Опорные конспекты по геометрии 7 класс

ОК -2 «Луч. Угол»

ОК-3 Сравнение отрезков и углов

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

В

А В ⟹ А С

А С АВ < АС

⟹

∠1 < ∠ 2

Развернутый угол всегда больше неразвернутого угла.

∠hl = ∠lk

ОК - 4 Измерение отрезков

Измерение отрезка - _____________________________________________

_______________________________________________________________

Длина отрезка выражается только ___________________________ числом.

Равные отрезки имеют ________________________ длины.

Меньший отрезок имеет __________________ длину.

. . .

А С В АВ = ____ + ____

Если АВ в k раз больше отрезка АС, то пишут АВ = ______

Единицы измерения отрезков

основные дополнительные

ОК-5 Измерение углов

Градус - _____________________________________________________

Градусная мера угла - ____________________________________________

________________________________________________________________

∠ АОВ = 150⁰ ∠ hk = 40⁰

Минута - ______________________________________________________

Секунда - _______________________________________________________

1⁰ = 60' 1' = 60"

Свойства углов:

1. Равные углы имеют равные градусные меры.

2. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

3. Градусная мера прямого угла 90⁰.

4. Градусная мера развернутого угла 180⁰.

5. Острый угол меньше 90⁰ (меньше прямого).

6. Тупой угол больше 90⁰, но меньше 180⁰ (больше прямого, но меньше развернутого).

7. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этого угла.

А С ∠ АОВ = ∠АОС + ∠СОВ

О В

ОК -8 Первый признак равенства треугольников

Теорема - это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Рассуждения называются доказательством теоремы.

теорема

условие заключение

(что дано) (что доказать)

I признак равенства треугольников

(по двум сторонам и углу между ними) (СУС)

В

Дано:

АВ = А₁В₁

А С АС = А₁С₁

∠А = ∠А₁

В₁ Доказать:

∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

А₁ С₁

Док-во:

1) ∠А = ∠А₁ ⟹ ∆ АВС наложить на ∆А₁В₁С₁, что:

А → А₁, АВ → луч А₁В₁, АС → луч А₁С₁

2) АВ = А₁В₁ ⟹ АВ совместится с А₁В₁ ⟹ В совмест. с В₁

3) АС = А₁С₁ ⟹ АС совместится с А₁С₁ ⟹ С совмест. с С₁ ⟹

ВС совмест. с В₁С₁ ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А₁В₁С₁ ⟹ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

Пример.

К Е Дано:

С СЕ = СМ

СК = СР

М Р Доказать: ∆ СКЕ = ∆ СРМ

Док-во:

1. СЕ = СМ (по условию)

2. СК = СР (по условию) ⟹ ∆ СКЕ = ∆ СРМ ( по I пр.)

3. ∠ КСЕ = ∠РСМ ( как верт.)

ОК-10 Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

АВ = АС ⟹ ∆ АВС -равнобедренный

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

АВ = ВС = АС ⟹ ∆ АВС - равносторонний

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Задача. В равнобедренном треугольнике АВС, где АВ равняется ВС, периметр равен 20 см, а основание больше боковой стороны на 2 см. Найдите стороны треугольника.

Дано:

∆ АВС - равнобедр.

Р_АВС = 20 см

АС - АВ = 2 см

Найти: АВ, АС.

Решение:

Пусть АВ = ВС = см, тогда АС = ( + 2) см.

Р_АВС = АВ + ВС + АС = 20 см

+ + ( + 2) = 20

3 + 2 = 20

3 = 18

= 6

АВ = ВС = 6 см, АС = 6 + 2 = 8 (см).

Ответ: 6 см, 6 см, 8 см.

ОК - 9 Перпендикуляр к прямой.

Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Отрезок ОВ называется перпендикуляром, проведённым из точки О к прямой а, если отрезок ОВ и прямая а перпендикулярны.(рис.1)

Точка В - основание перпендикуляра.

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медианой треугольника называется отрезок,_________________________

__________________________________________________________ (рис. 2)

Биссектрисой треугольника называется отрезок_____________________ ________________________________________________________________

__________________________________________________________ (рис. 3)

Высотой треугольника называется перпендикуляр,____________________

________________________________________________________________

__________________________________________________________ (рис.4)

В треугольнике ______ медианы, _____ биссектрисы,_____ высоты.

Свойства (стр. 34):

1)_______________________________________________________________

________________________________________________________________

2)_______________________________________________________________

________________________________________________________________

3)_______________________________________________________________

________________________________________________________________

Задача 1. Отрезок BD - медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ - медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка АС, если отрезок ЕС= 4см?

