Экзаменационная работа за курс 10 класса

Вариант 1

1. Роз­нич­ная цена учеб­ни­ка 132 рубля, она на 20% выше опто­вой цены. Какое наи­боль­шее число таких учеб­ни­ков можно ку­пить по опто­вой цене на 5000 руб­лей?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа впер­вые вы­па­ло 5 мил­ли­мет­ров осад­ков.

3. Най­ди­те пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны .

4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 3 дня. Всего за­яв­ле­но 50 вы­ступ­ле­ний - по од­но­му от каж­дой стра­ны. В пер­вый день 34 вы­ступ­ле­ния, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

6. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, CH - вы­со­та, . Най­ди­те BH.

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции на от­рез­ке .

8. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка - центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

9. Най­ди­те , если .

10. Из одной точки коль­це­вой до­ро­ги, длина ко­то­рой равна 12 км, од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля. Ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 101 км/ч, и через 20 минут после стар­та он опе­ре­жал вто­рой ав­то­мо­биль на один круг. Най­ди­те ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Ответ дайте в км/ч.

11. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

12. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

13. В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точка M - се­ре­ди­на ребра SA, точка K - се­ре­ди­на ребра SB. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми CMK и ABC, если SC = 8, AB = 6.

Вариант 2

1. Одна таб­лет­ка ле­кар­ства весит 60 мг и со­дер­жит 8% ак­тив­но­го ве­ще­ства. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,2 мг ак­тив­но­го ве­ще­ства на каж­дый ки­ло­грамм веса в сутки. Сколь­ко таб­ле­ток этого ле­кар­ства сле­ду­ет дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на сред­не­су­точ­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в Сочи каж­дый день с 5 по 28 ап­ре­ля 1998 года. На оси абс­цисс от­ме­че­ны дни, на оси ор­ди­нат - тем­пе­ра­ту­ра в гра­ду­сах Цель­сия. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­шую сред­не­су­точ­ную тем­пе­ра­ту­ру воз­ду­ха в Сочи в пе­ри­од с 7 по 24 ап­ре­ля.

3. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. На эк­за­ме­не 40 во­про­сов. Дима не вы­учил 6 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос.

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

6. В тре­уголь­ни­ке ABC , . Най­ди­те вы­со­ту CH.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик про­из­вод­ной функ­ции и во­семь точек на оси абс­цисс: , , , , . В сколь­ких из этих точек функ­ция убы­ва­ет?

8. Най­ди­те квад­рат рас­сто­я­ния между вер­ши­на­ми D₂ и B₃ мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке. Все дву­гран­ные углы мно­го­гран­ни­ка пря­мые.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

10. На из­го­тов­ле­ние 780 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий тра­тит на 4 часа мень­ше, чем вто­рой ра­бо­чий на из­го­тов­ле­ние 840 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 2 де­та­ли боль­ше, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час де­ла­ет пер­вый ра­бо­чий?

11. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

12. а) Ре­ши­те урав­не­ние:

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

13. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ вы­со­та равна 1, а ребро ос­но­ва­ния равно 2. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A₁ до пря­мой BC₁.

Вариант 3

1. В лет­нем ла­ге­ре 310 детей и 28 вос­пи­та­те­лей. В ав­то­бус по­ме­ща­ет­ся не более 40 пас­са­жи­ров. Какое наи­мень­шее число ав­то­бу­сов тре­бу­ет­ся за­ка­зать, чтобы пе­ре­ве­сти всех детей и вос­пи­та­те­лей из ла­ге­ря в город?

Со­ста­ви­те­ли имели в виду «за один рейс».

2. На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля при тем­пе­ра­ту­ре окру­жа­ю­ще­го воз­ду­ха 20°. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат - тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Во­ди­тель может на­чи­нать дви­же­ние, когда тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля до­стиг­нет 60°. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство минут по­тре­бу­ет­ся, чтобы во­ди­тель мог на­чать дви­же­ние?

3. Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

4. Фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет сумки. В сред­нем на 160 ка­че­ствен­ных сумок при­хо­дит­ся че­ты­ре сумки со скры­ты­ми де­фек­та­ми. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых.

5. Ре­ши­те урав­не­ние .

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, . Най­ди­те тан­генс внеш­не­го угла при вер­ши­не .

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­на ос­но­ва­ния

ко­торой равна 24 и вы­со­та равна 16.

9. Най­ди­те , если .

10. Пу­те­ше­ствен­ник пе­ре­плыл море на яхте со сред­ней ско­ро­стью 21 км/ч. Об­рат­но он летел на спор­тив­ном са­мо­ле­те со ско­ро­стью 567 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость пу­те­ше­ствен­ни­ка на про­тя­же­нии всего пути. Ответ дайте в км/ ч.

11. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

12. Дано урав­не­ние

а) Ре­ши­те урав­не­ние;

б) Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все рёбра равны 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки В до плос­ко­сти .

Вариант 4

1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 89 ино­го­род­них сту­ден­тов?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­зан курс дол­ла­ра, уста­нов­лен­ный Цен­тро­бан­ком РФ, во все ра­бо­чие дни в ок­тяб­ре 2010 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли - цена дол­ла­ра в руб­лях. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­боль­ший курс дол­ла­ра за ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в руб­лях.

3. Най­ди­те пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка, если его пло­щадь равна 18, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 1:2.

4. В фирме такси в дан­ный мо­мент сво­бод­но 20 машин: 10 чер­ных, 2 жел­тых и 8 зе­ле­ных. По вы­зо­ву вы­еха­ла одна из машин, слу­чай­но ока­зав­ша­я­ся ближе всего к за­каз­чи­це. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к ней при­е­дет зе­ле­ное такси.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: .

6. В тре­уголь­ни­ке угол равен 90°, , . Най­ди­те .

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−15; 2). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек мак­си­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−11;0].

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пря­мой приз­мы, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб с диа­го­на­ля­ми, рав­ны­ми 6 и 8, и бо­ко­вым реб­ром, рав­ным 10.

9.Най­ди­те , если и .

10.По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют пас­са­жир­ский и то­вар­ный по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 50 км/ч и 40 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 800 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он про­шел мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 6 ми­ну­там. Ответ дайте в мет­рах.

11. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [9; 36].

12. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

13. В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC ребро MA пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM - точка L. Из­вест­но, что AD = 2 и BE = ML = 1. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.