Методическая разработка по теме «Вектор» в 10 классе (геометрия)

Методическая разработка

по теме «Вектор»

в 10 классе (геометрия)

Повторение

Из опыта работы

учителя СШ №24

Косоноговой Р.М.

Харцызск

2014

Цель: Сформулировать умения и навыки использования теории векторов к решению задач

Знать: Определение вектора, формулировку скалярного произведения векторов, координаты векторов

Уметь: Решать задачи, используя координатный и координатно-векторный методы

Нормировать: выработать алгоритм решения задач на координатной плоскости

Ценить: стремление решать задачи нетрадиционным способами;

умение рационально использовать рабочее время;

умение преодолевать трудности

I у-м

Геометрия- это интуиция ….

любой человек в здравом уме не сомневаетсяв том, чтогеометрические утверждения должны представлять практическое применение в окружающей действительности: в землемерии, архитектуре, в машиностроительном искусстве.

Г.гельмгольц

Структурно - часовая модель

Этапы

У-М

С-П

О-С

А-П

С-О

К-Р

Кол-во модулей

1

2

3

3

3

3

I У-М

Цель: Формирование внутренней мотивации содержания.

Из истории векторов:

Под векторной величиной или вектором понимают величину, обладающую направлением, например силой скорость, ускорение.

Интерес к векторами векторному исчислению появился в XIX веке в связи с потребностями математики и физики.

Однако, истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции Пифагорийцы, открыв иррациональные числа, которые нельзявыразить дробями, не решились ввести более широкое толкование числа. Математики того времени пытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом было положено начало геометрической алгебре.

В труде Эвкалида «начала» сложение и вычитание сводилось к сложению и вычитанию отрезков, а умножение - к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

В 1587г.был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С.Стевина «Начала статистики». В нем автор, рассматривая сложения сил, действующих под углом 90 ˚, необходимо воспользоваться параллелограммом сил. При этом для обозначения сил ввели стрелки. Так впервые ввели сложение векторов., перпендикулярных друг другу. Позже французский математик Луи Пуансо (1777-1859) в книге «элементы статики»1803г. Разработал теорию векторов, которой пользуются при рассмотрении сил, действующих в разных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vektor, что означает несущий или ведущий, влекущий., переносящий.

Долгое время вектор рассматривали как направленный отрезок, но с разработкой теории преобразований вектор рассматривают как параллельный перенос.

В современной математике, раздел, изучающий действия с векторами, называют векторной алгеброй.

С-П этап

Цель: развитие поисковой познавательной активности и самостоятельности

учащихся

…. В математических науках есть очень удачные изобретения, способное приобрести большую пользу, удовлетворяя любовь к знаниям, облегчая все ремесло и сокращая труд человека.

Р.Декарт

Векторы

I Повторение

1. Дать определение вектора.

Вектором называют направленный отрезок(определены начало и конец).

B

A

2. Какие векторы называются противоположными

Два вектора, имеющие одинаковые длины и противоположные направления

B B

A A

3. Что называется модулем вектора

Модулем вектора называется его длина

4. Какие векторы называются коллинеарными

Векторы, лежащие на одной или

параллельных прямых

B D E

A M P

K

C

5.Как можно сложить два вектора

Правило треугольника

Правило параллелограмма

6. Как найти разность двух векторов и ?

Правило треугольника

Правило параллелограмма

7. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Любой вектор можно

разложить по двум не

коллинеарным векторам

где - ед. пара чисел

О - С Этап

Цель: проверить первичный уровень усвоения и понимания изученного

материала.

«… принципы геометрии являются

всей математики»

О. Хайям

II Применение векторов к решению задач.

Задача 1. Точка - середина отрезка, а - произвольная точка плоскости. Доказать, что

Решение.

1. По правилу треугольника ;

2. , т.к. точка - середина отрезка , то

3. 

Задача 2. Доказать векторную формулу средней линии четырехугольника.

и середины сторон и

Решение.

1.

2. и

3.

Задача 3. Доказать, что прямая проведенная через середины оснований трапеции проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение.

1. - данная трапеция и середины сторон и . - точка пересечения прямых и .

2. , тогда

3. , , поэтому ;

4. т.к. - середина , то , аналогично

5. ; , т.е. векторы и коллинеарны, т.е. точка лежит на прямой

III Применение векторов к доказательству теорем

Теорема 1. Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине ее.

Доказательство.

1. ; ;

2.

3. Пусть и - середины сторон , и

4. ;

;

5. , тогда , т.е.

