Конспект - 'Аксиомы геометрии'

АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ

Здесь мы рассмотрим различные аксиоматики евклидовой геометрии, используемые в той или иной степени в школьных учебниках по геометрии.
В Энциклопедии элементарной математики [1] евклидово пространство определяется как совокупность объектов трех видов, называемых точками, прямыми и плоскостями,и преобразованиями, переводящими совокупность всех точек в себя, называемые движениями. Между этими объектами определены отношения: точка принадлежит прямой(прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками.
Указанные объекты и отношения удовлетворяют следующим аксиомам.
1. Аксиомы принадлежности.
1.1. Через две различные точки проходит единственная прямая.
1.2. На каждой прямой имеются, по крайней мере, две точки, ей принадлежащие.
1.3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.
1.4. Через каждые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.
1.5. На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка, ей принадлежащая.
1.6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.
1.8. Существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
2. Аксиомы порядка.
2.1. Из любых трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая лежит между первой и третьей.
2.3. Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C, не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то она пересекает отрезок AC или отрезок BC.
3. Аксиомы движения.
3.1. Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя.
3.2. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, причем C лежит между Aи B, то всякое движение f переводит их в точки f(A), f(B), f(C), принадлежащие одной прямой, причем f(C)лежит между f(A) и f(B).
3.3. Композиция двух движений является движением.
3.4. Для всяких двух реперов, взятых в определенном порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй ( Репером называется произвольная тройка (A, a, ), где A - точка, a - луч с вершиной в этой точке,  - одна из двух полуплоскостей, определяемых лучом a).
4. Аксиомы непрерывности.
4.1 (Аксиома Архимеда). Пусть A₀, A₁, B - три точки, принадлежащие одной прямой, причем точка A₁ лежит между A₀ и B. Пусть, далее, f - движение, переводящее точку A₀ в точкуA₁ и луч A₀B в луч A₁B. Положим f(A₁)=A₂, f(A₂)=A₃,… . Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке A_n-1A_n.
4.2 (Аксиома Кантора). Пусть A₁, A₂, … и B₁, B₂, … такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой, что для любого n точки A_n и B_n различны между собой и находятся на отрезке A_n-1B_n-1. Тогда на этой прямой существует такая точка C, которая принадлежит всем отрезкам A_nB_n .
5. Аксиома параллельности.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
А.Д.Александров в книге [2] к основным объектам планиметрии относит точки и отрезки, а к основным отношениям: точка является концом отрезка, точка лежит на отрезке, равенство отрезков.
Аксиомы подразделяются на линейные и плоскостные.
Линейные аксиомы.
1. Аксиомы связи.
1.1 (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок. У каждого отрезка есть два и только два конца. Кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
1.2 (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
1.3 (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т.е. если точка C лежит на отрезке AB, то она делит его на два отрезка AC и BC, которые не имеют общих внутренних точек.
1.4 (аксиома соединения отрезков). Если точка C лежит на отрезке AB, а B на CD, то отрезки AB и CD образуют отрезок AD.
2. Аксиомы равенства.
2.1 (аксиома откладывания отрезка). Для любых двух отрезков AB и MN существует и притом единственный отрезок AC, равный MN и налегающий на AB.
2.2 (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
2.3 (аксиома сложения). Если точка C принадлежит отрезку AB, точка C₁ принадлежит отрезку A₁B₁ и AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, то AB = A₁B₁.
2.4 (аксиома Архимеда) Для любых данных отрезков a, b=AB существует содержащий AB отрезок AA_n, на котором есть такие точки A₁, A₂,…,A_n, что отрезки AA₁, A₁A₂,…, A_n-1A_nравны a.
3. Аксиома непрерывности.
3.1. Для любой последовательности вложенных отрезков A₁B₁A₂B₂…существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.
4. Плоскостные аксиомы.
4.1 (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку a все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем a, делятся на два класса: в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от a, в другой - точки, лежащие с другой стороны от a, причем в каждом классе есть точки.
4.2 (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному углу. (Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины). При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.
4.3 (аксиома параллельных отрезков). Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка AB под прямым углом, то CD=AB.
5. Пространственные аксиомы.
5.1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости (фигуры, на которых выполняется планиметрия). Через каждые три точки пространства проходит плоскость.
5.2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.
5.3 (аксиома принадлежности прямой плоскости). Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.
5.4 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.
5.5. (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.