предмет: алгебра

• Класс: 10

• Тема: Методы решения уравнений

• Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Методы решения уравнений»

• Цель урока: закрепление основных приёмов и методов решения уравнений.

• Задачи:

• Образовательная:

• 1. Проверить и обобщить знания и умения учащихся по теме «Методы решения уравнений»

• 2. Проверить умение выполнять арифметические действия с целыми и дробными числами, проверить умение выполнять преобразование тригонометрических выражений, выражений, содержащих модуль и корни.

• Развивающая:
  1. Развивать логическое мышление.

• 2. Активизировать мыслительную деятельность, познавательную активность.

• 3.Формировать навыки самоконтроля, адекватной самооценки и саморегуляции собственной деятельности.

• Воспитательная:
  1. Воспитывать аккуратность, трудолюбие.

• 2. Развивать общую культуру личности.

• 3. Способствовать толерантному воспитанию учащихся.

• Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, парная.

• Средства: компьютер, интерактивная доска, набор индивидуальных карточек, презентация к уроку, наглядные пособия,

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сегодня мы поговорим об общих целях, общих методах, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с VII по XI класс. При решении уравнений эти методы нужно постоянно держать в поле своего внимания (вопрос о проверке корней следует рассмотреть отдельно, на других уроках).

Мы рассмотрим два метода: метод разложения на множители и метод введения новых переменных.

Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в следующем: пусть надо решить уравнение и пусть

Тогда уравнение можно заменить совокупностью более простых уравнений:

Найдя корни уравнений этой совокупности и отобрав из них те корни, которые принадлежат области определения уравнения , мы получим корни исходного уравнения.

2. Актуализация знаний учащихся

Решить уравнение:

1.

Решение.

или

Ответ: -3; ;

2.

Решение:

или

D=25

Ответ: -1; ; .

3.

Решение:

или

Ответ: ; ; 1; 3.

4.

Решение:

или

а) б)

Ответ: -2; ; 0; ; 2.

5. О.Д.З.

Решение:

или или

Ответ: 0; 1; 7.

6.

Решение:

или

Ответ: -3; 1; 2.

7.

Решение:

Прибавим и отнимем . Число 63 представим как 63=64-1.

или

D<0. D<0

Ответ: нет действительных корней.

8.

Решение:

или

D=121,

9.

Решение:

- корень уравнения :

или

Ответ: .

10.

Решение:

или

или

Ответ:

.

11.

Решение:

или

Ответ:

12.

Решение:

или

Ответ: -4 и 4.

13. Решить систему уравнений

Решение:

Пусть и учитывая, что

запишем исходную систему иначе:

Отсюда и тогда

Таким образом, исходная система равносильна системе

Эта система распадается на две:

и

Ответ: (4;3); (3;4).

Метод введения новых переменных

Суть метода очень проста: если уравнение удалось преобразовать к виду , то нужно ввести новую переменную , решить уравнение , а затем рассмотреть совокупность уравнений:

, где - корни уравнения

Умение удачно ввести новую переменную - важный элемент математической культуры. Новая переменная в уравнениях иногда действительно очевидна, но иногда ее трудно увидеть, а можно выявить лишь в процессе каких-либо преобразований.

Бывает полезно так же ввести не одну, а две переменные.

Решить уравнение:

1.

Решение:

при

Ответ: нет корней.

2.

Решение:

1) 2)

Ответ: -4;-1;1;4.

3.

Решение::

Пусть , тогда уравнение примет вид:

4.

Решение:

Пусть

D=9, - посторонний корень

1) ,

Ответ:

5.

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

-9 - посторонний корень

1)

Ответ: -1 и 2.

Рассмотрим несколько уравнений, где применение метода введения новых переменных не так очевидна.

6.

Решение:

Данное уравнение - симметричное, оно является уравнением четвертой степени. Разделим обе части уравнения на . Получим

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1) 2)

D=5 D<0

Ответ:

7.

Решение:

Пусть

Уравнение примет вид:

Значит,

Ответ:

8.

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1) 2)

D<0

или

Ответ: -5;0

9.

Решение:

:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1) 2)

Ответ:

10.

Решение:

- посторонний корень

1)

или

Ответ: 6; 8.

11. Решить уравнение

:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1) . 2)

D=9

Ответ: 0,5; 2.

12.

Решение:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

1)

D=76

2)

D=400-720<0

Ответ:

13.

Решение:

Пусть

, тогда уравнение примет вид:

(разложим на множители)

или

1) 2)

D=1

Ответ: -1; 0,5; 2; 4.

Можно решить иначе: разделить обе части уравнения на

Получим:

Пусть , тогда уравнение примет вид:

и т.д. (дальнейшее очевидно)

14.

Решение:

Заметим, что

Пусть

Тогда

и

, но

,

Уравнение не имеет корней

D/4=

Ответ: 3; 143.

15.

Решение:

. Тогда уравнение примет вид:

Итак, исходное равенство будет верным, если выполняется система

1)

2)

D=4

Если , то

Если , то

1) ;

2) и

Ответ: 2; 28.

Решение иррациональных уравнений также можно упростить с помощью удачно выбранной тригонометрической подстановки, т.е. переменные уравнения заменяются на значения каких-либо тригонометрических функций.

16.

Решение:

Пусть . Замена возможна, т.к. . Тогда

Значит,

1) 2)

Тогда корни:

Откуда имеем:

Ответ:

17. (1)

Решение:

Полагая , преобразуем систему (1) к виду

(2)

1)

, тогда

Значит,

И

Ответ: (2;3), (3;2).

Задания для самостоятельной работы. Домашнее задание

Решить уравнение:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

III. Итог урока

За два часа работы учащиеся углубили свои знания и умения по решению уравнений двумя способами: способом разложения на множители и способом замены переменных, что способствует формированию умений решать уравнения различного типа высокого уровня сложности.

Предложенные задания как устные, так и письменные способствовали развитию логического мышления и познавательной деятельности.

Выполнение заданий формировали ответственность, глубину мысли, самостоятельность, аккуратность, требовательность в работе.