Дано:

BD - медиана ∆АВС

BE - медиана ∆BDC

ЕС = 4 см

Найти: АС.

Решение:

1. ВЕ - медиана ∆ DВС⟹ DE = EC ⟹ DС = 2EC, DС = 24 = 8 см.

2. ВD - медиана ∆ AВС ⟹ AD = DC ⟹ AС = 2DC, AС = 2 8 = 16 см.

Ответ: АС = 16 см.

Задача 2 . Отрезок AD - медиана треугольника АВС. Точка Е лежит на луче АD так, что AD = DЕ. Докажите, что треугольник АDВ равен треугольнику CDE.

Дано:

AD - медиана ∆АВС

AD = DЕ

Доказать: ∆ АDВ = ∆CDE.

Док-во:

1. AD - медиана ∆АВС ⟹ CD = ВD

2. AD = DЕ (по условию) ⟹ ∆ АDВ = ∆CDE (по I признаку)

3. ∠ ADB = ∠CDE ( как верт.)

ОК -11 Второй признак равенства треугольников

II признак равенства треугольников

(по стороне и двум прилежащим углам) (УСУ):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В

Дано:

АВ = А₁В₁

А С ∠А = ∠А₁

В₁ ∠ В = ∠В₁

Доказать:

∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

А₁ С₁

Док-во:

1. Наложить ∆ АВС на ∆А₁В₁С₁ , чтобы:

А совмест. с А₁, АВ совмест. с А₁В₁, С и С₁ - по одну сторону от АВ.

2. ∠А = ∠А₁

∠ В = ∠В₁ ⟹ АС → луч А₁С₁, ВС → луч В₁С₁

3. Верш. С (общая для АС и ВС) → верш. С₁(общую для А₁С₁ и В₁С₁)⟹

АС совмест. с А₁С₁, ВС совмест. с В₁С₁ ⟹ ∆ АВС совмест. с ∆ А₁В₁С₁ ⟹ ∆ АВС = ∆ А₁В₁С₁.

Задача. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠ EAD и ∠ EBC равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ равен 7 см?

Дано:

АВСD = Е

АЕ = ЕВ

∠ EAD = ∠ EBC

СВ = 7 см

Найти : АD

Решение:

1. АЕ = ЕВ (по услов.)

∠ EAD = ∠ EBC (по услов.) ⟹ ∆ DEA = ∆ СEB (по 2 пр.)

∠ DEA = ∠ СEB (верт.)

2. ∆ DEA = ∆ СEB ⟹ АD = СВ = 7 см

Ответ: АD = 7 см

ОК-12 Третий признак равенства треугольников

Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

С С₁ Дано:

АВ = А₁В₁

АС = А₁С₁

ВС = В₁С₁

Доказать:

А В А₁ В₁ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

С 1) совместить ∆ АВС и ∆А₁В₁С₁ , чтобы:

А совм. с А₁, В совм. с В₁, С и С₁ по

разные стороны от АВ.

А(А₁) В(В₁) 2) проведем СС₁.

3) ∆ АСС₁ - равнобедр. (т.к. АС = А₁С₁) ⟹

∠1 = ∠2;

С₁ ∆ ВСС₁ - равнобедр. (т.к. ВС = В₁С₁) ⟹

∠3 = ∠4.

4) ∠С = ∠1 + ∠3

∠С₁ = ∠2 + ∠4 ⟹ ∠С = ∠С₁

5) АС = А₁С₁ (по условию)

ВС = В₁С₁ (по условию) ⟹ ∆ АВС = ∆А₁В₁С₁ (по 1 признаку)

∠С = ∠С₁

Треугольник - жёсткая фигура.

ОК-13 Окружность

В О - центр окружности (точка, равноудаленная от

К всех точек окружности)

R - радиус окружности (отрезок, соединяющий

О А центр окружности с любой ее точкой)

ОА - радиус

М КМ - хорда (отрезок, соединяющий две точки

С окружности)

d - диаметр (хорда, проходящая через центр окружности)

СВ - диаметр

Дуга окружности (часть окружности, ограниченная двумя точками)

(рис. 79)

Свойства окружности:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

3. Центр окружности является серединой диаметра.

4. Радиус равен половине диаметра.

d = 2R R= d/2

5. При решении задач используются свойства:

ОК-14 Задачи на построение

Замечание: при решении простых задач достаточно второго пункта, в некоторых используют второй и третий пункты.

