Урок по геометрии на тему «Правильные многогранники» (9 класс)

Геометрия 9 класс

План открытого урока

Тема урока: «Правильные многогранники»

«Математика есть прообраз красоты мира»

Кеплер

Сотри случайные черты и ты увидишь - мир прекрасен

П. Основная часть

1. История возникновения и развития теории многогранников

Сегодня наш урок посвящен увлекательному разделу геометрии - теории многогранников. Чем привлекательны многогранники? Многогранники представляют собой простейшие тела в пространстве, подобно тому, как многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Многогранные формы мы видим ежедневно: спичечный коробок, книга, комната, многоэтажные дома, а также - граненый карандаш, гайка и т.п.

С чисто геометрической точки зрения многогранник - это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками - гранями.

Многогранники обладают богатой историей, которая связана с такими знаменитыми учеными древности, как Архимед, Евклид, Пифагор (демонстрация 3 слайда презентации).

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с понятием симметрия. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство форм и гармония этих фигур. Пифагорийцы считали многогранники божественными фигурами и использовали их в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорийцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ Платон (демонстрация 4 слайда). С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами(демонстрация 5 слайда).

2. Так что же такое правильные многогранники?

Многогранником называется геометрическое тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Определение: Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон, а в каждой вершине сходится одно и то же число ребер (записать определение в тетрадь).

3. Виды многогранников.

Существует пять видов многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (демонстрация 5 слайда).

Почему же правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, так как в переводе с греческого слово «тетра» означает четыре, «эдрон» - грань, гексаэдр (куб) имеет 6 граней, «гекса» - число 6, октаэдр - восьмигранник, «окто» - число 8, додекаэдр - двенадцатигранник, «додека» - число 12, икосаэдр имеет 20 граней, «икоси» - число 20.

В идеалистической картине мира, созданной Платоном, четыре многогранника олицетворяли четыре стихии: тетраэдр - огонь, гексаэдр - землю, икосаэдр - воду, октаэдр - воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание, его стали называть «пятая сущность».

Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита(сернистого колчедана) - (демонстрация 6 слайда). Придумать же правильный тетраэдр, куб, октаэдр было нетрудно, так как эти формы имеют многие природные кристаллы, например: октаэдр - монокристалл алюмокалиевых квасцов. Шестой элемент периодической системы Менделеева - углерод - характеризуется структурой октаэдра.Оксид меди (красная медная руда) также образует кристаллы в форме октаэдров ( демонстрация 6 слайда).

Кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдра, реже - форму кубов или тетраэдров (демонстрация 7 слайда).

Исторически первой формой огранки , появившейся в середине X1Y века, стал октаэдр. Алмаз «Шах» почти сохранил свой естественный вид. Он имеет форму вытянутого кристалла - октаэдра и массу 88,7 карат ( демонстрация 8 слайда).

Интересна судьба этого алмаза. В начале Х1Х века «Шах» оказался в Персии. В 1829 году в ходе беспорядков в Тегеране был убит русский посол, автор комедии «Горе от ума» А.С.Грибоедов, и персидское правительство, для разрешения конфликта, подарило этот алмаз Николаю 1.

Правильным многогранникам посвящена последняя 13 книга знаменитого труда Евклида. Как назывался этот труд? (Начала). Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в 13 книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом Начал». Здесь установлено существование всех пяти видов правильных многогранников и доказано, что других видов правильных многогранников не существует. Почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много. Ответ на этот вопрос мы получим только в 10 классе, обосновав его выводом определенных формул.

3. Определение основных свойств правильных многогранников.

Практическая работа учащихся на компьютерах.

Рассмотрим свойства правильных многогранников (демонстрация 4 слайда).

Используя программу «Физикон», откройте раздел программы «3Д Чертеж».

Рассматривая каждый многогранник в отдельности, запишите в заранее заготовленную таблицу, следующие данные, исключая последний столбец таблицы:

Название

многоугольника

Вид стихии

чертеж

вершина

грани

ребра

В + Г + Р

тетраэдр

огонь

гексаэдр

земля

октаэдр

воздух

додекаэдр

Вселенная

икосаэдр

вода

Если в процессе работы будут возникать трудности, откройте раздел «модели» на панели инструментов. По окончании работы, сверьте свои результаты с приведенными данными в разделе «модели».

4. Формула Эйлера.

После работы с компьютером учащиеся снова возвращаются за свои столы и вместе с учителем заполняют последний столбец в таблицах по приведенной в ней формуле. Что можно сказать о полученных результатах Во всех строчках он один и тот же.

В + Г + Р = 2 . И эта формула верна не только для правильных многогранников. Доказал это соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (портрет на 9 слайде),поэтому формула названа его именем. Этот гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Современная теория многогранников берет свое начало из его работ.

Записать в тетрадях.

Формула Эйлера: для любого правильного многогранника справедлива формула:

В + Г + Р = 2

Если покопаться в истории, то кубу можно дать определение «родитель» всех правильных многогранников. На основе куба можно построить все другие виды правильных многогранников. Вершинами октаэдра являются центры граней куба, а если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра.

Из таблицы видно, что у куба и октаэдра одно и то же количество ребер, но у куба столько вершин, сколько у октаэдра граней и ,наоборот, у куба столько граней, сколько у октаэдра вершин. Аналогичные соотношения имеют место для додекаэдра и икосаэдра. Такие многогранники называются взаимно двойственными ( сделать запись в тетрадь).

5. Теория многогранников как современный раздел математики.

Теория многогранников в современном мире тесно связана с технологией и имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики. Форму правильных многогранников имеют многие архитектурные сооружения (демонстрация слайдов с 10 по 15).

Ш. Заключительная часть урока:

1) подведение итогов: на сегодняшнем уроке мы как бы с высоты сегодняшнего дня рассмотрели историю возникновения и развития правильных многогранников. Надеюсь, что они вам запомнились.

2) выставление оценок

3) домашнее задание:

Заполните до конца таблицу, выполнив чертежи правильных многогранников. Учебник «Геометрия 7-9» стр. 309-311. Найдите самостоятельно развертки правильных многогранников и сделайте их модели.