Теорема 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумм.

Доказательство.

1. - средняя линия

2.

3.

4. и , тогда ;

5.

, тогда

IV Самостоятельно решить.

1. Доказать, что если - точка пересечения медиан треугольника

- произвольная точка пространства, то выполняется равенство

Замечание. Использовать свойство медиан треугольника и формулы разности и суммы векторов.

2. Дан правильный шестиугольник . Доказать, что .

Замечание. Использовать равенство векторов и на рисунке и правило сложения.

А - П Этап.

Цель: формирование умений навыков, норм деятельности, применение знаний в нестандартных ситуациях

Геометрия - это искусство правильно измерять.

П. Раме.

Пусть вектор имеет началом точку , а концом точку , тогда и вектор имеет координаты

При этом:

1. Равные векторы имеют равные координаты

2. Если координаты двух векторов равны, то эти векторы равны

3. Нулевые вектора имеют нулевые координаты

4. Модуль вектора

5. Если и - середина отрезка , то

VII Решение задач с использованием координат вектора.

Задача 1.

Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение.

1. Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом . - середина

2. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы

3. Пусть и

4. 

Следовательно,

Задача 2.

Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов всех его диагоналей.

Решение.

1. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы

2. 

3. 

4. 

VIII Самостоятельно решить

1. Точки и имеют координаты

Найти координаты и модуль вектора

Ответ: .

2. Найти координаты вершины параллелограмма , если заданы координаты трех его вершин

Ответ:

Дополнительно.

Используя формулу уравнения окружности в прямоугольной системе координат , где - центр окружности, - координаты произвольной точки, решить задачу:

Найти уравнение окружности с центром в точке , проходящей через начало координат.

Ответ:

С - О Этап

Цель: нормирование целостной системы личностных знаний.

Геометрия является познанием всего существующего.

Платон

Скалярным произведением двух векторов и , называется число , т.е.

Если

Скалярный квадрат вектора, равен квадрату модуля этого вектора

Теорема. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними.

.

Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярно, то их скалярное произведение равно нулю.

X Решение задач с использованием скалярного произведения векторов.

Задача 1.

Найти косинус угла между медианами равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам.

Решение.

1. Направим оси и вдоль катетов треугольника и обозначим длины его катетов через

2. 

3. Координаты середин катетов

4. 

5. 

т.к. искомый угол является углом между прямыми и не может быть тупым.

Ответ:

Задача 2.

Даны вершины трапеции Найти величину угла между большей диагональю и меньшей стороной.

Решение.

1.

2.

- большая диагональ

3.

4. - меньшая сторона. Требуется найти угол

Пусть , тогда

Задача 3.

Найти угол лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение.

1. Пусть равнобедренный с основанием . и - медианы

2. Пусть

3. 

4. 

т.к. , то

т.к.

, тогда

Ответ:

К - Р Этап.

Цель: Развитие творческой рефлексии.

То, что не может геометрия, не можем и мы.

Б. Паскаль

XI Самостоятельно решить

1. Являются ли треугольник прямоугольным, если

Ответ:

2. Найти , при котором два вектора и имеет одинаковую длину.

Ответ: ,

Примечание.

а) Использовать формулу длины вектора

б) Повторить решение тригонометрических уравнений вида

3. Доказать, что в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

Замечание.

1. Ввести базисные векторы, лежащие на одной сторонах параллелограмма.

2. Использовать свойство скалярного произведения двух векторов.

XII Контрольная работа по теме «Вектор на плоскости».

I - В.

1. Докажите, что если - медиана треугольника , то

2. Доказать, что медианы равнобедренного треугольника проведенные к боковым сторонам равны между собой.

II - В.

1. Вычислить , где - угол между векторами

2. На координатной плоскости заданы точки . Найти площадь треугольника

Решение.

В - 1

1.

1. - середина отрезка

2.

3.

2.

1.

2. и , значит

Значит , т.е.

Решение

В - 2

1. ,

т.к. по определению угла между векторами , то

2.

1. Пусть - искомая площадь

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Ответ:

Литература

1. Г.В. Апостолова «Геометрия 8» Киев «Генеза» 2008.

2. Г.В. Апостолова «Геометрия 9» Киев «Генеза» 2009.

3. А.В. Погорелов «Геометрия 7 - 11 » Москва «Просвещение» 1989.

4. А.С. Атанасян «Геометрия 7 - 9 » Москва «Просвещение» 1990.