ОК-16 Аксиома параллельных прямых

Аксиома (от греч. «аксиос» - ценный, достойный) - это утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Примеры аксиом:

1. Через любые две точки проходит прямая и при том только одна.

2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

3. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Аксиома параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия - утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

ОК-15 Параллельные прямые

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

a

b a ‖ b

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.

а⏊ с

b ⏊ с ⟹ a ‖ b

Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает каждую из них в разных точках.

внутренние накрест лежащие

1. 2 ____________________________

3 4 внутренние односторонние

____________________________

5 6 соответственные

7 8 ____________________________

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано:

a, b - прямые

с - секущая

∠1 = ∠2

Доказать:

a ‖ b

Док-во:

1. Если ∠ 1 = ∠ 2 = 90°, то а ⊥ АВ, b ⊥ АВ ⟹ a ‖ b

2. Если ∠ 1 = ∠ 2 ≠ 90°.

1. Через т.О - середину АВ проведем ОС⏊ a.

2. На прямой b от т.В отложим отрезок ВС₁ = АС (см. рис).

3. Рассмотрим ∆ ОСА и ∆ ОС₁В:

АО = ОВ (т.к. О -середина АВ)

АС = ВС₁ (по построению) ⟹ ∆ ОСА = ∆ ОС₁В (по 1 пр)

∠1 = ∠2 (по условию)

4. ∠3 = ∠4 (т.к. ∆ ОСА = ∆ ОС₁В) ⟹ точки С, О и С₁ лежат на одной прямой

5. ∠5 = ∠6 (т.к. ∆ ОСА = ∆ ОС₁В)

∠5 = 90⁰ ⟹ ∠6 = 90⁰

6. ∠5 = 90⁰ ⟹ а ⏊ СС₁

∠6 = 90⁰ ⟹ b ⏊ СС₁ ⟹ a ‖ b

Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. (задача 1).

Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰, то прямые параллельны. (задача 2).

ОК- 17 Свойства параллельных прямых

Теорема

условие (что дано) заключение (что нужно доказать)

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением - условие данной теоремы.

Теорема 1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано:

1. a‖b, ∠1 и ∠2 - накрест лежащие

CD - секущая

Доказать: ∠1 = ∠2

Док-во:

2. Допустим, ∠1 ∠2.

3. Проведем прямую ЕС так, что ∠ ECD = ∠ 2.

4. Рассмотрим прямые ЕС и b и секущую CD

∠ ECD и ∠ 2 - накрест лежащие

∠ ECD = ∠ 2 ⟹ ЕС ‖ b

5. Через точку С проходит две прямые, параллельные прямой b ( ЕС и а), что противоречит аксиоме параллельных прямых.

6. Значит, предположение, что ∠1 ∠2 неверно ⟹ ∠1 = ∠2 .

Следствие из Т.1. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.

а a‖b

b c⏊ a ⟹ c ⏊b

c

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано:

a‖b, ∠1 и ∠2 - соответственные

с - секущая

Доказать: ∠1 = ∠2

Док-во:

1. Т.к. a‖b, то по Т.1. ∠2 = ∠3 (как накрест лежащие)

2. ∠ 1 = ∠ 3 (как вертикальные) ⟹∠1 = ∠2

Теорема 3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Дано:

a‖b, ∠1 и ∠2 - односторонние

с - секущая

Доказать: ∠1 + ∠2 = 180⁰

Док-во:

1. Так как а || b, то по Т.2. ∠ 1 = ∠ 3 (как соотв.).

2. ∠ 2 + ∠ 3 =180° (как смежные). ⟹ ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

ОК-18 Сумма углов треугольника

Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано:

∆АВС

Док-ть: ∠А +∠В +∠С = 180^о

Док-во:

1. Проведем через верш.В прямую а‖АС

2. а‖АС, АВ -сек. ∠1 и ∠4 - накр. леж. ⟹ По т.1 ∠1= ∠4

3. а‖АС, ВС -сек. ∠3 и ∠5 - накр. леж. ⟹ По т.1 ∠3= ∠5

4. ∠4 +∠2 +∠5 = 180^о(как развернутый)

∠4= ∠1 ⟹∠1 +∠2 +∠3 = 180^о ⟹

∠5= ∠3 ∠А +∠В +∠С = 180^о

Следствия.

1. Углы равностороннего треугольника равны по 60°.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника.

∠1 - внешний для ∠А

∠2 - внешний для ∠С

Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Дано:

∆АВС

∠4 - внешний для ∠3

Док-ть:

∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4

Док-во:

1. ∠ 3 + ∠ 4 = 180°(смежн.)

2. ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (по теор. о сумме углов треуг.) ⟹∠ 1 + ∠ 2 = ∠ 4

ОК-21 Неравенство треугольника

Теорема. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Дано:

∆ АВС

Док-ть: АВ < AC + BС

Док-во:

1. На продолжении АС проведем СЕ = ВС.

2. ∆ ВСЕ - равнобедренный (СЕ = ВС) ⟹ ∠ 1 = ∠ 2.

3. Рассмотрим ∆ АВЕ: ∠ АВЕ > ∠ 1 ⟹ ∠ АВЕ > ∠ 2

4. ∠ АВЕ > ∠ 2 ⟹ АВ < AE

АЕ = АС + СЕ ⟹ АВ < AC + BС

СЕ = ВС

Следствие 1. Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы следующие неравенства:

А АВ < AC + BC,

AC < AB + BC,

В С BC < AB + AC

Следствие 2. Длина каждой стороны треугольника больше разности длин двух других его сторон.

ОК-22 Некоторые свойства прямоугольных треугольников

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Дано:

∆АВС -прямоуг.

∠А = 30⁰

Доказать: СВ = АВ

Док-во:

1. ∆ АВС - прямоугольный ⟹∠А + ∠В = 90⁰ ⟹

∠В = 90⁰ - ∠А = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰

2. Приложим к ∆АВС равный ему ∆АDС ( как на рисунке)

3. В ∆АDВ: ∠А = 30⁰ + 30⁰ =60⁰, ∠В = ∠D = 60⁰ ⟹ ∆АDВ - равностор. ⟹ ВD = AB

4. ВD = AB

ВС = ВD ⟹ ВС = АВ

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Дано:

∆АВС -прямоуг.

СВ = АВ

Доказать: ∠А = 30⁰

Док-во:

1. Приложим к ∆АВС равный ему ∆АDС ( как на рисунке)

2. В ∆АDВ: АD = АВ, DВ = 2 ВС = 2 ∙ АВ = АВ ⟹ АD=АВ=DВ⟹

∆АDВ - равностор.⟹ ∠А = ∠В = ∠D = 60⁰

3. ∠А = 60⁰

∠DАВ = 2∠ВАС ⟹ ∠ВАС = ∠DАВ = 30⁰

ОК-24 Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между точками А и В - длина отрезка АВ.

А

АН - перпендикуляр к прямой а

АВ - наклонная

а АН < АВ

Н В

• Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

) = АН - расстояние от точки А до прямой а

Свойство параллельных прямых:

все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. a D C

a‖b ⟹)=)

b

Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра.

(а, b) = AМ = ВN - расстояние

между параллельными прямыми

Замечания:

• Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от прямой и находящиеся на равном расстоянии от неё, лежат на прямой параллельной данной.

• Множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, есть прямая, параллельная данной.

</ ОК-23 Признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема 1 (по двум катетам).

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ - прямоуг.

АС =А₁С₁

СВ = С₁В₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. АС =А₁С₁

2. СВ = С₁В₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по I признаку)

3. ∠С = ∠С₁ = 90⁰

Теорема 2 (по катету и прилежащему острому углу).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ - прямоуг.

АС =А₁С₁

∠А = ∠А₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. АС =А₁С₁

2. ∠А = ∠А₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по II признаку)

3. ∠С = ∠С₁ = 90⁰

Теорема 3 (по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ - прямоуг.

АВ =А₁В₁

∠А = ∠А₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. ∆АВС - прямоуг. ⟹ ∠А + ∠В = 90° ⟹ ∠В = 90° - ∠А

∆А₁В₁С₁ - прямоуг.⟹∠А₁ + ∠В₁ = 90°⟹∠В₁ = 90° - ∠А₁ ⟹∠В = ∠В ₁

∠А = ∠А₁

2. АВ =А₁ В₁

∠А = ∠А₁ ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по II признаку)

∠В = ∠В₁

Теорема 4 (по гипотенузе и катету).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

∆АВС и ∆А₁В₁С₁ - прямоуг.

АВ =А₁В₁

АС = А₁С₁

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С₁

Док-во:

1. Совместим ∆АВС и ∆А₁В₁С₁ как на рисунке.

2. АВ =А₁В₁ ⟹∆ВАВ₁ - равнобедр.

∠С = ∠С₁ = 90⁰ ⟹ АС - высота и медиана ⟹В₁С₁ = ВС

3. АС = А₁С₁

В₁С₁ = ВС ⟹ ∆АВС = ∆А₁В₁С₁ (по двум катетам)